II. Considérons maintenant le système
! du . , ()2 p A2ç (^2 j, ^(, ()ç
dv dv dv
dx dy dz
du d^v d'^v
du d'^v ^d^v dz ~ dy dz ~~ di^"'
542 CHAPIÏHE XLII.
linéaire par rapport aux dérivées du second ordre, et où se trouvent engagées deux fonctions inconnues des variables indépendantes x^ y^ z. Ce système est orthonome, comme oh le voit par l'attribution aux variables et aux inconnues des cotes suivantes :
Cotes premières.
Cotes deuxièmes Goies troisièmes .
il est d'ailleurs passif. Gela étant, on propose d'en rechercher la solution, (?<, (^), satisfaisant aux conditions initiales
u = k pour X = y = z = o,
V =y-Y-'2Z pour or = o.
En désignant par u (y, z) ce que devient u dans l'hypothèse numérique .3; = o, la fonction u vérifie, avec la condition initiale
u = A pour y = z = o,
le système des deux équations — - = o, -- ^ o ; on a donc identiquement u (y, z) = A.
LiCla étant, le système (04) nous lournit, pour , , et , . ? les
expressions ultimes
âcr dj' dx Oz
dx dy
= -lii-i- u) —- -h(i — 2a)-— — -+- -— , ^ dy^ ^ ^ ' ôy dz ôy
= 2(1 + w) T-3- H-(i — 2a)-— p -H-T-- ^ ây âz dz- dz
dx ôz
On peut, d'autre part, en tenant compte des deux dernières équations du système (54), ajouter au second membre de la première la quantité (nulle)
du. d^'V d'-v \ , . /du ô'^v d'^v\
\ày ày^ dy dz et l'écrire sous la forme
(du d^ç d2(;\
~'^''^\d7~dydl~''d^-)'
du ^ ^à^^ .
d^= ^(' + ^^)ôi^-('
^ d^v , d'^'V dv dv
du d'^-v
dy dy^ dy dz
, /du d^-v d^'V
^ \dz dy dz dz-
ce qui donne, toutes réductions faites,
du du , , du, dv dv (56) — =zz 2(1 -4- m)-7 'r- {\ — 1U)- h- -T--
^ ' dx ày dz dy dz
Si Ton pose maintenant
dv , dv ,
' dy ' dz
la deuxième équation du système (54) peut s'écrire
dx i - \ày ) \dz
ou, toutes réductions faites,
àv , ^ dv , , dv
— = 2(n- a)- \- (\ — iu) - — V- iu(v'~— Vy)-^ u^-h V.
dx ày ^ dz v - j /
Finalement, si l'on tient compte, dans les équations (55) et (56), du changement de notations (5^), on tombe sur le système
du , , , ^ du ^ du
-— = Vy — V. -h2(H-M)-- +(l — 2W)-— ,
dx ' ày ^ ^ dz
— = U-~- V -h 2U(v'.— v'y) -^ lU-i- U) -— H- (l — 1U)-—
Ox ^ J' ^ ^ dy dz
dv'y dv'y dv'y
Ox ^ ày ' dz
à^'z ! / X àv'^ . , dv'~
—-= V'. -\- -lil -]r U) h(l— 2m)— ^,
dx ^ dy ■^ dz
aux quatre inconnues u, ç, ç'^, v'^ ; il ne reste plus qu'à intégrer ce dernier avec les conditions initiales
y -\- iz (58) <;' ) pour ;r = o.
Pv= I
A cet effet, on forme l'équation aux dérivées partielles (homogène àf , df df , df
, ^àf , àf , df
-\- iu^ -{- V -ir -2. uv - — 2 uv' ) -f- + v' -rr -+- V- -rr = «i ■^ dv ■' dVy " dv.
oùydésigne une fonction inconnue de x,y^ 3, w, ç, t^^, ^^^ ; son intégrale générale est une fonction arbitraire des six quantités
u — ç'y-hi'zi ^y^~^i ^'■;«~'^> {u^-\- v)e-^, Sx -i-y -+- Z, Z — '2.U-+-{l — 2.U-{-2v'y — 2v'.)x.
