VI. Soient

diverses fonctions inconnues (en nombre limité) des variables indépendantes

Considérant un ensemble limité formé avec des dérivées (d'ordre positif ou nul) de m, v^ . . ., convenons de dire (comme si les dérivées en question étaient les premiers membres d'un système différentiel, résolu par rapport à elles) qu'une dérivée quelconque de u^ p, . . . est principale relativement à cet ensemble, si elle coïncide avec quelqu'un des termes de l'ensemble ou quelqu'une de leurs dérivées; convenons de dire, dans le cas contraire, qu'elle est paramétrique par rapport à l'ensemble (n" 90).

Cela posé, si Von forme successivement, avec des dérivées de M, r, ..., divers ensembles {limités) dont chacun ne contienne que des dérivées paramétriques par rapport à tous les précédents, le nombre de ces ensembles est forcément limité ( *).

Plaçons-nous, en effet, dans l'hypothèse contraire, et supposons qu'on puisse former une suite «/iû?é^/i/e d'ensembles, dont chacun ne contienne que des dérivées paramétriques relativement à tous les précédents. En pareil cas, quelqu'une des fonctions (4), u par exemple, fournit certainement des dérivées à un nombre illimité d'ensembles. Si l'on désigne par E' l'un de ces derniers ensembles, et par

l'une des dérivées de u qui figurent dans E', il y a encore, à la suite

(') Cette proposition, dont j'ai publié la démonstration en juin iSgS {Annales de l'École Normale, iSgS, p. 171, 172 et 173), contient comme cas particulier la suivante, formulée par M. Delassus en 1896 : Si Von considère une suite infinie d'ensembles canoniques d'ordres croissants,

E", E«+', ..., Ei-, ...,

tels qu'on ait, quel que soit tx,

(E:*)'^Ei*+S

le nombre des termes de la suite pour lesquels il y a inégalité est forcément limité {Annales de l'École Normale, 1896, p. 43i et 432).

de E', un nombre illimité d'ensembles contenant des dérivées de la fonction u\ pour chacune de ces dérivées, l'un au moins des ordres partiels )^, [a, ..., v, relatifs k x^ y^ ..., 3, est inférieur à l'ordre partiel correspondant de (5), et chacune d'elles appartient, à plus forte raison, à quelqu'une des

(>;'-f-i) + ([jL'+ i;~i-.. .-i-(v'H-i)

catégories que définissent respectivement les relations

fx = 0 ; \i. = i: [^ = 2 ; . . . , I-t = j^' ;

Des diverses catégories ci-dessus définies, une au moins, par exemple

fournit donc nécessairement des dérivées de u à un nombre illimité d'ensembles postérieurs à E'. Si l'on désigne par E^' l'un de ces derniers ensembles, et par

àx^ OyV-" . . .ôz^"

l'une des dérivées de u de la catégorie (6) qui figurent dans E'^, il j a encore, à la suite de E'^, un nombre illimité d'ensembles contenant des dérivées de u de cette même catégorie; pour chacune des dérivées en question, l'un au moins des ordres partiels a, ..., v relatifs ky^ ..., s est inférieur à l'ordre partiel correspondant de (^), et chacune d'elles appartient, à plus forte raison, à quelqu'une des

catégories que définissent respectivement les couples de relations

55<*) CHAPITRK XIV.

De ces nouvelles catégories, une au moins, par exemple

j À = /, ( IX = m,

fournit donc nécessairement des dérivées de u à un nombre illimité d'ensembles postérieurs à E". En poursuivant ce raisonnement et désignant par ..., n des entiers convenablement choisis, on arrivera à cette conclusion absurde que la catégorie

ne comprenant évidemment qu'une seule dérivée de //, en fournil à un nombre illimité d'ensembles.

!21o. Etant donné un système différentiel [limité)^ dont les premiers membres [après réduction des seconds à zéro) sont développables dans quelque domaine (n" 76), on peut, dans les circonstances générales, et sauf la rencontre de relations non identiques entre les seules variables indépendantes, en déduire, sans changement de variables ni intégration, un système complètement intégrable tel, que le deuxième système prolongé équivaille numériquement au premier prolongé, tel, par suite, que le deuxième système équivaille analytiquement au premier (n"^ 214, I).

