VIII PREFACE

M"'® de Kowalevsky font l'objet d'un Mémoire publié dans le Journal de Crelle (*); M. Darboux, qui avait entrepris de son côté une recherche analogue, s'est borné à indiquer sa démonstration dans deux Notes communiquées à l'Académie des Sciences (-).

En 1880, M. Méray publia un Mémoire où il se proposait de démontrer d'une manière générale l'existence des intégrales des systèmes d'équations aux dérivées partielles (^). Comme la lecture approfondie de ce Mémoire a été le point de départ de mes propres travaux, comme j'ai pu me convaincre d'ailleurs que son contenu est ignoré du public et des auteurs, je crois devoir entrer à ce sujet dans quelques détails.

M. Méray considère d'abord un système du premier ordre ^ résolu par rapport à un certain nombre de dérivées, et il distingue essentiellement, pour chaque fonction inconnue, les variables indépendantes par rapport auxquelles sont prises les dérivées qui figurent dans les premiers membres du système, de celles qui sont étrangères à la formation des dérivées dont il s'agit; les premières sont, pour lui, les variables principales de la fonction considérée, les dernières ses variables paramétriques, et il va de soi qu'une même variable peut être à la fois principale pour quelque fonction et paramétrique pour quelque autre ("*). M. Méray partage ensuite les dérivées de tous ordres d'une même fonction inconnue en param^étriques et en principales, selon que les différentiations d'où elles proviennent in-

(1) Tome LXXX.

(2) Darboux, Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LXXX, p. 101 et 3î7.

(^) MÉRAY, Démonstration générale de l'existence des intégrales des équations aux dérivées partielles [Journal de Mathématiques pures et appliquées, V série, t. VI, 1880).

(*) Ibid., p. 237.

PREFACE. IX

léressent ses seules variables paramétriques, ou bien, soit avec elles, soit sans elles, quelque variable principale ('). Considérant enfin, dans un système de cette espèce, un groupe quelconque d'intégrales ordinaires, et les supposant développées par la formule de Taylor à partir de valeurs initiales choisies pour les variables, M. Méray nomme détermination initiale de chaque intégrale la fonction de ses seules variables paramétriques à laquelle elle se réduit quand ses variables principales prennent leurs valeurs initiales (^); puis il fait observer que les valeurs initiales de ces déterminations et de leurs dérivées de tous ordres sont respectivement égales à celles des intégrales mêmes et de leurs dérivées paramétriques (^).

Pour disposer nettement les équations d'un pareil système, il convient, ajoute M. Méray, de les écrire dans les cases d'un quadrillage rectangulaire, dont les lignes correspondent aux variables indépendantes et les colonnes aux fonctions inconnues,

en plaçant l'équation qui aurait, par exemple, -r- pour premier

membre, dans la case qui appartient à la fois à la colonne (w) et à la ligne {x) : le Tableau ainsi formé peut contenir des cases vides réparties d'une manière quelconque, et ces dernières sont, pour une colonne donnée, en nombre égal à celui des variables paramétriques de l'inconnue correspondante (''). Si, pour fixer les idées, on désigne par w, p, w trois fonctions inconnues des quatre variables indépendantes x", y, z, s, et que l'on considère un système du premier ordre résolu par rapport aux

dérivées

du du du di' dv d^v dx dy dz dy ds' dz^

(^) MÉRAY, toc. cit., p. .iSy.

(2) Ibid., p. 7.\'i.

(3) Ibid., p. 24'2.

<*) Ibid., p. 237 et -xm.

PREFACE

la seule inspection du Tableau

du dx

du dy

Ty — --

du

dz

dv ds

construit conformément aux indications précédentes, suffît à faire voir : i° que la fonction u a pour variables principales x^ y^ z, pour variable paramétrique s, et pour dérivées paramétriques toutes celles qui intéressent la variable s, à l'exclusion de X, y^ z\ 1^ que la fonction ç> a pour variables principales y et 5, pour variables paramétriques x et j, et pour dérivées paramétriques toutes celles qui intéressent x et z^ à l'exclusion de y et s\ 3° enfîn, que la fonction w a pour variable principale z^ pour variables paramétriques x^ y^ s, et pour dérivées paramétriques toutes celles qui intéressent x, y^ s, à l'exclusion de z. Si l'on considère maintenant un groupe d'intégrales, w, p, w, de notre système, et que l'on désigne par Xq, y^, Zq, Sq les valeurs initiales choisies pour les variables indépendantes, les déterminations initiales de ces intégrales seront respectivement : la fonction de ^ à laquelle u se réduit pour

la fonction de ic et ^ à laquelle p se réduit pour

l'HÉFACK. XI

et la fonction de x^ /, .9 à laquelle vv se réduit pour

Cela étant, M. Méray assujettit les seconds membres des systèmes qu'il considère à une certaine restriction, dont l'énoncé importe peu (*), mais qui entraîne la conséquence capitale suivante (^) : Si aux équations du système donné on adjoint toutes celles qui s' en déduisent par de simples différentiations, ces relations, dites primitives, peuvent être rangées dans un ordre de succession tel, que chacune ne contienne dans son second membre {outre les variables indépendantes, les fonctions inconnues et leurs dérivées paramétriques^ que des dérivées principales figurant dans les premiers membres des relations antérieures. M. Méray conclut de là que, pour reconstruire en entier les développements parla série de Taylor d'intégrales que Ton sait d'avance exister, il suffit de connaître seulement leurs valeurs initiales et celles de leurs dérivées paramétriques de tous ordres, ou, ce qui revient au même, les déterminations initiales de ces intégrales (^); car, ces déterminations étant supposées connues, les relations primitives permettent de calculer successivement les valeurs initiales de toutes les dérivées principales. Puis il aborde le problème inverse, et il cherche si, réciproquement, le système donné admet des intégrales ordinaires ayant pour déterminations initiales respectives des fonctions, choisies au hasard, de leurs divers groupes de variables paramétriques (*).

(1) Voici quelle est cette restriction: En désignant par u et v deux fonctions inconnues quelconques, aucune dérivée de v ne figure dans les seconds membres des équations de la colonne (m), si quelque variable principale de v est paramétrique pour u (Méray, loc. cit., p. 238).

(2) Ibid., \i. 289 et 240.

(3) Ibid., p. 242.

(*) Ibid., p. 243.