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Ses propriétés, sur lesquelles nous aurons bientôt à nous appuyer, se résument dans l'énoncé suivant :

La série (i) est absolument convergente quand on attribue aux variables x^y^ z^ . . . des valeurs dont les modules ^, v], Ç, . . . soient tous inférieurs à \ ^ et elle a alors pour somme

(') M, Méray la nomme, dans le cas général, une progression géométrique à plusieurs raisons {Leçons nouvelles, etc., i" Partie, p. 79).

5o CHAPITRE II.

Elle diverge dans tous les autres cas, quel que soit V ordre des termes.

Le dernier point s'aperçoit immédiatement : car, si le module de j:, par exemple, est égal ou supérieur à i, celui de x"^ l'est aussi, et le terme général ne tend pas vers zéro (n° 20, II).

Si, au contraire, on a à la fois

x^^y"^^ ^'", . . . tendent vers zéro pour m infini, et il en résulte que les diverses séries

sont convergentes et ont pour sommes respectives I I I

car, dans la première, par exemple, la somme des m premiers termes, égale à

ou ,

a pour limite ;• Les séries (2) sont d'ailleurs absolument convergentes, car la série

par exemple, se déduit de

en attribuant à ^ la valeur E, qui est à elle-même son module, et elle converge, par suite, lorsque ce module est << i : on est donc en droit d'appliquer aux séries (2) le théorème du n" 2o, relatif à la multiplication, et l'on en déduit immédiatement celui dont nous nous occupons.