C.Cl Cy, C-, . • ., Cuf Cj,, C(t

choisies de telle façon, que, dans V ensemble des ordres o, f, 2, . . ., K, les dérivées de w, v, (v, . . . aient des cotes toutes distinctes entre elles.

Il suffit pour cela que, la dernière des quantités Cj-, Cj, c^, . . . étant supposée positive, on ait les relations

c,jc>Kcy, Cv>Kc-, ...,

Ca > 6V -I- K Cx, C^> > Cw H- K C ^.,

Considérons en effet deux dérivées pour chacune desquelles l'ordre total, positif ou nul, soit au plus égal à K, et supposons d'abord qu'elles appartiennent à la même fonction. En pareil cas, la différence de leurs cotes est visiblement

(lo) (a— a')c^-t- ( 13 — 3')c^-H- (7 — 7' )c.-^...,

où a, [^, y, . . ., a', ^\ y', ... désignent les ordres partiels respectifs en x^ y., z^ ... des deux dérivées considérées; d'ailleurs les quantités a — a^, ^ — j3', y — y', ... ne sont pas toutes nulles, et l'on peut toujours supposer, en renversant, s'il le faut, le sens de la différence (lô), que la première d'entre elles qui ne s'annule pas est positive. Si l'on a a — a' > o, la quantité ( i o) est au moins égale à

à plus forte raison à

différence nécessairement positive, puisque son terme additif est supérieur à Kcj, et son terme soustractif au plus égal à cette quantité. Si l'on a

la quantité (10) est au moins égale à

à plus forte raison à

cj— (t'-+----)cc,

différence encore positive, puisque son terme additif est supérieur à Kcz, et son terme soustractif au plus égal à cette quantité. Et ainsi de suite.

Supposons maintenant que les deux dérivées considérées appartiennent à deux fonctions distinctes. En nommant c et c' les cotes respectives, nécessairement inégales, de ces deux fonctions, et a, p, Y, ..., a', P', y', ... les ordres partiels respectifs des deux dérivées par rapport à oc^ y^ z^ . . ., les cotes de ces dernières auront pour différence

c — c' + ( a — a' ) c.r 4- ( [3 — P' ) Cy 4- ( y — y' ) c- -+-

Or, si l'on suppose c — c' ^ o, ce qui est évidemment permis, l'expression précédente est au moins égale à

(c — c') — (a'ci.+ |3'c^.4- y'c- + . . .), à plus forte raison à

différence nécessairement positive, puisque son terme additif est supérieur à Kc^, et son terme soustractif au plus égal à cette quantité.

II. Supposons actuellement que les variables x, y^ ^, ... et les fonctions w, v^ w^ ... aient été affectées chacune de p cotes, comme dans la définition des systèmes orthonomes (n" lOi); considérons alors certaines dérivées, d'ordre positif ou nul, et en nombre limité, de ces fonctions; partageons-les, de gauche à droite, en groupes successifs d'après les valeurs décroissantes de leurs cotes premières, puis les dérivées de chaque groupe en sous-groupes successifs d'après les valeurs décroissantes de leurs cotes secondes, puis à leur tour les dérivées de chaque sous-groupe en sous-groupes partiels successifs d'après les valeurs décroissantes de leurs cotes troisièmes, et ainsi jusqu'à épuisement des p cotes. De cette opération résultera finalement une suite de groupes.

Cela étant, si quelqu'un des groupes définitifs ainsi obtenus contient plus d'un terme, on peut toujours, puisque l'ordre maximum des dérivées considérées est, d'après notre hypothèse même, essen-

tielJement fini, attribuer à chacune des variables et des inconnues une cote {p -\- i)'^"'« telle, que toutes les dérivées considérées, et à plus forte raison celles d'entre elles qui appartiennent à un même groupe, aient des cotes {p -h i)'«^'"«^ toutes distinctes entre elles (I) ; on pourra alors, sans modifier l'ordre relatif des groupes, fractionner chacun d'eux, de gauche à droite, d'après les valeurs décroissantes des cotes (/? -f- i)'^'""» (je ses termes. Les dérivées considérées (d'ordre positif ou nul) se trouveront donc, en définitive, rangées dans un ordre tel, que chacune d^ elles soit normale par rapport à toutes les quantités situées à sa gauche : nous exprimerons cette dernière propriété en disant qu'elles sont normalement isolées.

111. Ces préliminaires posés, désignons par A le système différentiel donné, que nous nous proposons de réduire à une forme complètement intégrable.

Nous commencerons par attribuer aux variables et aux inconnues qui s'y trouvent engagées des co^e5 /;re/?z/<^r<?.<» assujetties à la seule restriction que celles des variables indépendantes soient toutes égales à I. Puis, désignant par y la plus petite des cotes premières attribuées aux inconnues, et considérant l'ensemble formé par les dérivées, d'ordres positifs ou nuls, de ces inconnues, nous supposerons écrits, sur une ligne indéfinie allant de droite à gauche, d'abord l'ensemble de toutes les dérivées (d'ordre évidemment égal à zéro) dont la cote première est y, puis à gauche de celui-ci l'ensemble de toutes les dérivées de cote première y H- i , puis à gauche de ce dernier l'ensemble de toutes les dérivées de cote première y-|-2, et ainsi de suite indéfiniment. Cela posé, soient F la cote première maxima des dérivées (d'ordre positif ou nul) qui figurent e/fectivement dans A^ et [F] la portion de la suite précédente formée par les diverses dérivées dont la cote première ne surpasse pas F : en attribuant, s'il le faut, aux variables et aux inconnues des cotes secondes convenablement choisies, nous isolerons normalement, sans modifier l'ordre relatif des groupes composants (II), les termes de la suite limitée [F]; nous chercherons alors quel est, dans cette suite, le terme le plus éloigné (vers la gauche) qui figure effectivement dans les équations du système, puis, résolvant par rapport au terme dont il s'agit l'une des équations où il figure, nous en porterons la valeur dans les équations restantes : nous aurons ainsi, outre la formule de résolution, un nou-

