X - ^0 Y-ro

qui sont infiniment petites pour q infini ;

3" Chacun des intervalles (2) contient quelque point de U dont toute caractéristique présente un module supérieur à co.

Cela étant, il résulte tout d'abord de l'alinéa I que, si l'on désigne par Sq un point choisi dans jï^ suivant une loi déterminée quelconque, cette variante Sq tend vers une limite S située dans l'un quelconque des intervalles (2), et aussi dans la région 11. Je dis, de plus, que toute caractéristique du point S est forcément de module supérieur ou égal à oj.

Supposons en ettel que quelque caractéristique, À,;, de ce point ait un module inférieur à (o, et désignons par s un point quelconque commun à W ei à J/^. A partir d'une valeur de q suffisamment grande, la distance des deux points 5 et S tombe au-dessous de toute quantité donnc'e, puisqu'elle est inférieure à

i^(X— ;ro)2-^(Y— jo)^^...;

donc, à partir d'une valeur de q suffisamment grande, le point s admettra quelque caractéristique, X^, telle que le module de A^ — A^^ tombe lui-même au-dessous de toute quantité donnée, et, à plus forie raison, la valeur numérique de

modX.v — modXs;

le module de A^ étant inférieur à to, tout point commun à 1^ et à ^<f admettra donc, à partir d'une valeur de q suffisamment grande, quelque caractéristique de module inférieur à w, ce qui est impossible, puisque, d'après la troisième propriété des intervalles (2), un pareil point peut toujours être choisi de manière que toute caractéristique y ait un module supérieur à w.

Toute caractéristique du point S est donc bien, comme il s'agissait de l'établir, de module supérieur ou égal à w.

Le raisonnement qui précède doit être complété par une observation essentielle. Pour déterminer le point S comme nous venons de le faire, on commence par considérer un intervalle complexe, Jl,, où la région 1^ se trouve entièrement comprise : il existe, naturellement, une infinité d'intervalles complexes jouissant de cette propriété, et, suivant qu'on prend tel ou tel d'entre eux pour point de départ des divisions successives en deux parties égales, le point S peut n'être pas le même; mais, l'intervalle jl, une fois fixé, le pointS^ auquel elles conduisent finalement, est entièrement déterminé (n" 9, 111).

111. Les mêmes choses étant posées qu'au /i" 10, et la région ^ étant, de plus, limitée et complète, considérons une suite indéfinie donnée,

(3) • wi, co,, co,;,, ...,

de constantes positives, et supposons que, quel que soit m^ la ré-

gion 11 contienne quelque point dont toute caractéristique ait un module supérieur à to„i.

Cela étant, on peut assigner quelque variante, (x,n^ y m-, -- -)', tombant constamment dans la région Î1, et telle que toute caractéristique du point [x„i^ Xm^ • • •) ait un module supérieur ou égal

En se donnant une fois pour toutes un intervalle complexe où se trouve comprise la région ti, et en recommençant pour chaque terme de la suite (3) un raisonnement identique à celui de l'alinéa précédent, on définira une variante {Xm-, ym^ • • •) satisfaisant à toutes les conditions requises.

IV. Les mêmes choses étant posées qu^au n° 10, et la région tJ étant, déplus, limitée et complète, on peut assigner une constante positive, L', telle que tout point de la région ^ admette, indépendamment de sa position, quelque caractéristique de module inférieur ou égal à \J . .

Supposons en effet qu'il en soit autrement, c'est-à-dire que, une constante positive w, de grandeur arbitraire, étant donnée, il existe dans la région 11 quelque point dont toute caractéristique présente un module supérieur à oj. Cela étant, si l'on prend successivement pour (JL) tous les nombres entiers positifs.

il existe, en vertu de l'alinéa III, quelque variante, {x,n,y,n^ ...), tombant constamment dans la région 11, et telle qu'au point (^,„,yw, ...) toute caractéristique ait un module supérieur ou égal à m\ cette variante ne sortant jamais de la région 11, qui est limitée et complète, une variante,

convenablement extraite de {x,n-, y m-, • • •)> ^^^^ convergente (n" 9), et sa limite sera située dans H (n'^ 8). Gela étant, désignons par A une caractéristique de ce point limite : à partir d'une valeur de k suffisamment grande, le point (a?^^, y^*^, . . .) admettra quelque caractéristique dont la différence à A présente un module moindre que toute quantité donnée; à plus forte raison, la différence, prise en valeur absolue, des modules de ces deux caractéristiques sera-t-elle moindre

que loule quaiililé donnée : or, c'est là une conclusion absurde, puisque toute caractéristique du point (^^*^,JK^*^ • • •) possède un module supérieur ou égal à la variante infinie m^.