Nous présenterons tout d'abord une remarque générale sur le genre de raisonnement qu'on est obligé de faire dans une semblable question, quel que soit d'ailleurs le mode de réduction adopté. On doit en effet, quel que soit ce mode, résoudre par rapport aux fonctions inconnues et à leurs dérivées, considérées dans un certain ordre, certaines relations dont les unes sont données, et dont les autres s'introduisent dans le cours des calculs. Or, on suppose essentiellement que chacune des résolutions successives auxquelles on est ainsi conduit puisse s'effectuer conformément au principe général des fonctions implicites sans que les résolutions antérieures en soient troublées. Cette présomption, à laquelle les faits peuvent, dans tel ou tel cas, ne pas donner raison, se justifie toutefois assez fréquemment pour que

nos déductions conservent loiite leur valeur générale : mais, à vrai dire, la très grande généralité du problème posé ne nous permettra d'obtenir, dans les raisonnements qui vont suivre, ni une rigueur absolue, ni une précision irréprochable.

Cette réserve faite, nous établirons de diverses manières, en commençant par la plus simple, là possibilité théorique de la réduction spécifiée dans notre énoncé.

I. Désignant par f^, r, ..., (x^ certaines fonctions inconnues des variables indépendantes x^y^ . . .^ s^ t.^ nous adopterons pour celles-ci un ordre déterminé, par exemple

et de même pour les inconnues un ordre déterminé, par exemple

Puis, nous rangerons comme il suit, sur une ligne indéfinie allant de droite à gauche, les dérivées de tous ordres des diverses fonctions inconnues. Nous écrirons d'abord l'ensemble des dérivées premières, puis à gauche de celui-ci l'ensemble des dérivées secondes, puis à gauche de ce dernier l'ensemble des dérivées troisièmes, et ainsi de suite indéfiniment. Chaque ensemble sera ensuite divisé en ensembles partiels, dont le premier à gauche contiendra les dérivées appartenant à la fonction u^ le suivant les dérivées appartenant à la fonction v^ et ainsi jusqu'au dernier c|ui contiendra les dérivées appartenant à la fonction w. En désignant maintenant par a, [^, ..., X, a les ordres partiels d'une dérivée quelconque relatifs k x, y^ • • •? -^5 t respectivement, chacun des ensembles résultants sera lui-même divisé en ensembles partiels se succédant de gauche à droite d'après les valeurs décroissantes de l'ordre partiel a; chaque sous-ensemble en sousensembles partiels se succédant de gauche à droite d'après les valeurs décroissantes de Tordre partiel p; et ainsi jusqu'à l'ordre partiel X (inclusivement). Chacun des ensembles définitifs se compose alors d'une dérivée unique, et les dérivées de tous ordres de nos fonctions inconnues se trouvent rangées, sur une ligne indéfinie allant de droite à gauche, dans un ordre bien déterminé. Nous qualifierons de toxique la suite ainsi obtenue, et nous dirons qu'une dérivée de fonction inconnue est antérieure ou postérieure à une autre, selon que, dans la suite lexique, elle figure à gauche ou à droite de cette autre.

Gela étant, un système différentiel sera dit taxique, s'il se trouve résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qu'il implique, et si l'on peut trouver, pour les variables et les inconnues, deux ordres respectifs, (8), (9), tels, que chaque second membre ne contienne, outre les variables et les inconnues, que des dérivées paramétriques postérieures au premier membre correspondant.

Un pareil système est nécessairement orthonome.

Effectivement, si une dérivée de fonction inconnue est antérieure à une autre, il arrive forcément de trois choses l'une :

Ou bien elle est d'ordre supérieur à cette autre;

Ou bien elle est de même ordre, mais la fonction inconnue à laquelle elle appartient précède, dans la suite ( 9), la fonction inconnue à laquelle appartient cette autre ;

Ou bien enfin les deux dérivées considérées sont de même ordre et appartiennent à une même fonction inconnue, mais en désignant par

a', [i', ..., À', ix\

a", [i", ..., X", ix!' leurs ordres partiels relatifs à

les différences

a'— a", [i'— fi", ..., X'— X"

ne sont pas toutes nulles, et la première d'entre elles qui ne s'évanouit pas est positive.