veau système, /?, contenant une équation de moins que le proposé, et où ne figure plus la quantité éliminée, ni aucune des quantités situées à sa gauche dans la suite [F]. Nous considérerons, parmi les quantités restantes de cette suite, la plus éloignée (vers la gauche) de celles qui figurent effectivement dans B^ nous résoudrons par rapport à elle l'une des équations de B où elle figure, et nous en porterons la valeur dans les équations restantes, ce qui nous donnera, outre les dçux formules successives de résolution, un troisième système contenant deux équations de moins que le proposé. Et ainsi de suite. Si ce calcul de résolutions successives ne nous conduit pas à une relation non identique entre les seules variables indépendantes, auquel cas le système proposé serait analytiquement impossible, il nous conduira à un système lll, composé de relations toutes normales. Cela étant, le système ^l sera, conformément à un lemme antérieur (n*' 214, V), remplacé par un système composé de relations en même nombre et ayant respectivement les mêmes premiers membres, mais dont les seconds membres, indépendants de toute quantité anormale, le soient aussi de toute quantité principale. Dans ce dernier système, les inconnues pourront se partager en deux groupes, a-, t, et les équations en trois groupes, ô, JS, ^, satisfaisant aux conditions suivantes : le groupe 6 aura pour premiers membres les inconnues c, le groupe S certaines dérivées, d'ordre positif, des mêmes inconnues a-, et le groupe (orthonome) ^ certaines dérivées, d'ordre positif, des inconnues t ; quant aux seconds membres de toutes ces équations, ils ne contiendront, avec les variables indépendantes, que des dérivées paramétriques, d'ordre positif ou nul, des inconnues t. On éliminera alors du groupe S, à l'aide des équations 6 différentiées, les dérivées des inconnues o-, puis du groupe résultant, à l'aide des équations iî, les premiers membres de ces équations mêmes ; le groupe în se trouvera ainsi transformé en un groupe y4,, indépendant des inconnues t et de leurs dérivées, et ne contenant, parmi les inconnues T et leurs dérivées, aucune quantité dont la cote première surpasse F, ni aucun des premiers membres de £. Sur le système A^ on opérera des résolutions successives, comme on l'a fait sur le système A^ et, sauf constatation éventuelle d'incompatibilité, les formules de résolution successive seront adjointes à £ ; de cette adjonction résultera un système tl,, composé de relations toutes normales, et où ne se trouvent engagées que les inconnues t.

566 CHAPITRK XIV.

Sur le système HT, on opérera comme on vient de le faire sur le système ^t, et ainsi de suite. Finalement, et sauf la rencontre d'une relation non identique entre les seules variables indépendantes, le système proposé se trouvera remplacé par une suite de groupes, dont le dernier sera orlhonome, tandis que tous les précédents auront leurs premiers membres finis. Cet ensemble de formules, toutes normales, fournira, moyennant application d'un lemme antérieur (n" 214, \ ), un système composé de deux groupes, savoir : i" un groupe orthonome, ©, où se trouvent engagées certaines des inconnues du système proposé ; 2'^ un groupe f, exprimant les inconnues restantes à l'aide des variables indépendantes, des inconnues du groupe ©, et des dérivées paramétriques de celles-ci.

Si le groupe orthonome © est passif, il est clair que le système (f, ©), auquel on a réduit le proposé, est complètement intégrable. Si le groupe (ID n'est point passif, on observera que ses conditions de passivité, P, constituent autant de relations auxquelles les intégrales du proposé doivent nécessairement satisfaire (n*" 112). Deux cas peuvent alors se présenter, suivant que la cote première maxima des quantités (inconnues ou dérivées) figurant effectivement dans les relations P ne surpasse pas l'entier F, ou qu'elle le surpasse. Dans le lUremier cas, les quantités (inconnues ou dérivées) figurant e^ec/Ziement dans le système (f, Cl^, P) sont toutes contenues dans la suite [r], dont les termes se trouvent déjà normalement isolés à l'aide des cotes antérieurement attribuées aux variables et'aux inconnues. Dans le second cas, en désignant par F' un certain entier supérieur à F, ces mêmes quantités sont toutes contenues, non plus dans la suite [F], mais dans la suite analogue et plus étendue [F'], et il peut arriver^ que, dans la portion de cette suite située à gauche de [F], la considération des cotes antérieures ne suffise pas à isoler normalement les dérivées; mais alors, en adjoignant aux cotes antérieures de chaque variable ou inconnue une cote nouvelle convenablement choisie, on pourra faire en sorte que l'isolement, déjà réalisé dans la portion [F] de la suite [F'], le soit en outre dans la portion restante. Quelle que soit donc l'occurrence qui se présente, en désignant par F' un certain entier supérieur ou égal à F, et adjoignant au besoin des cotes supplémentaires à celles qui existent déjà, on pourra, sans déranger l'ordre déjà adopté pour les termes de [F], écrire les termes de la suite [F], qui comprend [F], dans un ordre tel que chacune des quantités qu'elle

RÉDUCTION A UNE FORME COMPLÈ lEiMENT INTEGRABLE. ^67

contient soit normale par rapport à toutes celles qui se trouvent à sa j^auche. Gela posé, on considérera le système (f, (ID, P), et l'on recommencera sur lui la suite des opérations précédemment exécutées sur le système donné A, avec cette seule diiTérence que les résolutions successives du début se trouveront simplifiées, et que, par suite de la nature normale des relations f et CID, elles devront être exécutées seulement sur le groupe P. Cette suite d'opérations conduira, sauf la rencontre d'une relation non identique entre les seules variables indépendantes, à remplacer le système (t, (1^, P) par un autre composé de deux groupes, savoir : i** nn groupe orthonome, (©', où se trouvent engagées certaines des inconnues du système QID ; 2° un groupe, t', exprimant les inconnues restantes du système ® et les premiers membres de f à l'aide des variables indépendantes, des inconnues du groupe CD', et des dérivées paramétriques de celles-ci. Si le groupe orthonome ^' est passif, le système (f^, Cl^'), auquel se trouve ramené le proposé, est complètement intégrable. Dans le cas contraire, on opérera sur lui comme on l'a fait précédemment sur (t, (îD). Et ainsi de suite.