V. Toute constante positive, L, supérieure à la constante L' dont il est question à l'alinéa IV, remplira évidemment les conditions requises par notre énoncé général.

12. Les mêmes choses étant posées qu'au n'' 10, et la région M étant, de plus, limitée et com^plète, si, quelle que soit la constante positive w, la région H contient quelque point dont toute caractéristique présente un module inférieur à to, elle contient nécessairement aussi quelque point dont toute caractéristique est nulle.

I. Les mêmes choses étant posées qu'au n^ 10, et la légion 11 étant, de plus, limitée et complète, considérons une suite indéfinie donnée,

U)i, C02, . . ., tO/„, . . .,

de constantes positives, et supposons que, quel que soit m, la région li contienne quelque point dont toute caractéristique ait un module inférieur à m^i-

Cela étant, on peut assigner quelque variante, {x,n, ym, • • -Jy tombant constamment dans la région H, et telle que toute caractéristique du point {Xffi', ym, • • .) «^^ iiti module inférieur ou égal à w,„.

On répétera, avec les modifications voulues, les raisonnements faits dans les alinéas II et III du numéro précédent.

II. Revenons à notre énoncé général, et supposons, conformément à rhjpothèse, qu'une constante positive to, de petitesse arbitraire, étant donnée, il existe dans la région là quelque point dont toute caractéristique ait un module inférieur à w. Gela étant, si l'on prend successivement pour to les inverses arithmétiques de tous les nombres

entiers positifs,

il existe, en vertu de l'alinéa I, quelque variante, {xm, y,n, . . .), tombant constamment dans la région 11, et telle qu'au point (xm, y m, - - •)

CONTINUITK.

toute caractéristique ait un module inférieur ou égal à — ; cette variante ne sortant jamais de la région 11, qui est limitée et complète, une variante,

convenablement extraite de {x,n^ y-m, •••)? ^^^'^ convergente (n° 9), et sa limite sera située dans W (n" 8). Gela étant, je dis que toute caractéristique, A, du point limite est forcément nulle. En effet, à partir d'une valeur de k suffisamment grande, le point {.x^^^,y^^\ . . .) admettra quelque caractéristique dont la différence à A présente un module moindre que toute quantité donnée ; à plus forte raièon la différence, prise en valeur absolue, des modules de ces deux caractéristiques sera-t-elle moindre que toute quantité donnée : si donc le module de A n'était pas nul, le point {x^^\r^^^^ . . .) admettrait, à partir d'une valeur de A* suffisamment grande, quelque caractéristique

de module supérieur à la variante infiniment petite — > ce qui est impossible.

13. Les mêmes choses étant posées qu'au n'' 10, et la région ^ étant, de plus, limitée et complète, si toutes les caractéristiques des divers points de la région sont des quantités différentes de zéro, on peut assigner une constante positive, l, telle que tout point de la région % admette, indépendamment de sa position, quelque caractéristique de module supérieur à l.

Puisque toute caractéristique est, par hypothèse, essentiellement différente de zéro, il est impossible qu'en aucun point de la région "U toute caractéristique soit nulle; si donc on se reporte au numéro précédent, on voit qu'en désignant par /' une constante positive convenablement choisie, il n'existe dans la région H aucun point dont toute caractéristique présente un module inférieure /'. En d'autres termes, tout point de la région ^ possède quelque caractéristique de module supérieur ou égal à /', et, dès lors, une constante positive, /, arbitrairement choisie au-dessous de /', satisfaite la condition requise par notre énoncé.

