Nous commencerons par établir divers lemmes
1. Dans un système différentiel quelconque, nous nommerons souvent 5o/(<//o/i analytique un groupe quelconque d'intégrales (^).
Nous bornant, comme nous l'avons toujours fait, à la considération exclusive des solutions analytiques ordinaires (n° 98), nous dirons cju'un système différentiel limité (c'est-à-dire composé d'un nombre limité d'équations) est analytiquement possible ou impossible, suivant qu'il admet ou non quelque solution de cette espèce.
Etant donnés deux systèmes différentiels limités, si toute solution analytique ordinaire du premier est en même temps une solution analytique ordinaire du second, nous dirons que le second est une conséquence analyticjue du premier; si chacun d'eux est une conséquence analytique de l'autre, les systèmes seront dits analytiquement équivalents.
Etant donnés deux systèmes différentiels (limités), S et S', où se trouvent engagées les mêmes fonctions inconnues, ?/, r, ..., des mêmes variables indépendantes, x^y^ . . ., si les systèmes
S prolongé, S' prolongé
(n"99) sont numériquement équivalents (n" iOO), il est facile de voir que les systèmes S, S' le sont analytiquement (-). Toute solu-
( ' ) Le mot analytique est ici opposé au mot numérique. (^) La réciproque est vraie : voir ci-après n" 217, IL
lion analytique ordinaire de S fournit en effet une solution numérique de S prolongé donnant lieu à des développements convergents (n" 99), par suite, une solution numérique de S' prolougé jouissant de la même propriété; elle est donc aussi (n" 99) une solution analyti(|ue de S', nécessairement ordinaire pour S' en vertu même des restrictions posées dans la définition de l'équivalence numérique. Pareillement, toute solution analytique ordinaire de S' en est aussi une pour S.
11. Quand deux systèmes différentiels [limités)^ S et S', sont en corrélation multiplicatoire (n° 122), les systèmes
S prolongé, S' prolongé
jouissent de la même propriété (c'est-à-dire que toute relation figurant dans l'un quelconque de ces deux derniers est une combinaison multiplicatoire de diverses relations, en nombre limité, figurant dans l'autre).
Effectivement, soient
(i) Fi = o, F2=o, ..., F,„ = o
les équations du système S; toute équation de S', étant, par hypothèse, une combinaison multiplicatoire des précédentes, peut s'écrire sous la forme
où ^4, <I>2, •.., ^m désignent certaines fonctions dépendant des variables x^y^ ..., des inconnues u^ c, . . . et de leurs dérivées. Cela étant, désignons par Q,.a^,3 F un symbole indiquant qu'on a appliqué à F la règle de différentiation des fonctions composées, successivement a fois par rapport à jc, [^ fois par rapport à j^, etc. Il s'agit de faire voir que l'équation
Q.rV?...(*iFi-+-*2F2H-...-f-*,„F,„) = o
est une combinaison multiplicatoire de diverses équations de S prolongé. Or, il est clair qu'en développant par la règle des fonctions composées le premier membre de la relation précédente, on tombe sur une somme de termes dont chacun est delà forme
avec les conditions
RÉDUCTION A UNK FORME COMPLÈTKMENT IISTÉGRABLE. 549
et il suflît alors d'observer que la relation
appartient au système (i) prolongé, c'est-à-dire à S prolongé.
Ainsi, toute relation de S' prolongé est une combinaison multiplicatoire de S prolongé, et l'on prouverait de même la réciproque.
III. Lorsque, à un système différentiel {limité)^ S, on adjoint un groupe (^liniité)^ H, qui soit une combinaison multiplicatoire de quelque groupe {limité) extrait du système S prolongé, les
systèmes
S prolongé, (S, H) prolongé
sont en corrélation multiplicatoire.
Effectivement, toute équation de S prolongé étant une combinaison multiplicatoire d'elle-même, il nous suffit d'établir que toute équation de H prolongé est une combinaison multiplicatoire de diverses équations de S prolongé. Or, toute équation de H, jouissant, par hypothèse, de cette propriété, est de la forme
{i) Al Li -f- A2L2-4-. . •+ A^L^=: o,
(3) Ll = O, L2=0, ..., Lrr=0
désignent des équations convenablement choisies de S prolongé, et
Al, A2, ..., Ag.
des fonctions convenablement choisies. Si sur l'équation (2) on effectue, conformément à la règle des fonctions composées, un nombre quelconque de différentiations consécutives, il est visible, en vertu d'un raisonnement semblable à celui de l'alinéa II, que la relation résultante est une combinaison multiplicatoire du système (3) j)rolongé, et, par suite, du système S prolongé.
