IV. Revenons à notre énoncé général

Si l'on considère la région limitée où la variante {xj^ fm^ • • •) se trouve, par hypothèse, constamment comprise, la distance sjx- -^ y'^ A- . . . du point (^, >', . • O? arbitrairement variable dans toute l'étendue de cette région, au point fixe (o, o, . . .) de l'espace N^, y^ • • •] n reste inférieure à une constante positive M convenablement choisie (n'^S) ; à plus forte raison a-t-on, entre les mêmes

limites,

moda7<M, mod j < M, ,..,

c'est-à-dire

Il existe donc quelque intervalle complexe,

dans lequel la variante {.x,n^ym, • • •) se trouve constamment comprise, et que nous représenterons, pour abréger, par Jf,. Si l'on divise en deux parties égales chacun des intervalles simples dont se compose J^,, et qu'on ordonne (II) les divers intervalles complexes résultant de cette subdivision, il existe certainement quelqu'un de ces derniers où la variante Vm tombe un nombre infini de fois. Appelons S'2 le premier d'entre eux pour lequel cette circonstance se réalise, opérons sur lui comme nous l'avons fait sur J)<, et ainsi de suite indéfiniment. Nous formerons de cette manière une suite illimitée

l4 CHAPITRE 1.

d'intervalles complexes,

jouissant de la triple propriété suivante : i" chacun d'eux fait entièrement partie du précédent ; 2" celui de rang k a pour amplitudes les quantités infiniment petites

X — a?,, Y — ro

3" la variante v,n tombe une infinité de fois dans chacun d'eux. Gela posé, si l'on considère la suite illimitée

et qu'on désigne par {\\ le premier terme de cette suite, par w-i le premier des termes restants situé dans l'intervalle ^25 par <^3 le premier des teimes restants situés dans l'intervalle JÏ3, et ainsi de suite indéfiniment, il résulte de l'alinéa 111 que la variante w^ est convergente (').

{y) De la propriété ci-dessus établie il convient de rapprocher la suivante, que nous n'aurons d'ailleurs pas à utiliser :

Considérant une région limitée, H, de l'espace [[.r, jj-', . . .]J, appelons point remarquable de la région tout point possédant certaines propriétés déterminées (de nature quelconque). Gela étant, si la région limitée R offre un nombre illimité de points remarquables, on peut assigner quelque point fixe de l'espace \\x, y, . . .] 1 offrant dans son voisinage, à une distance moindre que toute quantité donnée, une infinité de points remarquables de la région.

Effectivement, la région H étant limitée, il existe, comme ci-dessus, quelque intervalle complexe,

qui la coujprend tout entière, et que nous désignerons, pour abréger, par 3j. Si l'on divise en deux parties égales chacun des intervalles simples dont se compose Jj, et qu'on ordonne les intervalles complexes partiels résultant de cette subdivision, l'un au moins de ces derniers contient une infinité dep<^»inls remarquables de la région R. Appelons i), le premier d'entre eux pour lequel cette circonstance se réalise, opérons sur lui comme nous l'avons fait sur 3j, et ainsi de suite indéfiniment. Nous formerons de cette manière une suite illimitée d'intervalles complexes,

jouissant de la triple propriété suivante : i" chacun d'eux fait entièrement partie du

CONTINUITE. li)

Généralités relatives aux régions à la fois limitées et complètes.

10. Désignant par x^ y, ... des variables réelles en nombre quelconque /i, considérons une région ^extraite de l'espace r[x,y, •••]]' ^^ supposons qu'à chaque point (^, JK, . • .) de la région on fasse, de quelque manière, correspondre un ensemble de constantes réelles ou imaginaires (soit une, soit plusieurs, soil une infinité) dont chacune s'appellera, pour abréger, une caractéristique du point.

Sur ces données faisons en outre l'hypothèse suivante :

Si un point [xq^ y^^ . . .) de la région admet parmi ses caractéristiques la constante Xq, tout point de la région ^ suffisamment voisin du précédent admet parmi les siennes quelque constante dont la différence à ).„ présente un module inférieur à une quantité positive assignée d^ avance.

En d'autres termes, si l'on considère un point déterminé (^05 J^o 5 •••) de la région 11, une caractéristique déterminée \q de ce point, et une constante positive arbitrairement donnée a, on peut assigner une constante positive j3 telle que la relation

supposée vérifiée pour un point (^, JK? . . -) àe, la région 11, entraîne pour ce dernier point l'existence de quelque caractéristique \ satis-

précédent; 2" celui de rang /: a pour amplitudes les quantités infiniment petites

3' chacun d'eux contient une infinité de points remarquables de la région H.

Cela étant, si, dans chacun des intervalles complexes de la suite, on assigne un point suivant une loi arbitrairement choisie (par exemple celui qui a pour coordonnées les valeurs extrêmes minima des divers intervalles simples qui constituent l'intervalle complexe), la variante ainsi obtenue tend vers une limite. S, située dans l'un quelconque des intervalles complexes de la suite. On conclut de là que la distance de S à un point quelconque de 3,^ est inférieure à

-^v/(X-a;„y^-h(Y-ra)'^-H...,

et, par suite, qu'elle tombe au-dessous de toute quantité donnée à partir d'une valeur suffisamment grande de k : de cette circonstance, combinée avec la troisième propriété des intervalles de la suite, résulte la proposition qu'il s'agit d'établir.

l6 CHAPITRE I.

faisant à la relation

mod (X — Xo) < a.

Gela étant, nous allons établir successivement les diverses propositions qui suivent.

11. Les mêmes choses étant posées qu'au n'* ]()^ et la région M étant, de plus, limitée et complète, on peut assigner une constante positis^e, L, telle que tout point de la région admette, indépendamment de sa position, quelque caractéristique de module inférieur à L.