On pose alors
v'yC-^ = <ï>[3a7H-^ + ^, z — 2U -\- {x— 2U -^ 2ç'y — 2v'.)x]^ (59) {
v'~e~^=W[3x -hy -hz^ z — 2u -\- {1 — 2u -h 2ç'y— 2vi)x], (iû-\- ç) e^^ = a [3x -hy -\- z^ z — 2 u -h (t — 2 m -4- 2 p'^. — 2i>'~)x],
et l'on détermine les composantes des seconds membres de manière que les relations (5g) soient identiquement vérifiées quand on tient compte des conditions initiales (58). Il vient ainsi
A -■(- 1 = r (jK 4- -3, -3 — 2 A),
2=W(y^z,z — 2A), y -h2Z -\- X^= il (y^z, ^ — 2A),
relations qui, par le changement de variables
prennent la forme
A + i = r(0„ 62), I =<ï'(ei, 62),
2 = ^(61, O2), e, + 02+ A2+2A = Q(ei, 62).
Les composantes T, 4>, W, Ù étant connues, les relations (39) deviennent
u — f'^. -+- ç'C = A -h I , i}'ye--^=i, v'.e--^ = 2^
et l'on en tire
V = gs.r^. e^[2{i — P^)x ^y -^ 2z-\- A2+ 2 A] — (A +1)2,
solution cherchée du système (54)-
Systèmes réductibles aux précédents.
213. Dans tout système différentiel auquel s^ applique Vunou Vautre de nos théorèmes d'existence, et oit, de plus, le damier des conditions initiales (n" 90) n^ offre de cases blanches que dans une seule colonne, la recherche d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données se ramène à V intégration successive de deux systèmes passifs d'équations différentielles totales (n° 116), dont le second est indépendant du choix des conditions initiales.
Nous commencerons par rappeler que tout système différentiel, S, auquel s'applique l'un ou l'autre de nos théorèmes d'existence, remplit à la fois les diverses conditions suivantes :
1° Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, les seconds membres y sont indépendants de toute dérivée principale, et aucun des premiers membres n'y est une dérivée de quelque autre (').
2° En attribuant, dans toutes les équations du système S, aux variables indépendantes des cotes respectives toutes égales à \^ et aux inconnues des cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités [inconnues ou dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant.
3° En désignant par Y la cote maxima des premiers membres des conditions initiales (mises sous la forme que nous avons spécifiée au n^ ISo), par o la cote minima des premiers membres de S, et par A leur cote maxima (A^F-l- i ), on peut, des groupes
Soi SoH-i, . . . , Sp-+.i
(n" 144), extraire respectivement des groupes,
tel to+u • • • > ^r+i»
possédant la triple propriété de contenir
ï 5g, •So-4-i, • • • 1 ^A
(') Voir la Remarque du n" 113.
5/|6 CHAPITRI-: XIII. — SVSTÉMKS REDUCTIBLES.
(n° 144), d'êtj'e composés d'équations en nombres respectivement égaux à ceux des dérivées principales de cotes
et d'être successivement résolubles par rapport à ces dérivées.
Ces diverses conditions se trouvant remplies, et le damier des conditions initiales de S n'ofl'rant de cases blanches que dans une seule colonne, il résulte de l'alinéa I du n" 201 que rintégration de S se ramène à celle d'un système orthonome passif de grade i , dont le Tableau n'oflVe lui-même de cases vides que dans une seule colonne; et nous avons d'ailleurs établi, dans ce qui précède, que l'intégration de ce dernier système est réductible à celle qu'indique notre énoncé.
RÉDUCTION D'UN SYSTÈME DIFFÉRENTIEL QUELCONQUE A UNE FORME COMPLÈTEMENT INTÉGRABLE.
Indication d'une méthode générale pour réduire un système différentiel à une forme complètement intégrable.
