Pour que les sommes des séi'ies entières
admettant quelque domaine commun de convergence, y soient égales indépendamment des valeurs attribuées aux variables, il faut et il suffit que les termes semblables de ces deux séries soient pourvus de coefficients respectivement égaux.
Effectivement, pour que les sommes
soient égales indépendamment des valeurs attribuées aux variables, il faut et il suffît que la série
/(^, r, •••) — ^(-'Sr. . . .) =^ Ua,n,n,...- b,n,n,...)x^nyn ^ ^
qui admet le domaine de convergence commun aux deux proposées, y ait une somme constamment nulle : donc (n*^ 35), il faut et il suffit qu'on ait, quels que soient m, /?,...,
<*/M, n, ... ^/rt, ra, ... = O
ou
FONCTIONS OLOTROPES ( ) ET LEURS DERIVEES; COMPOSITION DES FONCTIONS OLOTROPES.
Régions continues: régions normales.
37. Désignons par -c, j', • . • des variables réelles ou imaginaires^ en nombre quelconque n ; par 5, ^, . . . des variables réelles en nombre quelconque/?; enfin, par
n fonctions de 5, /, ..., toutes continues (n" 16) dans un même intervalle complexe (n" 9, II). Cela posé, l'ensemble des n formules
où les divers systèmes de valeurs attribuées à .9, ^, . . . n'excèdent pas l'intervalle en question, définit ce que nous nommerons un «/c continu (à p variables) tracé dans l'espace N^r, j', ...]]. hes points de Varc seront les divers systèmes de valeurs de x^ y^ ... qui correspondent, en vertu des formules (i), aux valeurs ci-dessus spécifiées de 5, ^, .... Si, dans chacun des intervalles simples où 5, ^, ... sont respectivement assujettis à varier, on considère l'une des deux valeurs extrêmes comme initiale, et l'autre comme finale, il faudra entendre ^diV extrémité initiale de l'arc le point qui correspond aux valeurs initiales de 5, /,..., et par extrémité finale de l'arc le point qui correspond à
( ' ) Ce Chapitre contient l'exposé, quelque peu modifié, d'une partie des considérations que M. Méray donne pour base à la théorie générale des fonctions. (^) Orthographe conforme à celle qu'a adoptée M. Méray.
66 CHAPITRE ni.
leurs valeurs finales. Des arcs, tracés dans l'espace M^, J^ •••]!? seront dits placés bout à bout, si l'extrémité finale de chacun d'eux coïncide avec l'extrémité initiale du suivant. Enfin, un arc sera dit situé dans telle ou telle région de l'espace Mx, y, • • .] , si chacun de ses points s'y trouve situé.
38. Considérons, dans l'espace \\x^ j^, • • .] |, le chemin brisé ayant pour sommets successifs
(2) (^o,ro, •••). (■Pi,yi,'-). (-^s^JK-a,.--)» •••, (^.-'.n-' •••)' (X, Y, ...),
et formons, avec les coordonnées .27, y, ... de deux sommets consécutifs quelconques, le Tableau des difierences
y\—.yii^ yi-y\^ •••' ^—y^^
évaluons enfin, dans les lignes respectives de ce Tableau, les plus grands modules, ijl.^, |jlj, . .., que présentent les différences dont il s'agit : ces quantités jjia-, pi^, ... se nommeront les écarts maxima du chemin brisé (2).
Cela posé, si l'on considère, dans l'espace Mx, y, ...]], un arc continu quelconque, il est facile de voir que les extrémités initiale et finale de V arc peuvent être reliées l'une à Vautre par quelque chemin brisé ayant tous ses sommets sur l'arc, et présentant des écarts maxima respectivement inférieurs à des constantes positives données rx^ ry^ . . ..
