Soient

n variables indépendantes, que nous supposerons, indifféremment, réelles ou imaginaires.

Une fonction y* (^, y, . . .), bien définie dans toute l'étendue d'une région 11 de l'espace T [^, JK? • - ']\ (')? ^st dite continue dans cette région, si, un point (^05 JK07 . . . ) ^^ ^^ région et une constante positive a étant donnés, on peut leur faire correspondre quelque constante positive, j3, telle que les relations simultanées

mod(a7 — a7o) < [3, mod(jK — JKoX ?, -..,

supposées vérifiées pour un point (^, J', ...) de la région lî, entraînent comme conséquence nécessaire la relation

(3) mod[/(a7, 7, . . .) — /(-^o, Jo, ...)]<^;

ou, ce qui revient au même, si, le point (xq^Vq, . . .) et la constante a étant donnés, on peut leur faire correspondre quelque constante positive, y, telle que la relation

y/mod ( ic — j7o )2 -+- mod ( X — 7o )"^ -t- • • • < Y,

supposée vérifiée pour un point (x, y, . . .) de la région H, entraîne comme conséquence nécessaire la relation (3).

Si une fonction, u=f(x,yj . . . ), est continue dans une région"^ de l'espace ï[x,y, • • .]]? ^^ ^^ ^^'^^ variante {xm,r,...^ym,r,...^ • • •)' tombant constamment dans cette région, a pour limite un point (X^ Y, . . .) qui y soit également situé, la variante

^/it,r,... ^^^ J\'^fn,r,...i ym,/\...i • • •-)

(') Cet espace est à /i ou à an dimensions, suivant que les n variables a;, y, ... sont réelles ou imaginaires.

de r espace N^^]] a pour limite le point

U=/(X, Y, ...) de cet espace.

Effectivement, la distance du point variable {jCm,r,..., ym,r,...^ . . •) au point fixe (X, Y, . . .) finissant, en vertu de notre hypothèse, par tomber au-dessous de toute quantité donnée (n" 7), il résulte de la continuité de/(x, )\ . . .) que le module de la différence U — Um,/,...-, c'est-à-dire la distance des deux points u,n^,,...^ U de l'espace MwM (n° 1) (n'* 15), jouit nécessairement aussi de cette même propriété : le point Um,r,... a donc pour limite U (n" 7).

17. Si l'on observe que, dans le cas où les variables x^ y, ... sont imaginaires, l'espace Mx, r, . . .] n'est autre chose, par définition (n" 15), que l'espace (2); si, d'un autre côté, on compare à notre hypothèse générale du n" 10 la définition, donnée ci-dessus (n" 16), de la continuité, on voit immédiatement qu'elle s'en déduit par la simple supposition que chaque point de la région H possède une caractéristique unique. Nous pouvons donc, sans autre démonstration, énoncer les théorèmes suivants :

i" Si une fonction est continue dans une région limitée et complète, son module y reste constamment inférieur à quelque quantité fixe (n" 11) ;

2*^ Si une fonction est continue dans une région limitée et complète, et qu'elle y puisse acquérir un module inférieur à toute quantité positive donnée, elle s'annule certainement en quelque point de la région (n° 12);

S*' Si une fonction est continue dans une région limitée et complète, et qu'elle ne s'y annule jamais, son module y reste constamment supérieur à quelque quantité positive fixe (n" 13);

4" Si une fonction f [x^ y ^ . . .) est continue dans une région limitée et complète, on peut, un nombre positif a étant donné, assigner un nombre positif |3 tel que, pour deux points (^1, j^,, . . .), (^2, J^25 . . .) arbitrairement choisis dans la région à une distance mutuelle moindre que jB, la différence

f{Xx,y\, ...)— /(>2, JK2, ...)

présente un module moindre que a (ai" 14).

Observons enfin : 5" Que le module d^ une fonction continue /{x^y^ . . .) est lui-même une fonction continue ; il suffit, pour s'en convaincre, de se reporter à notre définition du n*' 16, et de remarquer que la relation

mod[/(^, jK ,•...)—/( ^o,JKo, ...)]<«

entraîne comme conséquence nécessaire

val. abs. [ mod f{x, y, . . .) — mod /( Xq, jko, • • . )J < a.

48. Nous terminerons ce Chapitre par la remarque suivante : Soient :

^, jK, ... des variables indépendantes (réelles ou imaginaires) en nombre quelconque g\

des fonctions de x, jk, . . . , en nombre quelconque y, toutes continues dans une même région, l^a:, j, ..., de l'espace M^,^, . . .] ; ^i/, f, ... la région de l'espace [[w, (^, . . .]1 constituée par l'ensemble des divers points (w, v^ ...) qui, en vertu des formules (4), correspondent (avec répétition possible) aux divers points de

Cela posé, si la région î^x, j, ... est à la fois limitée et complète, la région ^u,v,... ne peut manquer de l'être aussi.

