III. Revenons à notre énoncé général

La région % étant alors limitée et complète, et toute caractéristique seconde (II) d'un point de cette région étant, par définition même, essentiellement supérieure à zéro, la proposition du numéro précédent est applicable, et l'on peut affirmer qu'en désignant par (^ une constante positive convenablement choisie, tout point de la région 11 admet, indépendamment de sa position, quelque caractéristique seconde supérieure à ^.

Cela posé, considérons dans la région H deux points, (^<,j^<, . . .), (^2)^25 ' ' ')i dont la distance mutuelle soit moindre que [i : je dis que ces deux points admettent respectivement, parmi leurs caractéristiques premières, deux quantités dont la différence présente un module moindre que a. Effectivement, l'un quelconque de ces deux points, par exemple (^i, y,, . ..), admettant, d'après ce qui vient d'être dit, une caractéristique seconde supérieure à j^, les relations

,g. \ A^' -xx Y + ( y — jKi )-^ -+- . . . < 13,

/ Sl{x"— X, y + ( j" yi )-^ 4- . . . < P,

supposées vérifiées pour deux points (x',y', . . .)? {-^^"^7"^ . . .) de la région 11, entraînent comme conséquence nécessaire l'existence, en ces deux points, de caractéristiques premières dont la différence présente un module moindre que a. Or, la distance du point {x^^y^, . . . ) à lui-même étant nulle, et sa distance au point (.To, jKt., . . .) étant, par hypothèse, moindre que j3, les relations (6) se trouvent vérifiées pour

les points (jc,,jk< . . .)? (-^^^ JKa? . . •) admettent donc respectivement, au nombre de leurs caractéristiques premières, deux quantités dont a différence présente un module moindre que a. C'est ce qu'il s'agissait d'établir.

Fonctions continues.

lo. Nous nommerons premier et second élément de la quantité imaginaire a'-j- id' les deux quantités réelles a! ^ a!' . Si aux n variables

(i) x^x'-r-ix", y=/^iy\

on attribue tous les systèmes possibles de valeurs imaginaires, les systèmes de valeurs réelles que prennent alors leurs in éléments redonnent les divers points d'un espace à 2 /z dimensions,

(2) \[oc', x\y\ y\ ...]].

Il arrive d'ailleurs sans cesse qu'on ait à considérer exclusivement, dans telle ou telle question, les systèmes de valeurs des n variables ( I ) satisfaisant à tel ou tel groupe de conditions entre leurs 2 n éléments, ou, ce qui revient au même, les points situés dans telle ou telle région de l'espace (2).

Dans l'espace à 2 /i dimensions (2), à la considération duquel on est conduit par celle des n variables imaginaires (i), un point quelconque

se désigne tout aussi bien par la notation

et les valeurs a?, y, ... se nomment, en pareil cas, les coordonnées imaginaires du point. L'espace (2) se désigne de même par la notation

Enfin, si l'on considère dans l'espace (2) deux points quelconques,

Xi = X^-\- IX^,

.ri = rx-^^ri

x^,= x\^ix\,

y2 = y'^-\-iy".

leur distance, égale par définition (n" 1 ) à

s/{x\ - x'if-^{x\ — x\ )2-h (y, -y'^ r^+ (/; -y\ y

peut évidemment s'écrire sous la forme

v/mod(.ri — ^2)" H- '^oà(y\ — y^)^-

Si, notamment, il n'y a qu'une seule variable imaginaire, ^, la distance des deux points ^',, x.2 est égale au module de la différence