Or, il est facile de voir que l'application d'un pareil mécanisme conduit forcément : soit à une relation non identique entre les seules variables indépendantes, indiquant l'impossibilité analytique ; soit à un système complètement intégrable contenant, avec un groupe ortlionome, des formules où figurent, comme premiers membres, les inconnues non engagées dans le groupe orthonome. Effectivement, dans l'hypothèse contraire, la suite

serait illimitée, et les groupes orthonomes ©, ^'^ ... rempliraient, à partir d'un rang suffisamment éloigné, la double condition suivante : i" ils impliqueraient tous les mêmes fonctions inconnues ; 2" en considérant deux groupes orthonomes consécutifs, ([^^^\ ®^^+0^ les équations du second, (iï^^^"'"'^ seraient en nombre supérieur à celles du premier, ^^^\ et auraient pour premiers membres : d'une part les premiers membres de ^'-^^ d'autre part certaines dérivées paramétriques de ^^^K En vertu d'un lemme antérieur (n" 214, VI), toutes les dérivées d'ordre positif des inconnues impliquées dans les groupes orthonomes finiraient donc par devenir principales, et les conditions de passivité ne fourniraient plus alors que des relations

d'ordre zéro ; on serait donc conduit, contrairement à ce qui précède, soit à une relation non identique entre les seules variables indépendantes, soit à une diminution du nombre des inconnues engagées dans les groupes orthonomes.

Finalement donc, et sauf le cas d'impossibilité, le système proposé se trouve remplacé par un système complètement intégrable composé de deux groupes, savoir : i" un groupe orthonojiie passif où se trouvent engagées certaines des inconnues du système proposé; 2° un groupe de relations exprimant les inconnues restantes à l'aide des variables indépendantes, des inconnues du premier groupe, et des dérivées paramétriques de celles-ci. D'ailleurs, ainsi qu'il résulte du n" 214-, toutes les opérations successivement effectuées sur le système primitif sont de nature telle que le système final prolongé équivaut numériquement au système primitif prolongé ; et cette équivalence numérique entre les systèmes prolongés entraîne, comme nous l'avons fait observer, l'équivalence analytique entre les systèmes euxmêmes ( ' ).

217. Nous terminerons ce paragraphe par l'exposé de deux propriétés générales qui nous paraissent intéressantes au point de vue théorique (^).

I. Pour qu'un système différentiel [limité)^ S, soit analytiquement possible (n" 214, 1), il faut et il suffit que le système S prolongé soit numériquement possible.

De ce que nous avons dit au n° 99, il résulte déjà que la condition est nécessaire.

Elle est d'ailleurs suffisante.

Supposons, en effet, que le système S prolongé soit numériquement possible : cela étant, l'application au système S de la méthode exposée au n° 215 ou 216 ne peut, comme nous allons le prouver, conduire à aucune relation non identique entre les seules variables

(') On peut imaginer des modes de réduction plus généraux encore. Voir à ce sujet le Mémoire ayant pour titre : Sur le degré de généralité d'un système différentiel quelconque (Acta mathematica, t. XXV).

(^) Voir le Mémoire ayant pour titre : Sur le degré de généralité d^un système différentiel quelconque {Acta mathematica, t. XXV).

x^ y^ .... Effectivement, une semblable relation, (11) ^{00, y, ...) = o,

où le premier membre est supposé non identiquement nul, appartiendrait, en vertu de nos raisonnements, à un système, W^ jouissant de cette propriété, que ^ prolongé équivaudrait numériquement à S prolongé, et, par suite, que W prolongé serait numériquement possible : or, si l'équation (ri) et toutes celles qui s'en déduisent par différentiations étaient vérifiées par quelque système de valeurs particulières de ^, JK, ..., la fonction ¥{x^ j, . . .) serait identiquement nulle (n° o7), ce qui est contraire à l'hypothèse.

Puisqu'on ne peut, d'après cela, tomber sur une relation non identique entre les seules variables x^y^ ..., on sera forcément conduit à un système complètement intégrable.

II. Pour que deux systèmes différentiels {limités), S, S', soient analytiquement équivalents (n" 214, I), il faut et il suffit que les

deux systèmes

S prolongé, S' prolongé

soient numériquement équivalents.

Nous avons déjà observé, à l'alinéa I du n° 214, que la condition est suffisante.

Elle est d'ailleurs nécessaire.

Effectivement, si S et S' sont analytiquement impossibles, S prolongé et S' prolongé sont numériquement impossibles (I), et, par suite, numériquement équivalents.

Supposons S et S' analytiquement possibles et équivalents : je dis que tou^e solution numérique de S prolongé est aussi une solution numérique de S' prolongé. Appliquons, en effet, au système S la réduction exposée au n" 216, en attribuant, pour simplifier, aux diverses fonctions inconnues des cotes premières toutes égales entre elles : nous tomberons ainsi sur un système complètement intégrable, S, où toute relation ultime (*) sera, à cause de sa nature normale, d'ordre exactement égal à celui de son premier membre; les trois sys-

(') Nous entendons ^diV relations ultimes celles qui expriment les quantités principales à l'aide des variables indépendantes et des quantités paramétriques.

tèmes S, S', I seront analytique ment équivalents, les systèmes S prolongé, S prolongé

numériquement équivalents, et, en conséquence, il nous suffira d'étal)lîr que toute solution numérique de S prolongé est également une solution numérique de S' prolongé. Prenons donc dans S' prolongé une relation quelconque s', désignons par m son ordre, puis, à la solution numérique considérée de 2 prolongé substituons celle où les variables ce, y, ... et les quantités paramétriques d'ordres o, i, 2, ..., m du système S ont respectivement les mêmes valeurs, tandis que les quantités paramétriques des ordres supérieurs à m ont pour valeur commune zéro : les quantités principales d'ordres o, i, 2, ..., m du système S conservent alors, elles aussi, en vertu des relations ultimes, les mêmes valeurs numériques, en sorte que la solution numérique primitivement considérée de S prolongé se trouve remplacée par une autre qui jouit des deux propriétés suivantes : r* les variables x^y^ ... et toutes les quantités, principales et paramétriques, des ordres o, i, 2, . . ., m ont conservé respectivement les mêmes valeurs numériques ; 2" la nouvelle solution numérique de S prolongé donne certainement lieu à des développements convergents, et fournit une solution analytique de S. Gela étant, puisqu'elle fournit une solution analytique de S, elle en fournit une de S^, analytiquement équivalent à S, donc elle vérifie numériquement S^ prolongé; il en résulte que la solution numérique primitive vérifie, parmi les relations de S' prolongé, celles au moins dont Tordre ne dépasse pas m, et en particulier la relation s', arbitrairement choisie dans S' prolongé.

