I. Considérons d'abord le système

où se trouvent engagées deux fonctions inconnues des variables indépendantes X et y. Ce système est orthonome, comme on le voit par l'attribution aux variables et aux inconnues des cotes suivantes :

Cotes premières Cotes deuxièmes Cotes troisièmes

il est d'ailleurs passif. Cela étant, on propose d'en rechercher la solu-

")4o CHAPITRE XIII.

lion (u. v) satisfaisant aux conditions initiales

Il — A

pour ç =y^ pour

En désignant par u(y) ce que devient u dans l'hjpothèse numérique jr = I , la fonction u vérifie, avec la condition initiale

pour

l'équation différentielle -7- = 2 ; elle est, par suite, égale à ay-j- A.

On se trouve ainsi ramené, par l'application de notre méthode, à intégrer le système

du dx

dv dx

ôx

aux quatre inconnues «, i^, v' , c", avec les conditions initiales

v =yi v' = 'ly v" = 2

pour

A cet effet, on forme l'équation aux dérivées partielles (homogène)

-f- — (IH-P )f-

dx ^ dy

b du ^ ' dv 1 dv

OÙ /désigne une fonction inconnue de x^y^ «, v^ v\ v" \ son intégrale générale est une fonction arbitraire des cinq quantités

x{\-^ v") -\- y^ v\ a7p"3-i-6M, xv"'^

6 P — bux -{- X* v"^ H- 6 37 p' v" .

On pose alors

xv"'^ -h 6 a = <î> [ ar ( I H- p" ) -h JK ],

xv"^-\- 'zv' — ^'[x{i -h v") -hjK],

iSux -h X'v"'^^ 6xç' i^" — Q [x{i-+- v") -^-y].

et l'on détermine les composantes T, ^, W, Q, de manière que les relations (53) soient identiquement vérifiées quand on tient compte des conditions initiales (02). 11 vient ainsi

relations qui, par le changement de variable

^ + 3 = 6, prennent la forme

Les composantes T, ^, \t", Q étant connues, les relations (5o) deviennent

p"= 2, a^v"^-i-6u = i2[x'{i-h v" ) -hf] — 28 -4-6 A, a:c^"2-+- 2P'= 4[;r(i -h p") +j^] — 8,

et l'on en tire

i/ix -^6y -i- 3 \ — 14 u- ■—

1 3 372 H- 1 2 xy -+- 3 jK- -r- ( 3 A — 26 )x — 1 2 ^ -f- 1 3 — 3 A

solution cherchée du système (5i ).