Pour que la série {à termes quelconques

soit convergente, il suffit que la série

{•>') Ul-|-'J2-+-...+ U„-h...,

formée par les modules de ses termes, te soit elle-même.

4o CHAPITRE II.

En appelant Sn,p la somme des p termes qui suivent le /i'<^'"« dans la série (i), et 2,,,^ la somme analogue dans la série (2), on a toujours

(3) modS,j,/,^2:„,/„

et cette inégalité, combinée avec la convergence de la série (2), entraîne (n° 20, I, i") celle de la série (1).

La somme et le reste de la série (i) ont alors des modules inférieurs {égauXy au plus) à la somme et au reste correspondant de la série ( 2 ) .

Effectivement, si l'on désigne par S et S les sommes respectives

des séries (i) et (2), par S„ et S,, les sommes de leurs n premiers

termes, par R„ et P^ les restes correspondants, l'inégalité (3) donne,

pour n fixe el p infini,

mod R,i^ P,i, et l'inégalité

modS„^ S„

donne de même, pour n infini,

mod S ^2.

Il importe d'observer que la convergence de la série (2) n'est pas nécessaire à celle de la, série {\) '• mais les séries qui restent convergentes quand on j remplace chaque terme par son module jouissent de propriétés très importantes, dont nous allons exposer les principales; elles sont dites absolument convergentes.