Désignons en effet par 5, /, . . . les variables (réelles) dont l'arc dépend, par Jf l'intervalle complexe où elles sont assujetties à se mouvoir, et par v un nombre positif tel, que les inégalités simultanées
mod(5'-s")<T, mo(\(t'—t")<^{,
supposées vérifiées pour deux points, (5', t\ . . .), (/, t" , . . .), de l'intervalle Jï, entraînent comme conséquences nécessaires, pour les valeurs correspondantes de x, y, . . ., les relations
mo(\(a:' — x") < /-.r, rnoâi)' — y" ) < /-y, ... :
un pareil nombre y existe certainement, car l'intervalle complexe 3
FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DERIVEES. by
constitue, dans l'espace ï[s, /, ...]], une région limitée et complète où les seconds membres des formules qui définissent l'arc sont tous continus (n" 9, II), (n" 17, 4*^). Désignons ensuite par 5», ^o, • • • les valeurs initiales de 5, /, ..., par S, T, ... leurs valeurs finales, et formons, dans l'intervalle J^, la suite
(3) (5o,^o, ...), (si,^i,...), Ù2,^2. ...), .-., ('V-^^'---), (S,T, ...),
sous la seule condition que les diflerences
Si— Si,
tl
formées en comparant deux termes consécutifs quelconques de la suite (3), soient toules moindres que y en valeur absolue. Aux divers points (3) de l'espace \[s, t, • • •] correspondent, dans l'espace M.r, j', . . .] , en vertu des formules qui définissent l'arc, certains points,
(aro. jKo, ...;, (>-i, JKi, ...)' (x,,y.,...), ..., (^^.,7^,...), (X, Y, ...),
et ces derniers forment un chemin brisé qui, en vertu de la définition de y^ satisfait bien à la condition requise.
Plus généralement, si l'on considère, dans l'espace N^, j', ...]], un cliemin continu formé d'arcs placés bout à bout, les extrémités initale et finale du chemin dont il s^ agit peuvent être reliées l'une à l'autre par quelque chemin brisé ayant tous ses sommets sur cette suite d'arcs, et présentant des écarts maxima respectivement inférieurs à des constantes positives données.
39. Une région de l'espace \x^ i', . . .] | sera dite continue, si deux
points, (;ro,j'oj • • •)? Ç^i ^ i •••)' arbitrairement choisis dans la région, peuvent toujours être reliés l'un à l'autre par une suite d'arcs continus placés bout à bout dans cette région, le premier des arcs dont il s'agit ayant son extrémité initiale en (xo, j'05 • • •)' ^^ '^ dernier son extrémité finale en (X, Y, . . .).
La remarque présentée au n" 4 relativement aux régions limitées ou complètes s'applique évidemment aux régions continues : si des
régions, respectivement extraites des espaces
[[:r, ...]], [[7, •••]], ■■■^ sont toutes continues, leur association forme, dans l'espace
une région également continue (^ )•
De la remarque finale du numéro précédent il résulte que, dans une région continue, deux points quelconques peuvent être reliés l'un à l'autre par quelque chemin brisé ayant tous ses sommets dans la région et présentant des écarts maxima respectivement moindres que des quantités positives données.
Enfin, si l'on désigne par x, y, . . . des variables indépendantes, en nombre quelconque g, assujetties à se mouvoir dans une région continue, lix,^, ..., par
des fonctions de x, y, ..., en nombre quelconque y, toutes continues dans cette région, et par11„^^^... l'ensemble des divers points de l'espace [w, t^, ••.] qui, en vertu des formules ci-dessus, correspondent (avec répétition possible) aux divers points de H^;,/. ...,
(^) II convient d'observer encore que, si l'on désigne par a;, 7, z^ s, ... des variables réelles en nombre pair 2n, toute région qui, par rapport à ces 2/2 variables réelles, satisfait à la définition de la continuité, y satisfait aussi par rapport aux n variables imaginaires
M = ic H- iy, ç; = z -h is, . . .,
et réciproquement. Si l'on désigne en efFet par t, . . . des variables réelles en nombre quelconque, par/j, /^ deux fonctions réeiles-de ces variables, et qu'on pose
la continuité des deux fonctions réelles /,,/2 dans une région de l'espace r[^, ...]j
entraine celle de la fonction imaginaire/ dans les mêmes limites, et réciproquement :
tout arc continu tracé dans l'espace [[a?, y, ^,5, ...]] fournit donc, par la simple
considération des formules qui relient a;, y, z, s, . . . k u, v, . . ., un arc continu
tracé dans l'espace [[t^, v^, ...]J, et réciproquement; de là résulte immédiatement notre remarque.
FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DERIVEES. 69
les diverses continuités supposées entraînent celle de la région 1l„,^.,....
40. Tout domaine {n° 30) est une région continue. EfFectivement, si, dans le domaine ÎP, défini par les relations
mod(a* — rt)<Rj:, mod(j — Z>)<Ry, ...,
où (a, 6, . . .) désigne un point fixe, et R^-, Ry, . . . des constantes positives (>>o), on prend arbitrairement deux points, (xq, yQ, ...), (X, Y, . . .), les formules
où l'indéterminée s est assujettie à varier dans l'intervalle de o à I (o^5£i), définissent un arc continu ayant pour extrémités initiale et finale les deux points choisis. Ces formules (4) peuvent d'ailleurs
s'écrire
iT — a = (i — s)(to— a) -h s(X — a),
(5) \y-b=(i-s)(yo-b)-i-s(Y-b),
et, pour toute valeur de s n'excédant pas l'intervalle de o à i , le module acquis par le second membre de la première formule (5) est inférieur ou égal à
(i — .s)rnod(a:o — a) -\- s mod (X — a),
par suite inférieur ou égal au produit de la plus grande des quantités
mod(a7y — a), mod(X — a)
par la somme (i — s) -\- s = i, par suite inférieur ou égal à la plus grande de ces quantités, par suite, enfin, inférieur à R^;. On ferait voir, par un raisonnement tout semblable, que, dans les mêmes limites, le module acquis par le second membre de la deuxième formule (5) reste inférieur à R^; et ainsi jusqu'à la dernière. L'arc (4), terminé aux deux points (^o, yo-> • • •)? (^^ Y, . . .), est donc entièrement situé dans le domaine P.
il. Nous dirons qu'une région t1 de l'espace M^, y, . . .] 1 est noj^male, si elle satisfait à la double condition suivante : i" la région 11 est continue (n" 39); 2" tout point de la région li est le centre de quelque domaine (n" 30) entièrement situé dans 11 (').
l^a remarque présentée aux n*"^ 4 et 39 relativement aux régions limitées, complètes ou continues, s'applique encore aux régions normales : si des régions, respectivement extraites des espaces
sont toutes normales, leur association fournit, dans l'espace
une région également normale.
Tout domaine est une région normale.
Considérons un domaine 13, de centre (a, è, . . .) et de rayons Ra;, Rj, ... : la continuité de cette région ayant déjà été établie au numéro précédent, il suffît de faire voir que tout point (^^,^0, • • •) intérieur à P est le centre de quelque domaine entièrement situé dans 3.
Or, si l'on désigne par p^, p^, ... les différences (nécessairement supérieures à zéro)
R.r— iTiod(iCo— «), Fly — niocUj'o— ^)j •••,
il est facile de se convaincre que les relations
mod(a7 -:ro)< 0^, mod(jK — JKo) < p.> ,
entraînent comme conséquences nécessaires
mod(a7 — a) < R^., mcn\{y — 6) < Rj, ....
Car de la relation
(.r — a)-\-{a — x^) = x — x^^ on tire
inod(a7 — a) — mod(a7o — «) ^ mod(a7 — ^0) ;
(') Ou, ce qui revient au même, lorsqu'un point fait partie de la région, tous ceux dont la distance au point considéré est suffisamment petite en font également partie.
FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DERIVEES. 7^
si donc on suppose le module de x—x^^ inférieur à p.p, on aura la suite d'inégalités
mod(ar — a ) — inoJ(a7o — a)^mod(a: — x^) < R.i— mod(^o — «),
d'où l'on déduit. p<n la comparaison des quantités extrêmes,
mod(iF — «) < K.^..
Et l'on trouverait, par un calcul semblable, mocl(^-è)<Rv,
Définition des fonctions olotropes.
