Soient

X, y^ ... des variables réelles;

C une région complète de l'espace \x^ y, . . •] ;

(l) 3,, 3.,, ..., %rj, ...

une suite d'intervalles complexes se succédant indéfiniment suivant quelque loi déterminée, arbitrairement choisie sous les seules conditions : i" que chacun d'eux soit entièrement contenu dans le précédent; 2" que les amplitudes (n" 9, II)de ^q tendent vers zéro pour q infini; 3" que chacun des intervalles (1) contienne quelque point de la région complète C;

enfin,

S\i S2, . . . , Sq,

des points respectivement choisis dans les intervalles (i) suivant une loi déterminée quelconque.

Gela étant, il résulte d'une démonstration antérieure (n° 9, III) que la variante Sq tend vers une limite S située dans Tun quelconque des intervalles (i). Je dis, de plus, que cette limite appartient nécessairement à la région C : car, s'il en était autrement, l'intervalle jï^, dont nous désignerons les amplitudes par aq, bq, ..., contiendrait, en même temps que S, quelque point de la région C, et la distance de S à un pareil point pourrait devenir inférieure à la quantité

par suite à toute quantité donnée. Or. c'est là une conclusion absurde

puisque la région C est complète, et que le point S, s'il n'y est pas compris, ne peut lui être que complètement extérieur (n" 3).

II. Les mêmes choses étant posées qu'au /?" 10, et la région % étant, de plus, limitée et complète, s'il existe, dans cette région, quelque point dont toute caractéristique ait un module supérieur à la constante positive co, on peut, suivant une loi déterminée, assigner dans la région "U un point dont toute caractéristique ait un module supérieur ou égal à o).

La région "II, étant limitée, se trouve entièrement contenue dans quelque intervalle complexe J), (n^ 9, ÏV). Divisons en deux parties égales chacun des n intervalles simples,

de l'association desquels ce dernier résulte, ordonnons les intervalles complexes partiels fournis par cette subdivision (n" 9, II), et appelons Jïa le premier d'entre eux contenant quelque point de % dont toute caractéristique ait un module supérieur à to. En opérant sur l'intervalle Jïo comme nous l'avons fait sur jf,, et ainsi de suite indéfiniment, nous obtiendrons une succession illimitée d'intervalles complexes,

(2) Ji, 32, ..., 3^, ...,

jouissant de la triple propriété que nous allons énoncer : 1° Chacun d'eux fait entièrement partie du précédent; 2" Celui de rang q a pour amplitudes les quantités