Les remarques suivantes sont très souvent utilisées

I. Désignons par S„^^ la somme des p termes qui suivent le ai*^°^^ dans une première série

par S'„ p la somme analogue dans une deuxième série

(3) Mj + M2 -+-...-+- a'„ + . . .,

et par a une quantité positive fixe. Cela étant :

1" Si la série (3) est convergente, et si, à partir d*une certaine valeur de n, on a, quel que soit p,

mod S„,^^^ a mod S/j p, la série (2) est également convergente.

Car, à partir d'une valeur de n suffisamment grande, et quel que soit /?, le module de S,,^ reste inférieur à toute quantité positive donnée, donc aussi celui de ^n.p-

2" Si, au contraire, la série (3) est divergente, et si, à partir d' une certaine valeur de n, on a, quel que soit p,

modS,i,p^a nnodS'„^p,

la série (2) est également divergente.

34 CHAPITRH 11.

Car la relation précédente peut s'écrire

mo(lS^,^,,l - modS,,,/;;

si donc la série (2) était convergente, la série (3) le serait aussi en vertu de i", ce qui est contraire à l'hypothèse.

II. Pour qu^ une série soit convergente, il est nécessaire cjue son terme général tende vers zéro.

Car, dans la série (2), le terme «^/i + i, égal à S,j,i, est la valeur de ^'hP poui' /^ = 1 (1)5 6t dès lors, si l'on suppose la série convergente, doit tendre vers zéro pour n infini (n" 19).

On constate d'ailleurs sur maint exemple que cette condition nécessaire n'est pas sujfisanle.

Ilï. Dans une série convergente, on peut toujours, à condition de ne déplacer aucun de ses ternies, les grouper arbitrairement sans détruire sa convergence ni altérer sa somme.

En d'autres termes, si l'on désigne par S la somme de la série, par S/i celle des n premiers termes, par ^n,p celle des p termes qui suivent le /i'^™^, et par

des entiers positifs (>> o) se succédant indéfiniment suivant quelque loi déterminée, la série

est convergente et a pour somme S.

Car, dans cette dernière série, la somme des k premiers termes a pour valeur

^rei+«2+...-l-njt I

elle tend donc vers S pour k infini, puisque n^ -\- n^ -{-... -\- nh est évidemment infini avec k.

TV. Si des séries convergentes ont

pour tel mes respectifs de rang n^ et

pour sommes respectives, si, en outre,

sont des coefficients constants en même nombre, la série ayant pour terme de rang n

Un = a' u'n -f- a" w'^t -h . . . -h a^^'^ m'/"^

est aussi convergente, et sa somme S se calcule à V aide de la relation semblable

Entre les sommes des n premiers termes dans les A" -h i séries considérées, on a évidemment la relation

d'où l'on déduit immédiatement, par le passage aux limites, le point à démontrer.

En réduisant, soit le nombre A" à i, soit les coefficients (4) à H- i ou — 1 , on trouve ces corollaires, très souvent appliqués :

On multiplie ou on divise par une constante donnée la somme d'une série convergente en exécutant la même opération sur tous ses termes.

On combine par voie d'additions et soustractions les sommes de plusieurs séries convergentes (en nombre limité) en combinant de la même manière leurs termes de même rang.

Observations sur les séries à termes positifs.

Î21 . Les séries à termes positifs donnent lieu aux observations générales suivantes :

I. Ouand une série à termes positif s est divergente, la somme S^ de ses n premiers termes est nécessairement infinie avec n.

A. Une variante simple (n" 6), w„,, à un seul indice, m, est nécessairement convergente, si, à partir d'une valeur suffisant-

ment grande, [jl, de cet indice, elle conserve la double propriété d^être toujours inférieure à quelque constante G, et de ne jamais décroître quand son indice va en croissant.

On ne restreint évidemment pas la généralité de la démonstration en supposant que jj. soit la valeur minimum de l'indice m. Cela étant, et c désignant une quantité fixe moindre que u^^ il résulte de nos hypothèses que l'on a, quel que soit m^

c < u^< C, et, à plus forte raison,

Si l'on divise maintenant en deux parties égales l'intervalle de c à C,

il arrivera, ou bien que la valeur médiane, — ; — > de l'intervalle total

soit surpassée par Um pour quelque valeur convenablement choisie de /?2, ou bien qu'elle ne le soit pour aucune : mais, dans l'un et dans l'autre cas, il existe un des deux intervalles partiels, et un seul, tel qu'on finisse par avoir toujours, en désignant par c, et G, ses deux valeurs extrêmes,

De même, si l'on divise en deux parties égales l'intervalle de c, à G|, il existe un des deux intervalles partiels, et un seul, tel qu'on finisse par avoir toujours, en désignant par C2 et G2 ses deux valeurs extrêmes,

Et ainsi de suite indéfiniment. On formera de cette manière une suite illimitée d'intervalles

c à C, c, à Cl, C2 à G2, ..., ca à Ca-, ...,

jouissant de la triple propriété suivante : 1° chacun d'eux est entièrement compris dans le précédent; 2^ la différence C^ — c/( a pour

valeur ^ y et, par suite, est infiniment petite pour k infini ^ 3" pour

toute valeur particulière de /r, la variante Um finit par être toujours comprise dans l'intervalle de c^ à C^.

Gela étant, il résulte d'une démonstration antérieure (n" 9, III) qu'une valeur choisie dans l'intervalle de Ca à C/( suivant une loi

SERIES EN GENERAL ET SERIES ENTIERES. ij

déterminée quelconque tend vers une limite, F, située dans l'un quelconque des intervalles de la suite. Je dis que la variante Um tend vers r : car, en désignant par e une quantité positive arbitrairement choisie, et par k' une valeur particulière de k choisie de telle façon

que — -j— soit inférieur à £, la variante Um finira, en vertu de la troisième propriété des intervalles, par être constamment comprise dans l'intervalle de Ck à C^ , et, comme la valeur fixe F s'y trouve également située, la différence F — Um finira par être moindre en valeur

absolue que — jy—t et, à plus forte raison, que £ (*).

B. Revenons à notre énoncé.

La série proposée ayant tous ses termes positifs, la variante S„ ne décroît jamais quand n augmente : si donc elle ne finissait pas par surpasser une quantité positive arbitrairement choisie, elle ne la surpasserait pour aucune valeur de /i, et la série serait convergente {A).