42. Les variables .r,jK? . • • étant supposées, indifféremment, réelles ou imaginaires, nous dirons qu'une fonction, y(^, y, . . .), de ces variables, bien définie dans une région normale, (n" 41), "U, y est olotrope, si, autour d'un point quelconque, {x^^yQ^ . . •)' de la région, pris comme centre, on peut assigner quelque domaine dans toute l'étendue duquel la fonction y(^, j^, . . .) soit exprimable à l'aide d'un même développement, entier par rapport aux différences X — Xq^ y — )'o7 . • • • Les rayons d'un pareil domaine (qu'on doit supposer, naturellement, compris tout entier dans la région H) se nommeront oloniètres (simultanés) de la fonction au point (xo,jKoi . • •) 5 le développement entier qui exprime la fonction dans le voisinage de ce point sera dit avoir lieu à partir de (xy, jo^ • • •)' ^^i P^^^ rapport à lui, les quantités x,,, /05 ••• ^^^(^o-JKoî •••) ^^ nommeront les valeurs initiales des variables et de la fonction.
Il ne faut jamais perdre de vue que la définition, donnée ci-dessus, d^ une fonction olotrope implique essentiellement la nature normale de la région oii on la considère ( ' ).
(') M. Méray formule comme il suit la déniiition des fonctions olotropes {Leçons nouvelles, etc., i" Partie, p. iio) :
« Nous dirons que la fonction f{x,y, ...) est olotrope en a;,,, j'j,, ..., avec des olomètres au moins égaux à ô^, 8^, ..., quand /{x^-i- h^y^-\-k, ...) peut se développer en une série entière par rapport à h, k, ... admettant 6^, 6^, ... pour rayons de convergence.
» Nous diron>i encore que f{x,y., ...) est olotrope dans des aires données Sx, S^, ..., avec les olomètres (invariables) 8^, 8^, ..., quand elle jouit de cette pro-
[] va sans dire, enfin, que, étant donné un système d'olomètres de la fonction au point (xo,yo? ...\ si l'on diminue arbitrairement
priélé en tout système de valeurs initiales de ces variables prises respeclivement à l'intérieur de ces aires. »
Cette définition nous semble donner lieu à diverses objections, dont voici les principales :
1° Si l'on ne suppose pas expressément la continuité de la région où se meuvent les variables indépendantes, il devient impossible d'établir d'une façon rigoureuse la proposition fondamentale du n" 57 sur la nullité identique d'une fonction analytique.
2» Si l'on se borne à supposer que chacune des n variables
X = x'-\-ix", y =y'^ iy",
se meut, indépendamment des autres, dans quelque portion ou aire donnée du plan qui sert à sa notation graphique, au lieu de supposer, plus généralement, que le
point
varie dans quelque région de l'espace à in dimensions, il devient, dans bien des cas. fort incommode d'appliquer aux fonctions analytiques leurs propriétés même les plus essentielles : il faut renoncer, par exemple, à considérer une fonction analytique des n variables réelles x', y', ... dans le fragment d'espace
x"'-hy'^^ + ...< IV;
car ce dernier ne peut évidemment s'obtenir, ni par l'association de n segments, respectivement pris sur les axes indéfinis qui servent à la notation graphique des n variables isolées, ni par un nombre fini de semblables associations. Nous n'insisterons pas sur les inconvénients d'une semblable exclusion; elle nous parait d'ailleurs d'autant moins naturelle que, lorsqu'il s'agit de la variable imaginaire a? = .r -h i^r", rien, dans la définition citée, n'empêche de considérer la région x"' -h cc""^ <. R^.