14. Les mêmes choses étant posées qu'au n" 10, et la région % étant, de plus, limitée et complète, on peut, une constante positive (x.

22 CHAPITHE 1.

étant donnée, assigner une constante posiiue |3, telle que deux points arbitrairement choisis dans la région 1^ à une distance mutuelle moindre que fi admettent respectivement, au nombre de Leurs caractéristiques, deux quantités dont la différence ait un module moindre que a.

1. Les mêmes choses étant posées qu^au n" 10, si l'on considère un point déterminé, (^o?JKo7 • • 0^ ^^^ ^^ région^, on peut, une constante positive cf. étant donnée, assigner une constante positive, §05 telle que deux points arbitraiienient choisis dans la région H, sous la seule condition que leurs distances « (^o^ JKoj • • •) soient l'une et l'autre moindres que^^^ admettent respectivement^ au nombre de leurs caractéristiques, deux quantités dont la différence ait un module moindre que a.

Si l'on désigne en effet par Aq une caractéristique du point (^0, j'o, . . .), on peut, en vertu de nos hypothèses, assigner une constante positive 8,) telle que la relation

s/i^x — a7o)'^+(.r — JKo)^ + - •• < Oo,

supposée vérifiée pour un point (.r, y, . . .) de la région 11, entraîne comme conséquence nécessaire, pour le point dont il s'agit, l'existence de quelque caractéristique À vérifiant la relation

mod(X — Xo) <

Cela étant, désignons par (;r', y' ^ . . .), {x'\ y" ^ . . .) deux points arbitrairement choisis dans la région 11 sous les seules conditions que leurs distances à (^07 JKo^ • • •) soient l'une et l'autre moindres que 80 • d'après ce qui vient d'être dit, ces deux points admettront respectivement deux caractéristiques, à', )/', vérifiant les relations

iiiotl(X'— Ao) < -) iiiod(X" — Xo)<-»

d'où résulte, par addition meml)re à membre,

mod( X'— Xo)-h mod(Xo — X") < a,

et, à plus forte raison,

mod(X' — X") < a.

II. Les mêmes choses étant posées qu'au ii° 10, nommons désormais caractéristique première d'un point déterminé (quelconque) de la région 11 ce que jusqu'ici nous avons simplement appelé caractéristique; puis, considérant le nombre positif donné a, nommons caractéristique seconde du même point toute constante positive telle que deux points arbitrairement choisis dans la région HI, sous les seules conditions que leurs distances au piemier soient l'une et l'autre moindres que cette constante, admettent respectivement, au nombre de leurs caractéristiques premières, deux quantités dont la différence présente un module moindre que a (I). Gela étant, si un point {xQ,yQ^ ...) de la région 11 admet, parmi ses caractéristiques secondes, la constante positive Ôq, tout point de la région H suffisamment voisin du précédent admettra parmi les siennes une constante positive dont la différence à^Q, prise en valeur absolue, tombe au-dessous d'une quantité positive assignée d'avance.

Effectivement, tout point (^, r,, . . .) de la région Hl dont la distance à (.ro,yo7 . . .) tombe au-dessous de 8o nf^ peut manquer, comme on va le voir, d'admettre au nombre de ses caiactéristiques secondes la différence (positive)

car les relations

qui peuvent s'écrire

/(ar'— 0'+^r' — -n)^+... + /(•ï-.i-^)--+-(j'o— -^ )' + ... <ôo,

entraînent, à plus forte raison (n' 2, 1),

s/ix" — X^,Y-^ (y" — y,^)t-^ ... < ôo,

d'où résulte que deux points (^',^', . . .), {x" ^y" .^ . . .) de la région H, s'ils satisfont aux relations (5), admettent respectivement, au nombre de leurs caracléristiques premières, deux quantités dont la difl'érence

présente un module moindre que a; le point (i, 7i, . . . ) admet donc bien 8 pour caractéristique seconde. La simple inspection de la formule (4) montre alors que, si le point (i,r|, . . .) est suffisamment voisin de(.ro,jKo, . . .), la différence (positive) Oq — o tombe au-dessous de toute quantité donnée.