II. Soient

Ml H- M2 +.••■+- «^« H- ... , M 1 -4- M2 -H . . . H- m'„ -t- . . .

deux séries à termes positifs.

1° Si la deuxième série est convergente, et si Von a, à partir d' un rang suffisamment éloigné,

la première est également convergente.

Car, à partir d'une valeur suffisamment grande de /i, on a, quel que soit />>,

modS„,p^modS'„ p (n°20, I, I").

(') Semblablement, une variante simple, u^, à un seul indice, m, est nécessairement convergente, si, à partir d'une valeur suffisamment grande, p., de cet indice, elle conserve la double propriété d'être toujours supérieure à quelque constante c, et de ne jamais croître quand son indice va en croissant. La variante — u^ conserve en effet, pour m^[x, la double propriété d'être constamment inférieure à — c, et de ne jamais décroître quand son indice va en croissant : elle tend donc vers quelque limite, et, par suite, u^ tend vers la limite opposée.

2° Si la deuxième série est divergente, et si l'on a, à partir dan rang suffisamment éloigné ,

la première est également divergente.

Car, si la première série était convergente, ]a deuxième le serait aussi en vertu de i°.

3° Si la deuxième série est convergente, et si l'on a, à partir d'un rang suffisamment éloigné,

Un ^ U'n

la première est également convergente.

Effectivement, si l'on désigne par v une valeur particulière de n à partir de laquelle l'inégalité précédente soit constamment vérifiée, et par q un entier positif arbitraire, on a

d'où l'on déduit, parla multiplication membre à membre,

Uy-i-g ^ U,y->rq ^ Uyj ,

On a donc, pour aï^v.

Un=-T U'n U.,

et, par suite, pour /z>v et quel que soit/?,

mod S;,,;,^ —^ mod S'^.p (n°20, 1, i«).

4** Si la deuxième série est divergente, et si Von a, à partir d'un rang suffisamment éloigné,

Un-\-\ ^ ^n+i

la première est également divergente.

Car, si la première série était convergente, la deuxième le serait aussi en vertu de 3".

m. La progression géométrique à raison positive p,

est convergente ou divergente, suivant que p est ou non inférieur à 1. Dans le premier cas, la convergence résulte de l'égalité

I — Qtn-hl I Q'n+i

OÙ tend vers zéro pour m infini; dans le second cas, la diver-

gence résulte de ce que le terme général ne tend pas vers zéro (n° 20,

En supposant alors que la série

u\ H- Mo -+-.,. -f- W'j + . . .

se réduise à cette progression, les règles 3" et 4° de l'alinéa précédent (II) conduisent aux deux suivantes :

Pour qu'une série à termes positifs soit convergente, il suffit que le rapport d' un terme au précédent finisse par rester inférieur à une quantité invariable, plus petite elle-même que V unité {il suffit, en particulier, qu'il tende vers une limite plus petite que i).

Pour qu'une série à termes positifs soit divergente, il suffit que le rapport d'un terme au précédent finisse par ne jamais tomber au-dessous de i (// suffit, en particulier, qu'il tende vers une limite plus grande que i).

Séries absolument convergentes.