3° Alors même qu'on s'affranchirait, comme nous croyons utile de le faire, de la restriction précédente, la définition citée en impose une autre dont il y a, nous semble-t-il, tout avantage à s'affranchir pareillement : d'après elle, en effet, toute fonction de x, y, ..., olotrope dans une région, l'est forcément aussi dans cette même région accrue d'une certaine zone additionnelle {Leçons nouvelles, etc., ,r« Partie, p. 112); si, pour fixei* les idées, on considère une fonction d'une variable imaginaire qui soit analytique à Vintérieur d'une circonférence (abstraction faite de la circonférence elle-même), cette fonction n'y pourra être qualifiée d'o/o^ro/?e qu'à la condition d'être analytique à l'intérieur de quelque circonférence concentrique de rayon plus grand. Si donc on tient à ne rien préjuger de ce que peut être la fonction dans une région, si petite qu'elle soit, extérieure à la circonférence donnée, on sera obligé, pour spécifier sa nature analytiijue dans la région intérieure, de dire qu'elle est olotrope, non à l'intérieur de la circonférence elle-même, mais à l'intérieur de toute circonférence concentrique de rayon moindre. Or, une pareille obligation peut, dans des cas moins simples, conduire à des énoncés fort pénibles.
Telles sont les principales raisons pour lesquelles nous avons cru devoir proposer une définition un peu différente, et faire appel, notamment, à la considération des régions normales.
quelques-uns d'entre eux sans augmenter les autres, on a encore un système d'olomètres de la fonction au point considéré.
43. Toute fonction olotrope dans une région {normale)% y est continue.
C'est ce qui résulte immédiatement de la définition ci-dessus (n^ 42) et de la continuité des séries entières (n" 3i).
44. Si Von désigne par f{x^ y, . . .) une fonction olotrope dans une région {normale) tl, et par (xcjKo? . . .) un point particulier quelconque de cette région, il n'existe, pour représenter f{x,y^ . . .) dans le voisinage de ce point conformément à la définition ci-dessus, quun seul développement entier par rapport aux différences x — x^^y — jKo, • • •
Supposons, en effet, qu'il existe deux développements de cette nature, c'est-à-dire qu'en posant
la quantité
f(xo-hh,yo-^k, ...)
soit exprimable à l'aide d'un premier développement entier en A, Âr, ... pour toutes valeurs de /^, A", ... de modules respectivement inférieurs à certaines constantes positives ô^, 8^, ... ; puis, qu'elle soit de même exprimable à l'aide d'un deuxième développement entier en A, A", . . . pour toutes valeurs de h, k, . . , de modules respectivement inférieurs à certaines constantes positives ^^, 8^, . . . . Si l'on désigne alors par ù^ la plus petite des deux constantes 8^, 8^., par 8j la plus petite des deux constantes 8!^, 5'^, etc., les deux développements dont il s'agit ont des sommes égales pour toutes valeurs de A, k, . . . de modules respectivement inférieurs à 8^, 8^, . . . , puisque, dans ces limites, ils représentent l'un et l'autre la quantité
ils ont donc leurs coefficients semblables respectivement égaux (n** 36).
45. Considérons, d'une part, undomaine, ®, de centre (^07^05 • • • ) et de rayons 8x, 8^, . . .; d'autre part, le domaine, ^, ayant pour centre
74 CHAPITRE m.
un point quelconque, (j;,, r,, . . .), du précédent, et pour rayons les difl'érences (nécessairement positives)
(l) ô.r— mod(a7i — a7o), 8y.— mocl(^ri — jKo), ••.;
ce deuxième domaine est entièrement compris dans le premier, car
les relations
mod(ir — Xi) < 8.^ — mod(:ri — Xq)^
mod (y —y, )<0y— mod (j, — jo),
qui peuvent s'écrire sous la forme
mod(:r — ^i) -f- mod (a^i — a^o) < 8^, mod (7 — Ji ) + mod (vi — jKo )< Sy,
entraînent, à plus forte raison,
mod(ic — ctq) <C .1-, moâ(y—yo) < 8j,
Cela étant, si une fonction /(x^ y ^ . . .) est exprimable dans toute l'étendue du domaine 5) à l'aide d'un développement entier par rapport aux différences x — x^^ y — jko^ ... 5 ^^^^ V est dans toute V étendue du domaine ï> à l'aide d' un développement entier par rapport aux différences x — ^\-, y — jKi,-..-
Effectivement, désignons par ¥{li^k^ . . .) la somme de la série entière en /î, /:,... qui, par hypothèse, représente la quantité
/(a^oH- h, yo-i- k, ...)
pour toutes valeurs de /i, A , . . . de modules resjjectivement inférieurs à 8j., 8j, ... ; par 8^;, 8j, . . . des quantités positives respectivement inférieures aux différences (i), et d'ailleurs arbitrairement choisies; enfin par s^^;, e^, . . . les quantités également positives
S.f. — mod (iCi — Xq) — fj.r, 8v — mod()'i — JKo) — Oy.