Ainsi, nous avons prouvé que toute solution numérique de S prolongé est en même temps une solution numérique de S' prolongé ; on prouverait de même la réciproque.

Comparaison entre les degrés de généralité de deux form es passives provenant d'un même système différentiel.

218. Supposons que, dans un système difTérentiel passif, on ait fixé, par un procédé quelconque, l'économie des conditions initiales, ce qui met en évidence diverses fonctions (ou constantes) arbitraires en nombre fini. Cela étant, nommons arbitraire de genre h toute fonction arbitraire de h variables (les constantes arbitraires sont,

RÉDUCTION A UNE FORME COMPLÈTEMENT INTÉGRABLE. oyi

d'après celte définition, des arbitraires de genre zéro); puis, désignons par ). le genre maximum des arbitraires qui figurent dans ces conditions initiales, et appelons jjl le nombre des arbitraires qui, parmi elles, sont de genre X. On voit immédiatement que le nombre des arbitraires restantes peut être augmenté au delà de toute limite : si l'on désigne, en effet, par n un entier positif aussi grand qu'on le voudra, et par Xq une valeur initiale de x^ toute fonction arbitraire, <ï)(^, y, . . ., s), des p variables ^, y, . . ., ^ peut être mise sous la forme

-i-(x-.ro)'^-i<];„-i(jK, ..., 5)-^(^ — .ro)"^'(^,jK, ••., ^), ' où figurent, avec une arbitraire de genre /?, (i) ^(^,r' ••- ^)'

n arbitraires de genre p — i ,

(•^■) 'Wiy^'-'^^h ^i(rr •••'-)' ^2(7, ..-,5), ..-^ j;„i(jK, ..., ^);

en conséquence, la donnée de la fonction arbitraire ^(^,7, ..., z) équivaut visiblement à celle des fonctions arbitraires (i) et (2).

Considérons maintenant un système différentiel quelconque, supposons-le réduit, de diverses manières, à une forme passive, et comparons, dans ces diverses formes, le nombre et la nature des éléments arbitraires que l'économie des conditions initiales met en évidence : il est clair, d'après ce qui précède, que les résultats intéressants d'une semblable comparaison ne peuventse rapporter qu'aux valeurs prises, dans les formes considérées, par les entiers À et [a. Nous allons, dans ce qui suit, établir à ce sujet une loi générale.

219. Étant donné un système différentiel. S, résolu par rapport à diverses dérivées (d'ordres positifs ou nuls) des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, si, dans les déterminations initiales des intégrales hypothétiques, on considère tous les coefficients comme arbitraires, ces déterminations initiales schématiques peuvent, comme nous l'avons établi, se représenter par des sommes schématiques irréductibles (n"*81 et 90). Pour un même système, S, il existe presque toujours diverses manières de représenter, à l'aide de pareilles sommes, l'ensemble des déterminations initiales : considérant l'une quelconque

des représentations dont il s'agit, nous désignerons d'une manière générale partie genre maximum des arbitraires qui y figurent, et par a le nombre de celles dont le genre est X.

Gela posé, il est facile de se convaincre que, pour un même système, S, les nombres \ et ^ gardent des valeurs constantes, quelque choix qu^ on fasse parmi les représentations diverses dont nous venons de parler.

I. Un polynôme entier en x^ à coefficients réels, et où le terme de degré maximum a un coefficient positif, reste positif pour x infini positif .

Si le polynôme est de degré zéro, il se réduit à une constante positive, et la proposition est évidente.

S'il est de degré (effectif) supérieur à zéro, on peut, en désignant par m ce degré et par Ao, A,, ..., A„j .,, Km diverses constantes, dont la première, Aq, est positive, l'écrire sous la forme

x'f^li

produit dont le second facteur tend vers Ao pour x infini. De là résulte immédiatement la conséquence suivante :

Soient P(^), Q{oc) deux polynômes entiers en x à coefficients réels, et dans chacun desquels le terme de degré maximum a un coefficient positif : cela étant, si P{x) est de degré supérieur à Q(^), ou bien encore s^il est de même degré, mais que le terme de degré maximum y ait un coefficient plus grand, on finit par avoir, pour x infini positif ,

Il suffît, pour s'en convaincre, d'appliquer la conclusion précédente au polynôme

II. Revenons à la proposition qu'il s'agit d'établir. Dans l'une quelconque des représentations dont parle l'énoncé, la détermination initiale d'une inconnue quelconque, (v, se trouve

RÉDUCTION A UNE FORME COMPLÈTEMENT INTÉGRABLE. 5y'i

figurée, conformément à ce que nous avons dit au début, par la somme (irréductible) d'un nombre limité de termes dont chacun a la forme

