ENTIERES
par
pT,
les restes
des
séries
Çp,, ©2, ..-, 0|JI,
arrêtées chacune à leur terme de rang v (n" 19) ; par <P^ le reste de la série convergente
(II), arrêtée à son terme de rang a; et par T^ le reste de la série (7), arrêtée à son terme de rang N. Posons enfin
et
p"r+pr+---+p'^"+V
En nommant 5 une quantité positive arbitraire, on peut évidemment trouver pour N quelque valeur particulière rendant T^ inférieur à
-; puis, N étant fixé, trouver pour [J(.,v quelque système de valeurs particulières, telles que les termes
figurent tous dans t^^^] puis, en augmentant, si cela est nécessaire, l'entier p. sans changer v, faire en sorte que <I>a soit inférieur à -;
et enfin, en augmentant, si cela est nécessaire, l'entier v sans
changer {jl, faire en sorte que chacune des jjl quantités (9) soit infé-
g rieure à -— • En résumé donc, on peut attribuer aux entiers N, a, v
des valeurs particulières telles : 1" que V^^ soit <-; 2° que les termes
figurent tous dans t^^.,; 3" que ^jx soit <^-; 4*" que chacune des ix
quantités (o) soit <C-r-- La réunion des deux dernières circonstances entraînera notamment
Les trois entiers N, {ji, v étant ainsi fixés, les relations
nous donnent, par addition membre à membre,
on aura donc, pour m^^,
d'où
mod((;l-^- i^î-h. . .-hi^m— ^|x,v)^P*i"+ p'a^-f-- • •+ p|i^*-+- *[a= *^iii,v» et par conséquent
(10) mod{vi-^ Vi-h. . .-h v,n— ^|x,v)< -• On aura d'un autre côté, pour /i^N,
mod ( Ml -h W2 H- . . . -h Mn — <{X,V ) = ^N,
car, les termes w^, 112, . . . , ^.n étant tous contenus dans ^(x,v7 la différence
devient, après réduction, une somme algébrique de termes précédés soit du signe -f-, soit du signe — , mais dont les indices, tous distincts entre eux, sont supérieurs à N; on en déduit, pour /i^N,
(11) mod(Ui-\- Uz-h. . .^ Un — t^^y) < -■
L'addition membre à membre des relations (10) et (11) donne, pour /M^ijL et /i^N,
mod ( Pi 4- (^2 H- • . • H- t^m — ^[x.v ) + mod ( Wi -t- M2 + . . . + w„ — ^j^.v ) < S,
et à plus forte raison
mod[((;i + t'2H-. . .-i-V,n—t^,v) —{Uy-^Ui^...-\-Un— ^jx,v)l < §,
c'est-à-dire
mod[(piH- i^j-4-. . .-h v,n) — ("i-H Wa-H- • •-+- W/t)] < ô-
