II. En vertu des inégalités (5), les quotients

ont tous des modules <C i ? et il en résulte (n° 28) que la série

I(l)'"(iT'(i)"--

entière par rapport à ces quotients et ayant tous ses coefficients égaux à I , est absolument convergente. D'autre part, le module de la quantité

reste, en vertu de l'hypothèse, constamment inférieur à quelque nombre positif fixe. Cela étant, comme le terme général de la série proposée (4) s'obtient en multipliant par la quantité (9) le terme général de la série (8), la série (4) est, comme cette dernière, absolument convergente (I).

30. Nous nommerons domaine toute région définie par un système de relations de la forme

mod(ir — .ToX R.r, mod( j^ — jko)< Ry, mod(z — So)<Rc, •••,

où (Xq^ jKoî ^07 • • •) désigne un point fixe et R^:, R^, Rz, . . • des constantes positives (>o); ces constantes seront elles-mêmes les rayons du domaine, le point (^0? JKo? ^o? . . •) en sera le centre (* ).

(*) Si l'on suppose les variables réelles, l'eiisemMe des valeurs de x qui satisfont à la relation

inod(^ — a^o) < R^

se trouve graphiquement représenté, sur un axe indéfini Ox^ par ^intérieur d'un segment ayant pour extrémités les deux points qui correspondent aux valeurs

(on doit faire abstraction des deux points extrêmes); car l'inégalité dont il s'agit équivaut à l'ensemble des deux suivantes :

c'est-à-dire à

x^— R^ < a: < .To -h R^.

Si l'on suppose les variables imaginaires, l'ensemble des valeurs de x qui satisfont à la même inégalité mod(a? — a^o) < R^, se trouve graphiquement représenté, relativement à deux axes rectangulaires tracés dans un plan, par Vintérieur d'un cercle ayant pour rayon R^ et pour centre le point qui correspond à la valeur x^^ (on doit faire abstraction des points de la circonférence) : car, en mettant en évidence les deux éléments de la variable imaginaire, ei posant

l'inégalité peut s'écrire

{x' — X'af -[- {x" — Xl)- < Râ;.

Observons en outre que, dans le cas où les variables sont réelles, la relation

mod {x — Xq) < Rjt est, ainsi que nous venons de le constater, de la forme

Cela étant, la proposition du numéro précédent peut encore s'énoncer comme il suit :

Considérons un domaine ayant pour centre le point (o, 0,0,.. .) : si, pour quelque système de valeurs de ^, JK, 2, • • • ayant respectivement pour modules les rayons du domaine, la série (4), convenablement ordonnée, est convergente, ou même seulement, si son terme général conserve un module constamment inférieur à quelque quantité fixe, elle est absolument convergente dans toute rétendue du domaine.

Nous nommerons domaine de convergence de la série entièi^e (4) tout domaine ayant pour centre (o, 0,0,.. .) et dans l'intérieur duquel la série en question soit convergente; elle ne peut manquer d'ailleurs, en vertu de ce qui précède, d'y être absolument convergente. Les rayons d'un pareil domaine se nommeront rayons de convergence; pour la série (i), par exemple, des quantités positives toutes égales ou inférieures à 1 constituent un système de rayons de convergence.

31. 11 est toujours sous-entendu, lorsqu'il s'agit d'une série entière, que les valeurs attribuées aux variables dont elle dépend sont intérieures à quelque domaine de convergence. Gela étant, voici les premières conséquences à tirer de ce qui précède :

i" Dans toute l^ étendue dhin domaine de convergence, 0, de la série entière (4), Ici somme de cette série, indépendante de V ordre et du groupement de ses termes (n" 23), définit une fonction de x^ y^ z^ ....

2° Des termes pris à volonté dans la série {^) forment une nouvelle série entière, absolument convergente dans le domaine ÎD (n° 23).

3" Si tous les termes effectifs (n" 27) de la série entière (4)

et que, réciproquement, celle dernière relation peut s'écrire

— <x <A — — ou vc\oà{x < "

c'est-à-dire qu'elle est de la forme

mod {x — x^) < H^..

sont divisibles par un même monôme entier, x^y'^z^..., les quotients de ces divisions forment une nouvelle série entière, absolument convergente dans le domaine 5), et dont la somme, multipliée par x^y'^z^. . ., reproduit celle de la proposée.