On a, d'après cela,
[mod(ic, — tq)-\- e.r] -4- 0.^= 8^, [ mod r r, — ro ) -+- £v ] -h Oy = 8y,
FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DÉRIVÉES. y 5
d'où résulte, en vertu du n*^ 33, que la série entière en h, A, ..., h', k\ ...
obtenue par le développement de la quantité
admet les rayons de convergence
mod(xi — Xo)H- Ex. mod(^i— jKo) -H £j', ..-, 6.r, 6j, ..., et représente, entre ces limites, la quantité dont il s'agit, égale à f{x»-+- h H- h', y(i-\- k A- k\ . . .).
Dès lors, la série déduite de la précédente en y faisant
h = Xi — .7\„ k —yi—yo,
et ordonnant par rapport à h'. A', . . ., admet certainement les rayons de convergence O^-, ^y, . . . , et représente, entre ces limites, la quantité
(l) /(^l-H /î', jKi + A-', ...)•
Comme d'ailleurs 6^, 0^, . . . , respectivement inférieurs aux différences (i), en sont aussi rapprochés qu'on le veut, cette dernière série, entière en A', k', .... admet les différences (i) comme rayons de convergence, et repri-sente, entre ces limites, la quantité (2), ce qu'il s'agissait d'établir.
46. De là résultent immédiatement les conséquences suivantes :
I. Lo/squ'une série entière en x — x^tY — J^oî ... admet les rayons de convergence ^Xx^ ^y-, . . •• i*' sa somme est une fonction olotropedex^y, . . . dans le domaine ayant pour centre {xq^ y t^^ . . .) et pour rayons R^, R y, ... ; i"" en un point (jr,, y,, . . .) de ce domaine, la fonction dont il s'agit admet pour olomèlres les différences {positives)
R^— mod(ir, — a^o), U^— mod (jKi — JKo), ••.•
II. Soient fix^y^ ...) une fonction olotrope dans une région {normale)] {xq^ y^^ . . .) un point de cette région; 8^, 8^, ... un système d'olomètres de f{x, j-, . . .) au point {xq^ jKo? '-•)'■, enfin.
(^,,y<, . . .) un point intérieur au domaine de centre (.^o^JKo? • • -^ et de rayons 8^, 8y, ....
Cela étant, la fonction f[x^ y. . . .) ne peut manquer d' admettre au point (.r,,j^,, . . .) les olomètres
S.r — mod(a"i — Xo), ^y — mod(jKi — JKo), ••••
47. Une fonction entière F{x,yj . . .) est olotrope dans toute rétendue de l'espace \[x^y^ • • •]] ^^^c des olomètres de grandeur indéfinie.
Car, quelles que soient les valeurs initiales ^o^JKoî • • o ^t aussi quels que soient les accroissements A, A", . . . , on peut, au moyen des premières règles de l'Algèbre, transformer l'expression
F(.ro+A, jKo+A-, ...)
en un polynôme entier par rapport à A, /:, . . . , qui constitue une série entière limitée.
48. Si V on désigne par x une variable réelle ou imaginaire , para une constante quelconque, et par x^ une valeur particulière
de X différente de a, la fonction peut, dans toute V étendue
du domaine ayant pour centre Xq et pour rayon le module de Xa — a, s'exprimer à l'aide d'un développement entier enx — ^'o- La relation
mod(^ — a^o) < mod(a — a?o)
entraînant de toute nécessité x y^ a., on voit tout d'abord que la fonction
est bien définie dans toute l'étendue du domaine en question. On a d'ailleurs, en posant ^:=^o + ^5
a7o — a -\- h Xq — a
a7o — a et, comme le module de h = œ — ^0 est supposé inférieur à celui de
^0 — <^^ lii quantité
a?o — CL a un module << i ; il vient donc (n"* 28)
1 — h d'où
f{xo^h)
De là résultent immédiatement les conséquences suivantes :
Si X désigne une variable réelle, la fonction est olotrope
dans la région [normale) que définit la relation jc>> a, et aussi dans la région {normale) que définit la relation x <ia.