(3) (a7-^o)«(jK— ro)^..F,

a, 6, ... étant des entiers positifs ou nuls, et F une fonction arbitraire de quelques-unes des variables. Si l'on désigne par g la somme a -+- 6 H- . . ., par k un entier positif quelconque, et qu'on suppose l'arbitraire F développée, à partir des valeurs initiales des variables dont elle dépend, en une série entière par rapport à leurs accroissements, les seuls termes du développement en question auxquels corresponde une quantité paramétrique d'ordre inférieur ou égal à k sont évidemment ceux qui présentent, par rapport à l'ensemble des accroissements, un degré inférieur ou égal à k — g. D'après cela, pour obtenir le nombre, ^^^P, des dérivées paramétriques du système S dont l'ordre (positif ou nul) ne surpasse pas /r, on évaluera, dans F développé, le nombre des termes dont le degré ne surpasse pas k — g, ce qui donne ( ^ ), en désignant par /• le genre de l'arbitraire F,

on répétera, pour chacun des termes dont la somme représente schématiquement la détermination initiale de pp, le calcul auquel donne lieu l'expression (3), on opérera pour chacune des inconnues comme il vient d'être dit pour pp, et l'on ajoutera finalement tous les résultats obtenus. 11 est essentiel de remarquer ici que l'expression (4) est un polynôme entier en k avant pour terme de degré maxi-

mum

Cela posé, considérons, dans le système S, deux représentations de l'ensemble des déterminations initiales schématiques, et désignons par )/, ^ et )/', ^' les valeurs de X, ^ qui s'y rapportent respective-

(') On sait que le nombre des termes d'un polynôme complet de degré q k h variables est donné par la formule

{g +i){q + '2)...{q+li) ^ i .2. . .h

ment. On a nécessairement '/J=za" : car autrement le nombre ^*^P serait, quelque grand que soit k, indifféremment exprimé par deux polynômes entiers en k de degrés différents. Et, cela étant, on ne peut manquer d'avoir aussi [J>-'= [t-" •' car autrement le nombre ^^^P serait, quelque grand que soit k, indifféremment exprimé par deux polynômes entiers en k de même degré où les termes de degré maximum auraient des coefficients différents.

220. Un système différentiel quelconque étant donné, lorsque nous considérerons une des formes passives auxquelles on peut le réduire, nous supposerons toujours, conformément à ce qui a été constaté dans les n"^ 21o et 216, que la forme passive prolongée équivaut numériquement au système primitif prolongé, et, par suite, que si deux formes passives proviennent cVun même système différentiel, ces deux formes prolongées sont numériquement équivalentes l'une à l'autre.

Considérons maintenant, en même temps qu'une forme passive, le groupe illimité des formules qui donnent la solution numérique générale de cette forme prolongée, et où les quantités principales se trouvent, comme nous l'avons vu dans la définition de la passivité (n" 101), exprimées à l'aide des variables indépendantes et des quantités paramétriques. Cela étant, nous dirons qu'une forme passive est ordinaire, si, en attribuant à chacune des variables indépendantes une cote (unique) égale à i et à chacune des fonctions inconnues une cote (unique) convenablement choisie, les formules dont il s'agit satisfont toutes, sauf un nombre essentiellement limité d'entre elles, à la condition que le second membre de chacune ait une cote au plus égale à celle du premier membre correspondant ('). Telles sont, par exemple, les formes complètement intégrables indiquées dans nos théorèmes d'existence (Chap. Vil, X et XII).

221. Si l'on réduit à une forme passive ordinaire (n" 220) un système différentiel donné quelconque {non impossible), les

(1) On n'augmenterait pas la généralité de cette définition, si, au lieu d'assujettir la cote commune des variables indépendantes à être égale à i, on l'assujettissait simplement à être supérieure à zéro (et entière). Voir à ce sujet le Mémoire ayant pour titre : Sur le degré de généralité d'un système différentiel quelconque {Acta mathematica, t. XXV, p. 343, 344 et 345),

REDUCTION A UNE FORME COMPLETEMENT INTEGRABLE. OJD

nombies \ et a, définis au /î" 219^ ont des valeurs indépendantes du mode de réduction adopté.

Si V on réduit ce même système à une forme passive quelconque, et qu'on désigne par L, M les valeurs coiïstantes de X, \k cpii se rapportent aux formes passives ordinaires, on a nécessairement, ou bien

ou bien

ou bien enfin

1. Considérons un système différentiel résolu par rapport à diverses dérivées (d'ordre positif ou nul) des fonctions inconnues c|ui s'y trouvent engagées, et présentant d'ailleurs une structure quelconque; attribuons ensuite aux variables ^,j>^, . . . des cotes respectives toutes égales à 1 , et aux inconnues «, r, ... les cotes respectives c,/, Cç,, ... (arbitrairement choisies). Parmi les quantités (inconnues et dérivées) dont la cote ne surpasse pas un entier donné C, les unes sont principales, les autres paramétriques relativement au système donné : cela étant, proposons-nous d'évaluer le nombre de celles qui sont paramétriques.

En désignant par w l'une quelconque des inconnues u^ v^ ..., la détermination initiale schématique de w peut, comme on sait, se représenter par la somme (irréductible) d'un nombre limité de termes dont chacun a la forme

(5) (^oo—x,y<'iy—y,)b...V,

«, 6, . . . étant des entiers positifs ou nuls, et F une fonction arbitraire de quelques-unes des variables. Si l'on désigne par ^la somme « H- 6 H- . . ., et qu'on suppose l'arbitraire F développée, à partir des valeurs initiales des variables dont elle dépend, en une série entière par rapport à leurs accroissements, les seuls termes du développement en question auxquels corresponde une quantité paramétrique de cote inférieure ou égale à C sont évidemment ceux qui présentent, par rapport à l'ensemble des accroissements, un degré inférieur ou égal à C — c,v — g. D'après cela, pour obtenir le nombre cherché, on évaluera, dans F développé, le nombre des termes dont le degré ne surpasse pas C — c^v — g-, ce (jui donne, en désignant par /' le genre

de l'arbitraire F,

/c, (G — c,i,— ,^H-i)(G — c^,— g ^ 2)- • -(G — Cw— g ^ r)

on répétera, pour chacun des termes de la somme schématique qui représente la détermination initiale de w^ le calcul auquel donne lieu l'expression (5), on opérera pour chacune des inconnues comme il vient d'être dit pour (v, et l'on ajoutera finalement tous les résultats obtenus.

