Quand plusieurs séries [en nombre limité

^U„i= Ux -I- W2 +.. ., ^Vn = <^i -H (^2 -H. . -,

sont absolument convergentes, la série {^UmVnWp. . .), formée, comme dans une multiplication de polynômes, avec les produits partiels de leurs termes, est elle-même absolument convergente, et a pour somme le produit des sommes des proposées, en sorte que l'on a, comme s'il s'agissait efTectivement de polynômes,

I. La proposition est exacte dans le cas où les séries données sont en nombre égal à 2.

Désignons par Sw,„, 2^,^ les deux séries proposées, par S'J,„, Ses,, les séries (convergentes) formées avec les modules de leurs termes, et considérons la série Si»;„cp„. Les termes de cette dernière étant écrits à la suite les uns des autres suivant une loi déterminée (quelconque d'ailleurs), désignons par o-^ la somme de ses g premiers termes, et par k la plus grande valeur que puisse atteindre dans

ceux-ci la somme des indices des deux facteurs. Comme chacun des termes en question figure dans le développement du produit

TnA-i= ('Jl-^ îJî-H...-hUA-i)(cpi-l-cp2-i-. . .-4-cpA-l),

on a évidemment et à plus forte raison

La variante positive t^^, restant ainsi constamment inférieure à une quantité fixe, et n'allant jamais en décroissant quand g augmente, tend vers une limite; en d'autres termes, la série Su,„co/< est convergente.

Observons maintenant que les termes de cette dernière sont précisément les modules de ceux de la série ^amV,^^ qui, dès lors, est absolument convergente, et dont on peut, en vertu du n*^ 23, ordonner et grouper les termes suivant une loi arbitraire. On peut, notamment, répartir ces termes en groupes successifs d'après la valeur qu'j possède l'indice m du facteur w,,^, et transformer la série

en une autre ayant pour termes les sommes des séries partielles

WiPi -4- M1P2 + "it-'s +. . -,

M2 V\ -\- UlV^ -h M2 t^3 -h . . . ,

Um Vx -f- U,n V^ -h W,„ (^3 -f-

on trouve ainsi qu'elle a pour somme

Wi S p„ H- W2 2 Pn -f- . . . + «,rt 2 1^„ -4- . . . (n" 20, IV), c'est-à-dire

( M, -I- W2 -t- . . • H- Uni -H . . . ) X 2 P„,

ou enfin

11. Supposons maintenant que les séries proposées soient en nombre égal à 3, et désignons-les par

Pour avoir les divers produits partiels UmV^Wp^ on peut, faisant d'abord abstraction de la dernière série, former les divers produits partiels Um^'n^ puis les multiplier par les divers termes Wp. Or, en vertu du cas déjà examiné, la série

provenant de la première partie de l'opération, est absolument con« vergente et a pour somme

cela étant, et pour la même raison, la série

provenant de la seconde partie de l'opération, est absolument convergente et a pour somme

c'est-à-dire

On passera de même du cas de trois facteurs au cas de quatre, et ainsi de suite, quel que soit le nombre des facteurs.

11 va sans dire que cette importante proposition s'applique à la formation, non seulement du produit des séries (absolument convergentes) données, mais encore de leurs puissances entières et d'un produit quelconque de semblables puissances.

26. En combinant la proposition précédente avec celle qui se trouve formulée dans l'alinéa IV du n" 20, on voit que, si des séries données sont absolument convergentes, toute expression entière par rapport à leurs sommes se développe, exactement comme si les séries en question se réduisaient à de simples polynômes, en une autre qui est elle-même absolument convergente.

Séries entières; domaines de convergence (i).

27. Une série ayant pour termes des monômes entiers, tous dissemblables, en x^y^ z, ..., est dite entière par rapport à ces va-

( ' ) Voir la Préface, alinéa V.

riables. Ainsi

ao-^ aix -h a^X'-i-. . .^- «y^^'"-!-. . .

est une série entière en x]

est le terme général d'une série entière en x et y,

le terme général d'une série entière en x^ y et z : dans ces expressions, «,„, a^t,,^, ani^n.p désignent des constantes dont la valeur dépend de celles qu'on attribue à leurs indices. Quant à l'ordre de succession des termes, qu'on peut faire varier à l'infini, il est, comme on le verra, indifférent, dans les circonstances générales où nous aurons à considérer les séries entières.

Dans une série de cette espèce, nous qualifierons parfois àî'effectifs les termes à coefficient non nul. Un polynôme entier n'est ainsi autre chose qu'une série entière contenant un nombre limité de termes effectifs, et le degré (ou degré effectif) de ce polynôme est le plus haut degré des termes dont il s'agit.

28. La plus simple des séries entières est celle dont tous les coefficients sont égaux à i , ou