IV. Revenons à notre énoncé

La région li«, ,,,... est nécessairement limitée : car chacune des fonctions it^ r, . . . , que définissent les formules (4), étant, par hypothèse, continue dans la région limitée et complète H^:^ y^ ..., j garde un module constamment inférieur à quelque nombre positif fixe (n" 17, i"), et, dès lors, la quantité

Y mod u^ -\- mod v--\- . . . ^

distance du point (m, i^', . . .) au point fixe (o, o, . . .), jouit elle-même de cette propriété.

La région 1l«, ,.,... est, en outre, complète : si l'on désigne, en effet, par (u, C5, . . .) un point fixe n'en faisant pas partie, et que l'on considère la distance du point (i», ©, •••) ^ ^^^ point variable, (m, r, . . . ), de la région, cette distance,

v/inod( w — -j)'^-!- raod(p — (^ )--+-... ,

ne peut manquer d'être, comme le sont par hypothèse les fonctions M, ç^, ..., continue dans la région limitée et complète ^a;, >, •• (n*^ 18, I, II, III) (n** 17, 5"). Gomme, d'ailleurs, la distance en question ne s'annule en aucun point de ^x,y, ...-, elle reste constamment supérieure à quelque quantité positive fixe (n°17, 3"); on en conclut, comme il s'agissait de l'établir, que le point (u, 'j, . . . ) est complètement extérieur (n" 3) à la région lî^^ „^ ....

Premières propriétés.