Observons que V expression (6) est un polynôme entier en C

ayant pour terme de degré maximum ;•

II. Supposons maintenant qu'un système différentiel quelconque (non impossible) ait été mis d'abord sous une forme passive ordinaire, S', puis sous une iorme passii^e quelconque, S''; et soient à', [jl' et X", y!' les valeurs de X, ^ qui correspondent respectivement à ces deux formes (n*^ 219). Je dis qu'o/i a nécessairement, ou bien

X'— X">o, (tu bien

X'— X"=o, [^'— [a">o, ou bien enfin

X'— X"=o, [ji'— |jl"=o.

Effectivement, puisque la forme passive S' est ordinaire, chacune des variables x^ y^ . . . s'y trouve, conformément à notre définition du n® 220, affectée de la cote i , et chacune des inconnues u^ t^, . . . d'une cote convenablement choisie ; et, si l'on considère alors les formules (résolues par rapport aux quantités principales de S') qui donnent la solution numérique générale de S' prolongé, toutes, sauf un nombre essentiellement limité d'entre elles, satisfont à la condition que le second membre de chacune ait une cote au plus égale à celle du premier membre correspondant.

Gela étant, convenons, soit qu'il s'agisse de S', soit qu'il s'agisse de S", d'évaluer la cote d'une quantité quelconque (inconnue ou dérivée) comme s'il s'agissait de S'. Soient, en outre :

U' les formules (résolues par rapport aux quantités principales de S^) qui donnent la solution numérique générale de S' prolongé;

W les formules (résolues par rapport aux quantités principales de S'') qui donnent la solution numérique générale de S'^ prolongé;

C un entier (algébrique) donné;

'^'P' le nombre des quantités paramétriques de S' dont la cote ne surpasse pas C, '^*'N' le nombre des quantités principales de S' satisfaisant à cett« même condition, et '^'K^ le groupe, extrait de li', qui a pour premiers membres ces quantités principales;

lop//^ <C'N% ^^^\i" les objets analogues pour S".

D'après ce qui a été dit plus haut sur les relations lii', le groupe *^'tl(', à partir de C suffisamment grand, ne contient effectivement, outre les variables indépendantes, que des quantités (inconnues ou dérivées) dont la cote ne surpasse pas C. D'ailleurs, 1^' et V sont numériquement équivalents [voir l'observation faite au début du n° 220) ; il en résulte que '^'tt' est une conséquence numérique de V, et, par suite, que les relations <^'>t(' se transforment en identités quand on y tient compte des relations <^îll('^ Les systèmes *^'"K', *^'li(" étant réduits, le nombre des relations '^*1K' est donc au plus égal à celui des relations ^^*W (n'' 129), et l'on a, à partir de C suffisamment grand,

comme on a d'ailleurs

il en résulte évidemment

(Cip'^iOp"^

Cela étant, on ne peut avoir )/<; )/' : car, s'il en était ainsi, les nombres *^'P' et *^'P'^, évalués conformément aux indications de l'alinéa 1, seraient respectivement exprimés par deux polynômes entiers en G dont le premier serait de degré inférieur au second; à partir de G suffisamment grand, on aurait donc (n" 219, I), contrairement à ce qui précède,

Je dis, de plus, que, dans l'hypothèse V=X'^, on ne peut avoir p.'<; u" : car, s'il en était ainsi, les nombres *^*P' et *^'P" seraient respectivement exprimés par deux polynômes entiers de même degré en G, et le coefficient du terme de degré maximum serait plus petit pour le premier polynôme que pour le second, ce qui entraînerait encore (n" 219, I), à partir de G suffisamment grand,

(C)p'<^ tCip"^

III. Les nombres \ et ^ gardent des valeurs constantes dans toutes les formes passives ordinaires auxquelles on peut réduire le système différentiel donné.

Supposons en ellel que les formes passives S' et S", considérées à l'alinéa précédent, soient l'une et l'autre ordinaires. Comme nous venons de le voir, on a nécessairement

ou bien

^'— fj.'=:0.

,n vertu du

même raisonnement, fait

en sens inver

îment aussi

ou bien

[i'— IX.' ^ 0.

Or, ces deux conclusions ne sont conciliables que si l'on a

X'— X"=o, fji'— fji"=o (1).

222. Etant donnés àens. sjsVeuvQs passifs, S', &* ., désignons par X', ^ et )^'', \i!' les valeurs de X, pi qui s'y rapportent respectivement (n° 219), et convenons de dire que les formes passives S', S" ont un degré de généralité égal, si les deux différences

X'-X", fx'-fx"

s'annulent à la fois ; convenons de dire, dans le cas contraire, que la forme S' a un degré de généralité supérieur ou inférieur à celui de la forme S'', suivant que la première de ces deux différences qui ne s'annule pas est positive ou négative.

Il résulte immédiatement de cette convention que si l'on considère trois systèmes passifs, S^, S'^, S"^, dont le premier soit plus général que le second, et le second plus général que le troisième, le premier ne peut manquer d'être plus général que le troisième. Désignons en

(') Les valeurs constantes que gardent les nombres X et [x dans les circonstances spécifiées à l'alinéa III sont d'ailleurs indépendantes du changement des variables et des inconnues. Voir à ce sujet le xMémoire ayant pour titre : Sur le degré de généralité d'un système différentiel quelconque {Acta mathematica, t. XXV', p. 348 et 349).

efFet par

X', IX': r, f^'; V", fx'"

les valeurs de A, 'j. qui se rapportent respectivement aux trois systèmes, et écrivons en un Tableau rectangulaire les ditlerences

X' — X", ix' — fx",

X" — A'", ix" — ix"\ X'-X'", ix'-ix'";

dans ce Tableau, le dernier nombre de chaque colonne verticale est la somme des deux nombres placés au-dessus de lui. En conséquence, si chacune des deux premières lignes horizontales possède la double propriété que les deux différences qu'elle contient ne s'annulent pas à la fois, et que la première d'entre elles non égale à zéro soit positive, la troisième ligne horizontale ne pourra manquer d'en jouir aussi.

Cela étant, la proposition du numéro précédent peut s'exprimer plus brièvement en disant que, parmi toutes les formes passives sous lesquelles on peut mettre un système différentiel donné {non impossible), les formes passives ordinaires présentent un degré de généralité constant^ qui se trouve être, de plus, supérieur ou égal à celui de toute autre.