Cela étant, et en désignant par h le nombre des variables indépendantes, il suffit, pour se convaincre de la nature orthonome d'un système taxique, d'attribuer :

Aux variables des cotes premières toutes égales à i , et aux inconnues des cotes premières toutes nulles ;

Aux variables des cotes secondes toutes nulles, et aux inconnues successives «, v^ ..., w des cotes secondes dont la valeur aille en décroissant;

Aux variables et aux inconnues des cotes troisièmes toutes nulles, à l'exception de x qui aura pour cote troisième l'unité ;

Aux variables et aux inconnues des cotes quatrièmes toutes nulles, à l'exception àe y qui aura pour cote quatrième l'unité;

Etc. ;

Fiualemenl, aux variables et aux inconnues des cotes (A + i)''""''^ toutes nulles, à l'exception de l'avant-dernière variable 5, qui aura pour cote (A-)- i)''^^"'*' l'unité.

Car toute dérivée postérieure à une autre est alors normale vis-à-vis de cette autre, et les inconnues elles-mêmes le sont évidemment visà-vis dune dérivée quelconque.

11. Pour démontrer la proposition dont l'énoncé figure en tête du présent n" 21o, nous adopterons pour les variables, et aussi pour les inconnues engagées dans le système proposé, S, un ordre déterminé, et nous attribuerons des cotes à toutes ces quantités, conformément aux indications données dans l'alinéa 1. Considérant alors la suite taxique, nous chercherons quel est, dans cette suite, le terme le plus éloigné (vers la gauche) qui figure effectivement dans les équations du système, nous résoudrons par rapport au terme dont il s'agit l'une des équatioiis où il figure, et nous en porterons la valeur dans les équations restantes : nous aurons ainsi, outre la formule de résolution, un nouveau système, S', contenant une équation de moins que le proposé, et dans lequel ne figure plus la dérivée éliminée ni aucune des dérivées situées à sa gauche dans la suite taxique. Nous considérerons, parmi les dérivées restantes, la plus éloignée (vers la gauche) de celles qui figurent eff'ectivement ddiiis S', nous résoudrons par rapport à elle l'une des équations de S' où elle figure, et nous en porterons la valeur dans les équations restantes, ce qui nous donnera, outre les deux formules successives de résolution, un troisième système contenant deux équations de moins que le proposé. Et ainsi de suite. En d'autres termes, nous déduirons des équations données, par résolutions successives, des formules dont les premiers membres se trouvent rangés suivant l'ordre taxique, et, en poursuivant ce calcul jusqu'à ce que lès équations non encore résolues ne contiennent plus aucune dérivée, nous tomberons sur un système composé de deux groupes, l'un diflerentiel, l'autre fini. Si le groupe fini, résolu par rapport aux fonctions inconnues successives, ne nous conduit pas à une relation non identique entre les seules variables indépendantes, auquel cas le système proposé serait analytiquement impossible, il nous permettra d'exprimer certaines des fonctions inconnues à l'aide des autres et des variables indépendantes, et par suite aussi les dérivées des premières en fonctions composées différentielles des

56o CHAPITRE XIV.

secondes. Le groupe différentiel pourra alors être transformé en un système d'ordre au plus égal à S, et qui sera de même nature que S, avec cette différence que le nombre des fonctions inconnues s'y trouvera diminué, ainsi que le nombre des équations. Sur ce système on opérera comme sur le proposé, et ainsi de suite. Finalement, et sauf la rencontre d'une relation non identique entre les seules variables indépendantes, le système proposé se trouvera remplacé par un groupe différentiel exclusivement composé de relations normales, et par quelques groupes finis. Si, dans chacun de ces derniers, on tient compte de ceux qui ont été obtenus après lui, on voit que leur ensemble exprime quelques-unes des fonctions inconnues à l'aide des variables indépendantes et des fonctions inconnues restantes. Cellesci sont seules impliquées dans le groupe différentiel, que l'on peut, en vertu d'un lemme antérieur (n" ^214, V), remplacer par un système taxique, ^, composé d'un nombre égal d'équations ayant respectivement les mêmes premiers membres.