IV. Considérons un système différentiel (limité) composé des deux groupes S, T, et soient S un groupe réduit (n*" 128) extrait de S prolongé, T' le groupe déduit de T en y tenant compte des formules de résolution de S.
55o CHAPITRE XIV.
Cela étant, les systèmes
(S, T) prolongé, (S, T') prolongé
sont en corrélation multiplicatoire.
Désignons, en eflet, par s celles d'entre les équations de S qui font partie de S (non prolongé), et par o- celles qui n'en font pas partie. 11 résulte de nos hypothèses et d'une remarque faite dans la théorie des fonctions implicites {voir la note du n" 122) que les systèmes (S, T) et (S, T'), c'est-à-dire (5, a-, T) et (5, a-, T') sont en corrélation multiplicatoire; les systèmes (S, o-, T), (S, u, T') jouissent donc évidemment de la même propriété, et, par suite aussi (II), les systèmes
(S, a, T) prolongé, (S, a, T') prolongé.
D'ailleurs, puisque o- fait partie de S prolongé, il est clair que le système (S, t) prolongé n'est autre que le système S prolongé : donc on peut dire que les systèmes
(S, T) prolongé, (S, T') prolongé
sont en corrélation multiplicatoire, ce qu'il s'agissait d'établir.
V. Si, dans un systènrie différentiel {limité). S, résolu par rapport à diverses dérivées {d'ordre positif ou nul) des inconnues, on attribue, comme dans la définition des systèmes orthonomes (n° 104), p cotes successives à chacune des variables et des inconnues (*), et si chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes , que des quantités {inconnues ou dérivées) normales par rapport au premier membre correspondant (n"" 104), on peut, sans changer les cotes, en déduire un système, 'i^' ^ possédant à la fois les propriétés suivantes :
i" Les systèmes S et S' se composent d^ un même nombre d'équations, et ont respectivement les mêmes premiers membres.
1^ Dans le système S', chaque second membre n'est pas seulement, comme dans S, indépendant de toute quantité anormale, il l'est aussi de toute quantité principale.
( ' ) La cote première de toute variable indépendante est ainsi égale à i.
RÉDUCTION A UNE FORME COMPLÈTEMENT INTÉGRABLE. 55l
S prolongé, S' prolongé
sont en corrélation multiplicatoire.
Dans le n" 106, auquel nous prions le lecteur de se reporter, nous avons considéré un système différentiel résolu par rapport à diverses dérivées des inconnues, et nous avons supposé que les premiers membres du système étaient tous d'ordre supérieur à zéro : mais les conclusions auxquelles nous avons été conduit restent applicables, alors même que quelques-uns des premiers membres seraient d'ordre nul.
Cela étant, si le système proposé S a ses seconds membres indépendants de toute cjuantité principale, la proposition est vraie d'ellemême.
En nous plaçant maintenant dans l'iijpo thèse contraire, considérons l'ensemble illimité que forment les quantités principales du système S, et soit 03 la classe maxima des premiers membres de S. De l'ensemble des relations déduites de S par différentiations, j'extrais un groupe, Q, choisi de telle sorte que, dans le système
chacune des quantités principales de classes i, 2, ..., oj — i figure comme premier membre une fois et une seule. Le système (S, Q) a donc pour premiers membres (tous distincts entre eux) les diverses quantités principales de classes i , 2, . . . , w — i du système S, et, en outre, certaines quantités principales de classe (o du même système. Dans le système (S, Q), le groupe formé par les équations qui ont pour premiers membres les quantités principales de classe i du système S, appartient tout entier à S : car autrement, quelqu'une des équations de ce groupe se déduirait par différentiation de quelqu'une des équations de S, et, par suite, aurait son premier membre de classe supérieure à la classe minima, qui est i. Mais le groupe formé dans (S, Q) par les équations qui ont pour premiers membres les quantités principales de classe /: = 2, 3, . . . , (o — 1 peut contenir des équations extraites de S et d'autres extraites de Q. Cela étant, je désignerai par
les groupes extraits de S dont les premiers membres sont de classes
) )9, OHAPITUE XIV.
respectives
I, 2, .... oi — I, w;
et, semblahleinent, je désignerai par
Q2, ..., Qa,-l
les groupes extraits de Q dont les premiers membres sont de classes
respectives