223. A notre proposition du n" 221, on peut ajouter la remarque suivante :

Considérons deux formes passives ordinaires d^ un même système différentiel, et supposons que, dans ces deux formes, les cotes des fonctions inconnues soient respectivement les mêmes : cela étant, si Ton désigne par G un entier (algébrique) quelconque, les deux formes finissent par avoir, pour C suffisamment grand, le même nombre de quantités paramétriques de cote inférieure ou égale à C (et par suite aussi le même nombre de quantités paramétriques de cote égale à C).

Si l'on adopte en effet les mêmes notations qu'à l'alinéa 11 du n' 221, on finit par avoir, en vertu du même raisonnement,

puis, en vertu du inéine raisonnement fait en sens inverse,

d'où ' .

(dp'— (op"^

224-. Nous avons étudié au Chapitre XI le système différentiel

, ^ V^ du du

où w, v^ ..., w désignent n fonctions inconnues des ii variables indépendantes x^^ x^^ •-., ^/o {hj) une combinaison de deux entiers, distincts ou non, pris dans la suite 1,2, . . ., /i et tji/ y(= jjiy /) une fonction donnée des variables indépendantes (la sommation indiquée par le symbole S doit s'étendre aux n fonctions inconnues w, i', .. ., w). Après avoir établi les conditions de possibilité du système

formé par les équations ('^), nous avons, dans le système P,

que forment les conditions dont il s'agit, considéré les fonctions ^-ij comme des inconnues, puis, mettant le système P sous une forme orthonome passive, O, résolue par rapport à certaines dérivées secondes, nous avons constaté que n des fonctions [f-ij y sont complètement arbitiaires (n° 193).

Il était facile de le prévoir.

Si l'on considère en effet le système (7) comme impliquant les

fonctions inconnues

des variables indépendantes x^^ x-i^ ..., Xn-, on obtient, comme il

est très facile de s'en rendre compte, une première forme passive

I . • 1 , I r I n{n -\- \) ordinaire de ce système en le resolvant par rapport aux

inconnues a/^y, puis une deuxième en adjoignant aux équations R, et R2 du n*' 178 (alinéa III) les conditions de possibilité O. Gela étant, si, après avoir fixé pour chacune des deux formes du système ( 7 ) l'économie des conditions initiales, on se borne pour chacune d'elles à la considération exclusive des arbitraires où le nombre des variables

indépendantes est maximum, il résulte des principes exposés ci-dessus (n" 221) que ces arbitraires doivent dépendre de part et d'autre du même nombre de variables et être de part et d'autre en même nombre. Or, puisque la première forme, examinée à ce point de vue, comporte manifestement /? fonctions arbitraires des n variables indépendantes, il en est forcément de même pour la seconde ; et, cela étant, puisque les conditions initiales du système (R,, R2) ne comportent (par rapport à «, (^, . . ., w) que des constantes arbitraires, il faut bien que, dans O, les conditions initiales comportent (par rapport aux ^^ij) n fonctions arbitraires des n variables indépendantes, c'est-à-dire que n des fonctions ^ij (et pas davantage) soient entièrement arbitraires.

11 est facile de voir en outre, ce qui concorde avec une constatation déjà faite (n" 193), que, dans la forme considérée du système P, r ensemble des conditions initiales relatives aux — ^^

inconnues non entièrement arbitraires contient forcément (avec diverses arbitraires de genre inférieur à n — 1) n arbitraires de genre n — i .

Considérons en effet, d'une part la forme obtenue en résolvant le système (7) par rapport aux inconnues ^,ij^ d'autre part la forme obtenue en adjoignant aux équations (Ri, R2) le système P, mis sous la forme O : dans cette forme O, il est évidemment permis de supposer que la cote (première) commune à toutes les inconnues ^ij^ au lieu d'être nulle comme nous l'avons supposé au n" 186, a pour valeur l'unité. Cela étant, si, dans l'une et l'autre des deux formes ci-dessus spécifiées du système (7), on attribue aux variables x^^ x^^ • • ., Xn des cotes respectives toutes égales à 1 , et aux inconnues

les cotes respectives

il est facile de voir que l'une et l'autre satisfont à la définition des formes passives ordinaires; il résulte de là (n' 223) que, pour k suffisamment grand, le nombre des quantités paramétriques de cote inférieure ou égale à /r H- 1 est le même pour les deux formes. Observons maintenant que, dans le système (7) résolu par rapport aux fonctions |jL/.y, toutes les dérivées d'ordres quelcouques (^o) de ces fonctions sont principales, et toutes les dérivées de w, t^, . . ., w^' para-

métriques, tandis que, dans le système (O, R,, R2), les dérivées des ^ij sont, les unes principales, les autres paramétriques, toutes

les dérivées de m, p, . . . , iv d'ordre supérieur à i principales, et

dérivées premières de u^ v, . . ., w paramétriques, ainsi que ces fonctions elles-mêmes. En écrivant alors que le nombre des quantités paramétriques de cote inférieure ou égale à k -\- i est le même pour es deux formes considérées, on est conduit à cette conclusion que, dans le système O, le nombre des quantités paramétriques d'ordre inférieur ou égal à k des fonctions [JL/^y s'obtiendra en considérant le nombre total des quantités d'ordre inférieur ou égal à k -\- i fournies par M, V, . . ., (^, et retranchant de ce nombre

ce qui donne

En retranchant de ce nombre celui des dérivées d'ordre inférieur ou égal à k des n fonctions entièrement arbitraires du système O, il reste, pour les dérivées paramétriques d'ordre inférieur ou égal à k

des fonctions ]j.ij restantes, le nombre

(A + 2)(X:^- 3 )...(/•-+- Ai)— '^—^

c'est-à-dire un polynôme entier en k ayant pour terme de degré

maximum

On conclut de là, conformément à notre calcul du n° 219 (alinéa II), qu'après avoir fixé d'une manière quelconque les inconnues entièrement arbitraires du système O, la solution générale du système

résultani comporte bien, pour les inconnues restantes,

n fonctions arbitraires de « — 1 variables.

