OZ

dw^^^^y

dw

dt

-r~ ^xy.w"-

' ■''-' ds

■ ' ^^xy,t

OÙ les A désignent certaines fonctions de

Parmi les relations ci-dessus, qui, au point de vue de l'intégration, sont toutes des conséquences de S, et par suite [moyennant le changement de notations (4^)] de (33), considérons celle qu'on obtient en attribuant à a, [i, y, dans (49)? des valeurs particulières, a', P', y', dont la somme soit égale à N. Cette relation ne contient, avec les quantités (5oj, que

<)(va%P'.r dcva'.P'.T' r)tva%?'.T'

dz ds dt

elle doit donc, à cause de la passivité de (33 ), être vérifiée pour toutes valeurs numériques des quantités qu'elle renferme, c'est-à-dire être

identiquement vérifiée. Les divers coefficients A qui figurent dans la relation considérée sont donc tous identiquement nuls, et les relations restantes du groupe (49)^ ainsi que les rektions (46), (4") et (48), se réduisent chacune à leur dernier terme, qui ne contient que les seules quantités (5o); elles doivent dès lors, à cause de la passivité de (33), être vérifiées pour toutes valeurs numériques de ces quantités.

En conséquence, toutes les conditions de passivité du système S se trouvent identiquement satisfaites, ce que nous voulions établir.

IV. Cela posé, considérons, dans le système (33), le groupe des intégrales ordinaires, w, t^, (v, qui répondent aux conditions initiales données (34) : si l'on désigne par u (-3, 5, t) et cp (5, 5, t) ce que deviennent u et ç dans l'hypothèse numérique

X — XQ=y —70= O,

on verra, comme au n° 208, que les fonctions u, o vérifient, avec les conditions initiales

cp = (^0

pour z ^ Z(i= s — 5o = i — ^0 = o,

un système passif d'équations diff*érentielles totales du premier ordre qui se déduit des trois dernières lignes de (33) par l'introduction de cette hypothèse numérique.

Les fonctions u, C3 étant supposées connues, on observera que les fonctions

u, V, w et w^'P^T =

dz'=^ ds'i^ dtï

vérifient le système passif S, et l'on se trouvera ramené à rechercher, dans ce dernier système, la solution ordinaire qui répond aux conditions initiales

v> = cp {Zy 5, t)

w = '1^(3, 5, ^) ' pour X — xq=^ y — ^o

dz^ ds^ da Or, l'intégration du système S, indépendant du choix des condi-

lions initiales imposées aux intégrales de (33), se ramène, comme nous savons (n"l206), à celle d'un système passif d'équations différentielles totales du premier ordre.

V. On voit, par ce qui précède, qu'étant donné un système orthonome passif de grade i et d'ordre N, dont le Tableau n'offre de cases vides que dans une seule colonne, on en peut toujours ramener l'intégration à celles d'équations différentielles totales en adjoignant aux inconnues primitives, à titre d'inconnues auxiliaires, les dérivées paramétriques des ordres 1,2, . . . , N : il convient d'ajouter que, si le système en question est linéaire par rapport aux dérivées de l'ordre N, l'adjonction de ces dernières devient inutile, et qu'on peut alors se borner à prendre comme inconnues auxiliaires les dérivées paramétriques des ordres 1,2, ...,N — i. Nous avons, au n" 208, vérifié le fait pour N= i, et nous en trouverons ci-après, dans un exemple numérique (n*" 212, II), une vérification nouvelle ; il nous semble d'ailleurs inutile d'y insister davantage.

212. Appliquons à quelques exemples la méthode exposée au numéro précédent.