On nomme série une suite illimitée de quantités

se formant successivement d'après une loi donnée, et que l'on somme en nombre indéfiniment croissant dans l'ordre même de leur formation : c'est ce qu'indique la notation usuelle

(l) Ui-h U2-h . . .-h Un-+-

Dans ces sommations successives, il arrive de deux choses l'une : ou bien la variante S«, obtenue en formant la somme

Wj H- W2-f-. . .-T- U,i

des n premiers termes de la série, tend, pour n infini, vers quelque limite, S; ou bien elle ne tend vers aucune limite.

Dans le premier cas, la série est dite convergente, et la limite S, qu'on représente aussi par la notation ( i ), s'appelle la somme de la série convergente. La différence S — S,,, qui tend alors vers zéro, est la somme de la série, également convergente^

que l'on obtient par la suppression des n premiers termes de la pro-

(') Le Chapitre II, consacré aux séries, contient l'exposé des propriétés élémentaires, fort peu nombreuses, qui seront utiles dans les suivants : ces propriétés s'y trouvent rangées et groupées à peu près de la même façon que dans les Chapitres de l'Ouvrage de M. Méray, qui, plus complètement, traitent du même sujet {Leçons nouvelles, etc., i" Partie, Chap. IV etV).

posée : on la nomme le reste de celle-ci, arrêtée à son terme de rang n.

Dans le second cas, celui où S„ ne tend vers aucune limite, la série est dite divergente; elle n'a alors ni somme ni reste.

D'après la règle générale formulée au n'^ 7, il faut, pour savoir si

la série

Ml -+- M2 -I- • . • H- W/i H- . • •

est convergente ou divergente, considérer la différence ^n^p — S,, (n^^ 1 et 15), c'est-à-dire la somme

des p termes qui suivent le /i'*^'"% et chercher si, à partir d'une valeur de n suffisamment grande, et quel que soit jd, celte somme conserve un module inférieur à toute quantité positive donnée.