225. La détermination des systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales à n variables conduit, comme il a été dit au n** 19o,

aux ^ équations simultanées

'^ ou ou jLêÀ dxi dxj !

OÙ M, p, . . ., w' désignent n fonctions inconnues des n variables indépendantes ^^, ^27 '••i^fi^ (h j) ^^e combinaison de deux entiers distincts pris dans la suite i, 2, . . ., /i, et où les sommations indiquées par le symbole S doivent s'étendre aux n fonctions inconnues

w, c^, ..., iV

. Gela étant

Si l'on met le système (8), aux inconnues u^ <^ • • 7 ^"^i sous l' une des formes complètement intégrables définies par nos théorèmes d'existence, l'ensemble des conditions initiales contient (avec

diverses arbitraires de genre inférieur à 2) — arbitraires de

genre 2.

Adjoignons en effet aux équations données (8) les équations

où p.<,i, [^2,2? •••, Y'ii^n désignent des inconnues auxiliaires : dans le système [(8), (9)] se trouvent alors engagées les in inconnues

M, V, . . ., tP,

f-tl,l5 î-'-2,2i • • • , H-//, «5

des n variables indépendantes

Or, si l'on désigne par S l'une des formes complètement intégrables de (8) que spécifie notre énoncé, on obtiendra évidemment une forme passive ordinaire du système [(8), (9)] en résolvant les équations (9) par rapport aux inconnues |ji, remplaçant dans les seconds membres les dérivées principales (premières) de w, (^, . . ., «^ par leurs valeurs tirées de S, et adjoignant finalement à S le système Q ainsi obtenu : il est manifeste d'ailleurs que le système (S, Q) a le même degré de généralité que S.

On obtient, d'autre part, une deuxième forme passive ordinaire de [(8), (9)] en adjoignant aux équations R, , R2 du n° 178 les conditions de possibilité du système [(8), (9)] mises sous la forme indiquée au n" \9i.

Or, d'après ce qui a été dit au n" 19o, l'ensemble des conditions initiales relatives à ce dernier système contient (avec diverses arbitraires de genre inférieur à 2) — arbitraires de genre 2 : il en

est donc de même (n*^ 221) du système (S, Q), et, par suite, du système S.

226. Toute forme passive où les déteiminations initiales schématiques des intégrales hypothétiques ne contiennent qu\in nombre limité d^ arbitraires de genre zéro, sans aucune arbitraire de genre supérieur, ne peut manquer d^ être : i"" ordinaire ; 2" complètement intégrable.

Plus brièvement : toute forme passive ne dépendant que d^ un nombre fini de constantes arbitraires est ordinaire et complètement intégrable.

I. Une pareille forme est nécessairement o/'û?ma/re. Considérons en effet les formules de résolution du système prolongé,

qui expriment les quantités principales à l'aide des variables indépendantes et des quantités paramétriques : le nombre des quantités paramétriques étant essentiellement limité, il est clair qu'à partir d'une valeur suffisamment grande de /:, Texpression d'une dérivée principale d'ordre k ne contient, avec les variables ^, JK, ..., que des dérivées paramétriques dont l'ordre (positif ou nul) tombe audessous de A" : il suffît dès lors, pour se convaincre que la forme passive est ordinaire, d'attribuer à chaque fonction inconnue la cote zéro en même temps qu'on attribue à chaque variable indépendante la cote 1 .

II. Une pareille forme est, de plus, complètement intégrable : en d'autres termes, elle admet une solution analytique répondant à des conditions initiales arbitrairement choisies, c'est-à-dire telle que, pour des valeurs numériques données des variables x^ y, ..., les quantités paramétriques (en nombre limité) prennent des valeurs numériques données.

Désignons en efTet par S la forme passive donnée, nécessairement ordinaire d'après I ; en vertu de la possibilité numérique de S prolongé, l'application au système S de la méthode exposée au n°2l5 ou 216 conduit forcément (n'' 217, 1) à une forme passive ordinaire, S', complètement intégrable, ayant le même degré de généralité que S (n'^^â^), et telle que S' prolongé équivaille numériquement à S prolongé.

Cela posé, considérons, dans S prolongé, la solution numérique où ^, y, ... et les quantités paramétriques (de S) possèdent les valeurs choisies : cette solution ne peut manquer de vérifier aussi le système S' prolongé; d'ailleurs, la forme S', ayant le même degré de généralité que S, ne dépend, elle non plus, que d'un nombre limité de quantités paramétriques : la solution numérique considérée donnera donc lieu, dans S' , à des déterminations initiales convergentes, et par suite, puisque le système S' est complètement intégrable, fournira une solution analytique de S', donc aussi une solution analytique de S.

227. Si un système différentiel peut^ de quelque manière^ être mis sous une forme passive ne dépendant que d' un nombre fini de constantes arbitraires, toutes les formes passives du système en question dépendent du même nombre de constantes et sont complètement intégrables.

Soient S', S" deux formes passives du système donné, dont la première. S', est supposée ne dépendre que d'un nombre fini de constantes arbitraires ; et soient V, V les deux valeurs de \ qui s'y rapportent respectivement. La forme S', ne dépendant que d'un nombre fini de constantes arbitraires, est nécessairement ordinaire (n^' 226), et l'on a dès lors, en vertu du n*' 221,

il en résulte, puisque )/ est nul par hypothèse,

X"io;

comme d'ailleurs à" ne peut être négatif, il est forcément nul, et la forme S", ne dépendant, elle non plus, que d'un nombre fini de

constantes arbitraires, est ordinaire comme S' (n" 226). Finalement, les deux formes passives S', S", étant ordinaires, possèdent le même degré de généralité, et, par suite, dépendent du même nombre de constantes; elles sont, de plus, complètement intégrables, en vertu du numéro précédent ( ' ).

(') Il va sans dire que ces propriétés sont indépendantes du changement des variables et des inconnues. Voir à ce sujet le Mémoire déjà cité (^cfa mathematica, t. XXV, p. 352).