4" On peut donc ordonner la série (4), exactement comme un polynôme entier, par rapport à tel groupe partiel de ses variables qu'on voudra; les coefficients des puissances et produits de puissances des variables dont il s'agit sont alors des séries entières par rapport aux autres variables, admettant comme rayons de convergence ceux des rayons du domaine 5) qui se rapportent à ces autres variables.

32. Quand une série entière admet quelque domaine de convergence, il est clair qu'on en obtient une infinité d'autres en diminuant arbitrairement quelques-uns des rayons (sans augmenter les autres) : mais, à part cette observation évidente, on ne peut rien dire de général sur les domaines de convergence que peut admettre une série entière.

Quelquefois [c'est le cas de la série (i)], les rayons maximums sont déterminés individuellement pour chaque variable; plus souvent, ils ne le sont pas, et, par exemple, on peut en augmenter quelques-uns à condition de diminuer les autres.

Le cas d'une seule variable, très important dans l'étude des fonctions, donne lieu toutefois au théorème suivant :

Quand une série entière ne dépend que d' une seule variable, ou bien elle admet comme rayon de convergence une quantité positive arbitraire, ou bien elle n'en admet aucune, ou bien enfin elle admet un rayon de convergence maximum.

Effectivement, en supposant qu'on ne se trouve placé dans aucun des deux premiers cas, on pourra assigner deux quantités positives /•, R, dont la première soit rayon de convergence, et dont la seconde, nécessairement supérieure à la première (n° 29), ne jouisse pas de cette propriété. Si l'on divise alors en deux parties égales l'intervalle de r à R, il y aura un de ces intervalles partiels, et un seul, dont la valeur initiale, r,, sera rayon de convergence, tandis que la valeur finale, R,, ne le sera pas. Si l'on divise à son tour en deux parties égales l'intervalle de ;•< à R,, il y aura encore un de ces nouveaux

intervalles partiels, et un seul, dont la valeur initiale, /o, sera rayon de convergence, tandis que la valeur finale, R2, ne le sera pas. Et ainsi de suite indéfiniment. On formera de cette manière une succession illimitée d'intervalles,

/• à R. /'i à Ri, fi à R2, ..., /'A à R^, ..., jouissant de la triple propriété : i*" que chacun d'eux soit contenu

dans le précédent; 2" que la diftérence R;t — '>, égale à ^— ? soit

infiniment petite pour k infini; 3° que la valeur initiale d'un intervalle quelconque soit rajon de convergence de la série, mais non sa valeur finale.

Cela étant :

i*" Les variantes /'a, R^ tendent vers une limite commune, p, supérieure à zéro (n^ 9, III).

2" La série proposée admet comme rajon de convergence la quantité 0, c'est-à-dire qu'elle est absolument convergente pour toute valeur de X dont le module ^ tombe au-dessous de 0 : car le rayon de convergence r^, qui tend vers p, finit par surpasser ^.

3" La série proposée n'admet aucun rayon de convergence supérieur à p : car, si un pareil rayon, P, existait, Ry^, qui tend vers p, finirait par être inférieur à P, et dès lors, contrairement à ce qui précède, par être lui-même rayon de convergence.

Il va sans dire que, pour toute valeur de x dont le module surpasse le rayon de convergence maximum p, la série proposée diverge quel que soit l'ordre des termes : car si cette série, convenablement ordonnée, était alors convergente, elle admettrait, en vertu du n° 29, un rayon de convergence supérieur à p. Quant aux propriétés de la série pour les valeurs de x de module p, elles sont essentiellement variables avec la série que l'on considère.

Enfin, lorsque la série proposée n'admet aucun rayon de convergence, elle diverge, quel que soit l'ordre des termes, pour toute valeur de x non nulle ( * ).

(') Les exemples suivants de séries entières à une variable correspondent respectivement aux trois cas de notre énoncé.

La série

est absolument convergente pour toute valeur de x : car, dans la série formée par

Séries entières; substitution, à chaque variable indépendante, d'une somme de quelques autres.