Si X désigne une variable imaginaire^ la fonction est olotrope dans la région {normale) que définit la relation x y^ a.
Dans V un et C autre cas, la fonction admet pour olomètre au point X le module de x — a.
Dérivées premières (i).
49. Lorsqu'une fonction f{x^y\ . . .) est olotrope (n"" 42) dans une région (normale) ti, à tout point {x^y, . . . ) de cette région correspond, pour exprimer la valeur de la fonction dans son voisinage, un développement, et un seul (n**44), entier par rapport aux accroissements A, A", . . . qu'on attribue à x^y^ . . .; le seul choix du point {x^y. . . .) détermine donc entièrement les coefficients du développement qui lui correspond, et, dès lors, chacun de ces coefficients peut, dans la région li, être considéré comme une fonction de Xjy, .... Nous allons établir actuellement qii^ une pareille fonction est, comme la proposée f{x^y^ . • •)' olotrope dans la région li, et qu'elle admet en chaque point de cette région les olomètres de la proposée.
Eflectivement, désignons par
fp,'i,...(^^ y^ •••)
(') Voir Mkray, Leçons nouvelles, etc., !'• Partie, p. 119 et suiv.
le coetticieiit de liP ki . . . dans le développemenl de
par (^^*o,yo, . . .) lin point quelconque de li ; par 8^:, ô^, . . . des olomètres de la fonction f(x^y^ . . .) en ce point; par F (A, A*, . . .) la somme de la série entière en A, A, . . . qui, par hypothèse, représente la quantité
pour toutes valeurs de A, A', , . . de modules respectivement inférieurs à ^xj ^ri ... ; eniin par e^, ty, . . . des quantités positives respectivement inférieures à 8^, ùy, . . . , et d'ailleurs de petitesse arbitraire. En vertu du n'' 33, la série entière en
obtenue par le développemenl de la quantité
admet les rayons de convergence
Ùx £.r? '^j S.y, • • . , £.0 £j, ' • • 1
et représente, entre ces limites, la quantité dont il s'agit, c'est-à-dire
/( a7o -t- /i + h\ jKo -+- A- -+■ A', . . . ) ;
si on l'ordonne par ra[)port à h'. A', . . . , le coefficient de h'Pk'9 , . . est une série entière en h, A", . . . admettant les rayons de convergence
et représente, dans ces limites, la quantité
(i) /p,q,...(^i)-\- à,yo-^ k, ..,).
Enfin, comme £^, s^, ... sont de petitesse arbitraire, on peut dire que cette même série entière en /i, A , . . . admet les rayons de convergence 0^, ûy, . . . , et représente, dans ces limites, la quantité (i). C'est ce qu'il s'agissait d'établir.
50. Soit f{Xjj\, . . .) une fonction olotrope dans une région ti. Si l'on désigne par (^, J', . . .) un point quelconque de cette dernière,
FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DERIVHES. 79
le terme indépendant de //, />-, . . . dans le développement de
eileclué à partir des valeurs initiales ^,j-, ..., a pour valeur f{x^y^ . . .). Dans ce même développement, les coefficients des premières puissances de A, A, . . . se nomment les dérivées de/{x^ y^ . . .) prises par rapport à J7, >', . . . respectivement. On les représente souvent par
Gela étant, le calcul d'une dérivée se ramène toujours, comme nous allons le voir, au cas d'une variable unique.
