La série

(4) Mj-h a2-f-.. .-f- M«-h. . .

étant supposée absolument convergente :

1° Toute série partielle

formée, suivant une loi quelconque, mais sans répétition, avec des termes de la série (4), est elle-même absolument convergente. 2° Une série

ayant pour termes les sommes de semblables séries partielles, est aussi absolument convergente, si ces séries partielles ont été formées successivement suivant une loi quelconque, m,ais sans répétition, c^ est-à-dire si aucune déciles ne contient un terme de {^) figurant déjà dans quelqu^ une des précédentes.

3** Si ces séries partielles, successivement formées sans répétition, le sont en outre sans omission, c'est-à-dire si chaque terme de la proposée {^) figure dans quelqu' une d'entre elles, la série (6) a même somme que la proposée,

1. En désignant par i»,. Je module de Un-, par 2 la somme de la série convergente

par j', u", ... les modules respectifs de w', d\ . . . , par (s^s) la somme

enfin par G le plus élevé des rangs qu'occupent dans la série (7) les g termes de o-^^^, on a évidemment

a*.?^ ^ ui H- U2 -h . . . H- UG^ 2.

La variante positive o-^^^ reste dès lors constamment inférieure à quelque quantité fixe; comme, d'ailleurs, elle ne décroît jamais quand g augmente, elle tend vers une limite (n" 21, I, ^), et la série formée avec les modules des termes de (5) est convergente.

il. Soient

les sommes des séries convergentes (I) formées avec les modules des termes élémentaires de

Considérant les m premières d'entre ces séries de modules, désignons par

les sommes de leurs n premiers termes, et par K le plus élevé des rangs qu'occupent dans la série (7) les mn termes de ces sommes.

On a évidemment

d'où l'on tire, en laissant m fixe et faisant croître n indéfiniment,

La variante positive

restant toujours inférieure à quelque quantité fixe, et n'allant jamais en décroissant quand m augmente, tend vers quelque limite (n° 21,

1, y4); la série

cpi+ cpaH-.. .-^ cp,„H-.. .

est donc convergente, et, à plus forte raison (n° 21, II, i"), la série

modPi -4- modP2 + ' • --^ v[ioàv„i-\- . . . .

III. Les séries (8) ayant été formées sans omission (ni répétition), il s'agit de prouver que les deux variantes convergentes

ont même limite. Pour cela, il suffît évidemment de faire voir que leiir différence

(Vl-^^i-^. ..-+-i^m) — (Wi-h M2-H- ..+ Un),

variante aux deux indices m, /?, tend vers zéro pour m el n à la fois infinis.

Désignons à cet effet par

les sommes des v premiers termes dans les pi premières des séries (8); par

'^l 1 'il ' • -i ' [X

les restes correspondants ; par

comme ci-dessus (II), les sommes des séries convergentes respectivement formées avec les modules des termes élémentaires de