Dans la série entière

les modules de ses termes, le rapport des termes de rangs n-i-\, n a pour valeur

j et, dès lors, tend vers zéro pour n infini ( n" 21, III).

La série

diverge, quel que soit l'ordre des termes, pour toute valeur de x non nulle. En effet, si cette série, convenablement ordonnée, convergeait pour quelque valeur de x de module ^ > o, elle convergerait, quel que fût l'ordre de ses termes, pour toute valeur de X de module compris entre o et Ç (n* 29) : or, dans la série (a), le rapport des termes de rangs n -hi, n a pour module la quantité

n (mod^r),

qui finit par surpasser i, quelque valeur différente de zéro qu'on donne à x; le terme général de (a) ne tend donc pas vers zéro, puisque son module finit par croître sans cesse.

Enfin, la série

a pour rayon de convergence maximum Tunité. Effectivement, le rapport des termes de rangs n + i, n a pour module la quantité

(mod;r),

qui, pour n infini, tend vers mod^. Si donc le module de x est <i, la série formée par les modules des termes de (6) est convergente (n° 21, III). Au contraire, lorsqu'on attribue à x une valeur dont le module \ soit supérieur à i, la série (6) diverge, quel que soit l'ordre des termes; car, si cette série, convenablement ordonnée, était alors convergente, elle le serait, quel que fût l'ordre de ses termes, pour toute valeur de x de module moindre qne \ (n»29), et, notamment, pour toute valeur de X de module >i et < ^ : or, dans (6), le rapport d'un terme au précédent a pour valeur, comme nous l'avons dit, la quantité

— '- — (moda:),

qui, dans l'hypothèse actuelle,

I < mod^ < ^,

finit par surpasser l'unité; le terme général de (^) ne tend donc pas vers zéro, puisque son module finit par croître sans cesse.

SÉRIES EN GÉNÉRAL ET SERIES ENTIÈRES. 5y

admettant comme rayons de convergence les constantes positives

(2) Rr, Rr, -o substituons à x^ y^ ... les sommes respectives

(3) x'-^x'-\-.... y-^y"-^'--, où

désignent de nouvelles variables en nombres déterminés quelconques; soient, en outre,

(5) Ra^, Ra», ..., Rj', Ry", ..., ...

des constantes positives, en nombres respectivement égaux, vérifiant les relations

(6) R^.'+R^»H-...= R.r, R,M-Ry.-+-...= Ry,

Cela étant, pour toutes les valeurs des nouvelles variables (4) de modules respectivement inférieurs aux constantes positives (5), la quantité

(7) /(a7'-ha7"-h...,y + y'4-..., ...)

peut s'exprimer à l'aide d'une deuxième série, entière par rapport aux nouvelles variables (4), et admettant les rayons de convergence (5).

Nous commencerons par observer que, si l'on développe, par les règles du calcul algébrique élémentaire, l'expression

ce qui donne, toutes réductions faites, un polynôme entier par rapport aux variables (4), la somme des modules des termes de ce polynôme est égale à

OÙ oLm^n,...! 5'j 5'') • - • ^ 'f\' ^ ^i' ^ ....... désignent les modules respectifs

àeam,n,...'> oo', x\ •...y'.y, ........

Cela posé, quand les modules ;', ^", ..., y^', tj", .... ... des va-

rialjles (4) sont respectivement inférieurs aux quantités (5), les égalités (6) montrent que leurs sommes

(lo) (^'+r-+-...), (v+v+.-o» •••:

et à plus forte raison les modules des sommes (3), sont inférieurs aux quantités (2), rayons de convergence de la série (1) : on peut donc, en pareil cas, donner aux variables ^, ,r, ... de la série (i) des valeurs égales à ces sommes (3). En d'autres termes, si l'on nomme

(lï) «/«,«,..., t' /«,«,..., ••-, <v ,„,„,...

les monômes entiers, disseinblables en^', x" ^ . . .^y' ^ y" ^ . . ., . . ., qui résultent du développement de l'expression (8), la série qui a pour terme général le polynôme

est convergente, et sa somme peut se désigner par la notation (7).