Considérons en etl'et le développement entier en /i, A:, . . . qui, pour toutes valeurs de A, A\ ... suffisamment voisines de zéro, exprime la quantité
si, dans un pareil développement, on introduit l'hypothèse numérique
on obtiendra un développement entier en h qui, pour toutes valeurs de h suffisamment voisines de zéro, exprimera la quantité
un raisonnement semblable à celui du n" 44 piouve d'ailleurs qu'il ne peut exister qu'un seul développement entier en li jouissant de cette dernière propriété. Or, l'hypothèse numérique introduite dans le premier des deux développements considérés n'a pas changé le coefficient de la première puissance de /i, et l'on peut dès lors, pour calculer ce coefficient, prendre indifféremment l'un ou l'autre des deux développements. Il en résulte que la dérivée de /(.r, j-, . . .) par rapport à X est égale au coefficient de la première puissance de li dans le développement (unique) de la quantité
en d'autres termes, pour obtenir la dérivée de j\x^y^ . . .) par rapport à x^ on peut opérer comme si x était la seule variai) le y en considérant toutes les autres comme momentanément réduites à des constantes, ce qui ramène bien, comme nous l'avions annoncé, le calcul d'une dérivée au cas d'une variable unique.
8o CHAPITRE lil.
oJ. Appliquons ce qui précède à quelques exemples.
i" Une constante (si on veut la considérer comme un cas extrême d'une fonction olotrope) a des dérivées toutes identiquement nulles.
Car, dans le voisinage de valeurs initiales quelconques attribuées aux variables indépendantes, elle est représentée par un développement entier se réduisant à la constante dont il s'agit.
2" La fonction entière
(2) A(^ — a)a(jK — ^)P. ..,
OÙ K^a^ b^ ... sont des constantes, et les exposants a, p, . . . des entiers positifs ou nuls, a pour dérivée par rapport à x
(3) Aa(;r — aja-i(jK— ^)^
11 suffît en effet, pour obtenir la dérivée de la fonction (2) par rapport à x^ de remplacer dans cette fonction x par x -\- A, c'est-àdire X — a par x — a-\- h, de développer
suivant les puissances de A, et de prendre, dans le développement ainsi obtenu, le coefficient de h. Or, si a est supérieur à zéro, l'application de la formule du binôme donne
{x — a -\- hy^= (x — a)'^-\- (x(x — a)^-^h -f-. . .,
et l'on a bien, pour la dérivée cherchée, l'expression (3). Si a est nul, la fonction (2), indépendante de x, a manifestement par rapport à X une dérivée toujours nulle, que rien n'empêche, dans ce cas extrême, de représenter encore par l'expression (3) [où a = o] ( ' ).
3° Soient y*(^,j', . . .) une fonction olotrope dans une région 1^ ; (xo,yo, . . .) un point particulier de cette région;
la série entière en x — ^o-, y — JK07 ... qui? dans le voisinage du point en question, représente /(^%jr, . . .). Cela étant, la dérivée par
(^) On sait que, si l'entier m est nul, Texpression C"' (où C est 7^ o) est égale, par convention, à l'unité, et que, si l'entier ni est supérieur à zéro, l'expression C-"' est
égale, par convention, à — . Il va sans dire que le produit d'une puissance négative
( entière ) de x — a par un facteur nul doit, même dans l'hypothèse numérique x — a où il prend une forme indéterminée, être considéré comme nul.
FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DERIVBES. 8l
rapport à x de f{x.y. . . .) est représentée, dans les mêmes limites, par la somme de la série
obtenue en prenant les dérivées semblables de tous les termes du développement (4)-
Effeclivement, si l'on pose
x — Xo=h, y—yQZ=k, ...,
il résulte du n° 49 que la quantité
f'jcixo-^ h,yo-+-k, ...) .
est représentable, dans les mêmes limites que
f{xo-hh,yo-hk, ...),
par la somme d'un développement entier en A, /r, . . . , et que, pour obtenir ce dernier, il suffît de considérer la série entière en
qui provient du développement de l'expression
:^a,n,n,...{h^h'yn{k-^k'y>...,
d'ordonner cette série par rapport à h', k', . . . , puis de prendre le coefficient de la première puissance de h'. Or, il vient ainsi
