II. Si une série entière en x

admet quelque domaine de convergence, et si inéquation f{x) = o possède une infinité de racines à V intérieur d^ un domaine de petitesse arbitraire ayant pour centre le point zéro, les coefficients de la série sont tous nuls.

Effectivement, il résulte de l'alinéa t que a^ est nul et (\\xq f[x) peut (n" 31, 3")s'écrire sous la forme

Le premier facteur de ce produit ne s'annulant que pour ^ = o, le second s'annule une infinité de fois dans l'intérieur d'un domaine de petitesse arbitraire ajant pour centre le point zéro; il a donc, comme tout à l'heure /(a?), son premier coefficient nul, et peut s'écrire sous

la forme

Dans ce nouveau produit, le premier facteur ne s'annule que pour ^ = o, et le second s'annule dès lors une infinité de fois dans un domaine de petitesse arbitraire ayant pour centre le point zéro; il a donc encore son premier coefficient nul et peut s'écrire

x{a-i-^ ai,x -h. . .)• Et ainsi de suite indéfiniment.

III. La condition posée dans notre énoncé général est donc nécessaire lorsqu'il s'agit d'une série entière à une seule variable, et il suffit alors de prouver que, si elle l'est pour une série entière k k — i variables, elle l'est encore pour la série

dépendant des k variables x^ y^ ....

A cet effet, ordonnons la série (i) par rapport k jc (n° 31, 4")^ et mettons-la sous la forme

(2) Ao(7, ...) + A,(j, ...)^-+-A2(-7, ...)a72 + ..., OÙ

(3) Ao(r, ...), Ai(^, ...), A2(7, ...), ...

sont des séries entières dépendant des k — i variables jr, Si, à

l'intérieur du domaine où la série (i) est supposée convergente, on attribue à y, ... un système déterminé de valeurs particulières, l'expression (2) s'évanouit quel que soit x^ et l'on a (II)

Ao(jK, ...) = o, Ai(y, ...) = o, AîCjk, ...) = 0,

Mais, les valeurs particulières que nous venons d'attribuer à y, ... étant arbitraires, il résulte de ce qui est admis sur les séries entières à. k — I variables que les coefficients des diverses séries (3) sont tous nuJs, et, par suite, ceux de la proposée.