Mais il y a plus, et la convergence subsiste lorsqu'on remplace dans la série en question chacun des polynômes tels que (12) par la somme des modules de ses termes : car cette somme de modules est égale, ainsi que nous l'avons observé, à l'expression (9), c'est-à-dire à la valeur que prend le module du terme général de la série proposée (i), lorsque, dans cette dernière, on attribue aux variables x^ y^ ... les valeurs positives (10), inférieures aux rayons de convergence (2). On peut donc appliquer le théorème du n'' 24 à la série qui a pour terme général le polynôme (12), et la remplacer par une autre ayant pour termes, non plus les sommes des polynômes, mais tous les monômes tels que (11) qui constituent les termes élémentaires des polynômes. La série (absolument convergente) qui en résulte, série évidemment entière par rapport aux variables (4), a ainsi une somme égale à l'expression (7); et, de plus, elle admet bien les rayons de convergence (5), puisque les valeurs attribuées aux variables (4) ont des modules arbitrairement choisis au-dessous de ces rayons.

Continuité de la somme d'une série entière.

34. La somme d^ une série entière, considérée à r intérieur d' un domaine de convergence (n" 30), est une fonction continue des variables.

SÉRIES EN GÉNÉRAL ET SÉRIES ENTIÈRES. 5g

1. Si l'on désigne par D un domaine de convergence de la série entière

(i) .A^, r» •••) = Sa,„.„,....r'«7«...,

et par ÏD' un domaine concentrique dont les rayons soient respectivement inférieurs à ceux du précédent, on peut, un nombre positif i étant donné, assigner un nombre positif 8 tel, que les relations

(2) raod(jr,— a^iXe, raod(jKi— :> 2X Q, •••,

supposées vérifiées pour deux points, {x^, y,, . . .), (^2, y2-) '• • •)' du domaine ÎD', entraînent comme conséquence nécessaire la relation

(3 j mod[/(a7,, jKi, . . .) — /(.r2, JK2, ...)]< £•

A. Le point à établir est exact sif(x, y, . . .) se réduit à un polynôme entier.

Choisissons arbitrairement, comme il est permis de le faire en pareil cas, les rajons R^., R^., ... du domaine W' : ce dernier se trouve alors représenté par l'ensemble des relations

mod^ < R'^., modj^ < R^., ....

Cela étant, considérons pour un instant, au lieu du domaine ®', la région limitée et complète (n'*^ 4 et o)

(4) moAx^Kj., mod^^R^, ...,

qui contient 13'. En vertu de la continuité des polynômes entiers (n" 18, 1), on peut, un nombre positif s étant donné, assigner un nombre positif 9 tel, que les relations simultanées (2), supposées vérifiées pour deux points de la région (4), entraînent comme conséquence nécessaire la relation (3) (n" 17, 4'') •* à plus forte raison ces mêmes relations (2), supposées vérifiées pour deux points du domaine Jj' , entraîneront-elles la relation (3).

/>. Le point à démontrer est exact si la série proposée /(j:, jk, . • •) contient un nombre illimité de termes efi'ectifs (n" i27).

Désignons en effet par y.m,n,... le module de a,n,/i,..., par R^, R^, ... les rayons du domaine ï^', et ordonnons la série (i) suivant

6o CHAPITRE II.

une loi quelconque. Pour toutes valeurs de :r, y, ... intérieures au domaine 3P', le module du terme général est inférieur à

D'autre part, dans la série convergente qui a pour terme général cette dernière quantité (5), la somme des termes qui suivent celui de

rang N est, pour N suffisamment grand, inférieur à -^' Nous donnerons à l'entier N une valeur particulière qui satisfasse à cette condition, et, désignant alors par C3j^(.r, y, . . .) la somme des N premiers termes de la série proposée, puis par ^js(^, JK, • . •) le reste correspondant, nous aurons

et, en particulier,

f{Xy, JKi, . . .) = 0^{Xu yu . . .) + 4'n(^1' ri' • • •).

d'où

f{^uy\, •••)— /(^2,JK2, •..)= [?N(^l,ri' •••) — ?N(^2,r2, ■'.)]