Si le système ® n'est point passif, on considérera, parmi les conditions de passivité, celles qui ne se réduisent pas à des identités, et l'on observera qu'elles constituent autant de relations auxquelles les intégrales du proposé doivent nécessairement satisfaire (n^' 112). De ces relations on déduira alors, par résolutions successives, des formules dont les premiers membres se trouvent rangés suivant l'ordre taxique; si, une fois ces formules obtenues, les conditions de passivité ne fournissent en outre aucune relation finie, on adjoindra au système C les formules dont il vient d'être question, et l'on substituera au système total ainsi formé, où les équations sont toutes normales, un système taxique, C', composé d'un nombre égal déquations ayant respectivement les mêmes premiers membres. Si le système W n'est pas passif, on le traitera comme le système S, et, sauf la rencontre d'un système passif, on continuera ainsi tant que les systèmes iL, '£', ... successivement obtenus ne fourniront, par la résolution de leurs conditions de passivité, aucune relation finie. Si, à un moment donné, on tombe sur un système non passif où cette circonstance cesse d'être réalisée, on considérera le groupe différentiel et le groupe fini déduits des conditions de passivité; du groupe fini, supposé possible, on tirera (n° 142) un certain nombre des fonctions inconnues exprimées à l'aide des variables indépendantes et des autres fonctions inconnues, et le système dont il s'agit, préalablement augmenté du

groupe difFérentiel, pourra, grâce aux formules résultantes, être transformé en un système de même nature que S, mais impliquant moins de fonctions inconnues encore que n'en impliquait le système ®.

Sur le système résultant, on recommencera à nouveau toutes les opérations successives précédemment exécutées sur S, et ainsi de suite. Or il est facile de voir que l'application d'un pareil mécanisme conduit forcément soit à une impossibilité, soit à un système passif, soit à l'élimination complète des dérivées. Effectivement, dans l'iiypothèse contraire, elle ne pourrait manquer de conduire à un système taxique non passif qui, traité comme l'a été tout à l'heure le système '8L, engendrerait, sans réduction ultérieure du nombre des fonctions inconnues, une suite illimitée de systèmes également taxiques et non passifs. En comparant entre eux deux systèmes consécutifs de cette dernière suite, on trouverait dans le second deux groupes : l'un composé d'équations en nombre égal à celles du premier système et ayant respectivement les mêmes premiers membres ; l'autre résolu par rapport à des dérivées paramétriques du premier. En vertu d'un lemme antérieur (n" 214, VI), toutes les dérivées (d'ordre positif) des fonctions inconnues finiraient donc par devenir principales, et les conditions de passivité ne fourniraient plus alors que des relations finies ; on serait donc conduit, contrairement à ce qui précède, soit à une impossibilité, soit à une réduction du nombre des fonctions inconnues (n° 142),

Finalement donc, et sauf la rencontre d'une relation non identique entre les seules variables indépendantes, indiquant l'impossibilité, le système proposé se trouve remplacé par un système complètement intégrable composé de deux groupes, savoir : i° un groupe taxique passif, où se trouvent engagées certaines des inconnues du système proposé; 2" un groupe de relations finies exprimant les inconnues restantes à l'aide de celles du premier groupe. D'ailleurs, ainsi qu'il résulte de lemmes établis ci-dessus (n" 214), toutes les opérations successivement exécutées sur le système primitif sont de nature telle, que le système final prolongé équivaut numériquement au système primitif prolongé ; et cette équivalence numérique entre les systèmes prolongés entraîne, comme nous l'avons fait observer (n" 214, I), l'équivalence analytique entre les systèmes eux-mêmes.

216. Voici un mode de réduction analogue au précédent, mais plus général.

1. En désignant par K un entier positif donnée et par w, ç^ w^ ... diverses fonctions inconnues des variables indépendantes ûT, y, z^ . . ., on peut attribuer à

X, JK, 2, .... U, V, W, ...

des cotes,