Inversement, soit

(la) i^i -h P2 + ...+ f,„ -+-...

w/ie 5eWe rfo/i^ /e5 termes sont eux-mêmes les sommes des séries convergentes

Wj -h M

«Sf /ê5 séries

formées par les modules des termes de (i3), sont convergentes, et si, de plus, leurs sommes

forment elles-mêmes une série convergente

(i5) ^1+ <ip2-H...-l-cp,„ + ...,

(16) MlH- M2-t-. . .+ M/i-h. . .,

formée d^ une manière quelconque, mais sans répétition ni omission, avec les termes élémentaires des séries partielles (i3), est, ainsi que la proposée (12), absolument convergente, et ces deux séries, (12), (16), ont la même somme.

Effectivement, soit

(17) UiH- U2-4-- ••-^~ ^rt^-.- •

la série formée avec les modules des termes de (16). Si l'on donne à n une valeur particulière quelconque, et à m une autre suffisamment

grande pour que cliaque terme de

S/t = ^1 -H 'Jo -f- •••-+- '->/i

se trouve contenu dans quelqu'une des ni premières séries (14)5 oi^ ^ évidemment

où i) désigne la somme de la série (i5). La variante positive 2,, restant ainsi constamment inférieure à quelque quantité fixe, et n'allant d'ailleurs jamais en décroissant quand n augmente, tend vers une limite; en d'autres termes, la série (17) est convergente, et la série (16) absolument convergente.

Cela posé, il suffît, pour achever la démonstration, d'appliquer la proposition du n" 23 aux séries (12) et (16), dont la première s'obtient par le déplacement et le groupement, sans omission ni répétition, des termes de la seconde.