-^^^{x^.yx, .. .) — 4^N(a:'2, JK2, ...), et, par suite,

/ mod[/(a:,, jKi, ...)—/( ^2,^2, .•.)!

(6) I ^mod[cpN(a7i,jKi, ...) — ?n(^2, ^2, •••)!

( H- modt];M(a7i,jKi, ...)-+- mod4/is(a72,j2, . ••)•

Or, il résulte de la manière même dont on a fixé l'entier N que, pour tout point (^, y, . . •) intérieur au domaine P', la série déduite àe^^i^x^ y, . . .) par la substitution à chaque terme de son module a

une somme moindre que ^j et qu'à plus forte ra*> ^n '^^(^x^ y, . . .) a

un module moindre que ^' On a donc, quels que soient (^,, y^^ . . .) et ( j:-2, y 2^ . . .) à l'intérieur de P',

7 moà^^ixy, yx, " •)< y

(8) mod4;.N(a;2, JK2, •••)< 3'

D'un autre côté, ©^(•^jJS .) étant un polynôme entier, il existe,

SÉRIES EN GÉNÉRAL ET SÉRIES ENTIÈRES- 6l

d'après A, un nombre positif 0 tel, que les relations simultanées

mod(x,— ar,) <9, mod(7,— jKsX 6,

supposées vérifiées pour deux points du domaine jO', entraînent comme conséquence nécessaire

(9- mod[epN(x,, y,, . . .) — ?N(a^2, ^2, •••)]< 3*

Cela étant, l'addition membre à membre des relations (6), (7), (8), (9) donne immédiatement

mo(\\f(xi, vi, ...)—/( '^2,^2, ...)] <e-

IL Revenant à notre énoncé général, désignons par P un domaine de convergence de la série entière proposée ; par R^, R y., ... les rayons de ce domaine; par (^o? J'o, ...) un point particulier (quelconque) du domaine, tel, par conséquent, que les modules de Xq, Vq. . . . soient respectivement inférieurs à R^, R^, ... ; enfin, par R^., R^, ... des quantités positives satisfaisant aux relations

moda7o< R'a;< R^,

lTlodjKo< Ry< Ry, .

et par 5' le domaine, concentrique à W, de rayons R'^,, R' .... Il résulte évidemment de ces relations que le point (xq, y^^ . . .) est intérieur au domaine W-

Gela étant, si l'on assujettit les variables ^, j, ... à vérifier les relations

mod(:r — Xq) < R^ — moda^o,

mod (jK — J'o )< R.r — modjo,

qui peuvent s'écrire sous la forme

mod(a7 — Xq) -4- mod:ro< R^,

mod(jK— ro) + modro< Rj,

on aura, à plus forte raison,

mod^c < R'^, modjK < R^, ...,

c'est-à-dire que le point (x, y, . . .) sera nécessairement intérieur au

domaine W : on pourra alors (I), un nombre positif s étant donné, trouver, au-dessous des différences positives

R^ — modxQ, R'y — modj-Q, ...,

un nombre positif 6 tel, que les relations simultanées

mod(x — Xq) <.^, mod(jK — Jo)<^?

entraînent comme conséquence nécessaire

mod [f{x, ^, ...)—/( -2^0, ro, •••)]< £.

Conditions pour que la somme d'une série entière soit nulle identiquement, pour que celles de deux séries entières soient égales identiquement.

3o. Pour que la somme dUine série entière, admettant quelque domaine de convergence, y soit nulle indépendamment des valeurs attribuées aux variables, il faut et il suffit que les coefficients de cette série soient tous nuls.

La condition est évidemment suffisante, et il nous reste à en établir la nécessité.