I. Une fonction entière, /(^, .7, . . .), est continue dans toute Vétendue de V espace \\x^y^ . . .]1 (').

(*) Il s'agit de faire voir qu'en désignant par (a?^,^^, ...) un point fixe donné et par a une constante positive donnée, on peut assigner une constante positive, p, telle que les relations simultanées

rnod(a7 — a;„)< p, mod (y — jKoX P,

entraînent comme conséquence nécessaire

mod[fix,y, ...)—f{x„y, )] < a.

Effectivement, si l'on pose

II. Si l'on désigne par m un entier positif , et par z une variable indépendante assujettie à se mouK>oir dans la région 3^0, la fonction [positive) \l z est continue (').

III. On nomme composition des fonctions l'opération qui consiste à substituer aux variables w, v, . . . , en nombre quelconque y, d'une fonction donnée,

(5) /(m, p, ...), / fonctions données,

la différence

peut, par l'application des premières règles de l'Algèbre, être mise sous forme d'un polynôme entier en /t, k, ... ayant ses termes tous dissemblables et privé de terme constant. Si ce polynôme, P(A, ât, ...), n'a que des coefficients nuis, il est nul quels que soient /i, /r, ..., et le nombre positif p est arbitraire. Dans le cas contraire, soient q le nombre de ses termes (à coefficients non nuls), [Jl le plus grand module

des coefficients, et ^ un nombre positif à la fois inférieur à i et à - — ; en supposant les modules de A, Ar, ... tous inférieurs à p, celui du terme

Ch'^kK.., où a-f-ÔH-... est forcément plus grand que zéro, est inférieur à

la somme des modules des termes du polynôme P(/i, A, ..) et, à plus forte raison,

oc le module de P(A, ât, ...) sont donc inférieurs h q—t c'est-à-dire à a.

( ' ) En effet, si l'on prend arbitrairement, dans la région 2^0, deux valeurs Zj, z^, on a, en désignant par z, la plus grande des deux,

V/2,i V22-t- Vz,— z^,

comme le montre l'élévation des deux membres de l'inégalité à la puissance m. En vertu de cette relation, qui peut s'écrire sous la forme

/«/ /n/ ^ tn/

il suffit, pour que la différence (prise positivement) de deux valeurs de la fonction soit inférieure à a, que la différence (prise positivement) des deux valeurs de z soit inférieure à a"*. A plus forte raison cette fonction est-elle continue dans la région dont il s'agit.

3() CIIAPITRK 1.

d'autres variables x,y, . . . , en nombre quelconque g"^ ce qui engendre évidemment une nouvelle l'onction de ces dernières,

<7) F(.r,j^, ...)=/[U(:r,jK, ...), V(>,r, •■•). •••];

relativement à cette opération, les fonctions (6) seront dites simples, / (if, r, . . .) se nommera la fonction composante, et F(^, y, . . . ) la fonction composée.

Cela étant, si les fonctions simples ((]) sont toutes continues dans une même j-égion, ^j-, j, ..., de V espace M^,^, •••] j si, de plus, la composante (5) est continue dans une région, ^m,,., ..., de V espace [[w, v^ •.•]]? ^^ enfin, pour un choix arbitraire du point {x^y, . . .) dans la première région, le f)oint fourni par l'association des valeurs (6) se trouve toujours compris dans la seconde: la fonction composée (7) est certainement continue dans la région lia-,j, ....

Soient, en efl'et :

(^07.)'oj • • . ) ^^^ point particulier quelconque de ^x, r, ... > ;/o, t'o, ... les valeurs correspondantes des fonctions (6); a un nombre positif choisi à volonté ; P un deuxième nombre positif, tel que la différence

f{u, V. ...)—/(«,„ Po, •..)

présente un module inférieur à a, toutes les fois que le point (m, ^', ...) de la région li«, t-, ... se trouve à une distance de {uq, ('07 . . . ) moindre que p; V un dernier nombre positif, tel que les / différences

présentent toutes des modules moindres que —=? dès que le point

{x, y, . . .) de la région îl^,^, ... se trouve à une distance de (.270 5 JK(i? . . .) moindre que y.

Cela étant, si un point (x^y^ . . .) de la région Mj.^ >•, ... satisfait à la relation

\/mod{cc — a.\,y^-^ mo(\{y — y»)''-i- . . • < Y,

le point («, r, . . .) de la région li«,i., ... fourni par l'association des

CONTINUITÉ. 3l

valeurs (6) vérifiera la relation

/ mod (u — Wo )■- -H niod ( p — ^o)'^ ■+- • • • < [^« par suite aussi la relation

mod [/(M, V, ...) — /Oo, t'o, .. .)j < oc, c'est-à-dire qu'on aura

mod[F(;r, .X, . . .} — F{x», y^, ...)]<«•