I.ma,n,n,...h"'-^k'K

résultat conforme à notre énoncé.

4" La dérivée de est

(x — a)^ C'est ce qui résulte immédiatement du n" 48 ( * ).

(') Les dérivées étant le plus souvent définies comme limites de rapports, il convient d'observer que, lorsqu'on donne à une seule variable, x^ d'une fonction olotrope f{x^ y, ...) un accroissement infiniment petit, le rapport à cet accroissement de l'accroissement correspondant de la fonction a pour limite f'x{x,yy . . .). On a, en effet, pour toutes valeurs de h suffisamment voisines de zéro,

f{x + h,y, ...)=f{x,y, ..•)-^h/a:{x,y, ...)+-.., d'où

or, en vertu de la continuité des séries entières, le second membre de celte dernière relation tend, pour h infiniment petit, vers le terme indépendant de h, c'est-à-dire vers /'x{x,y, ...).

Dérivées d'ordres quelconques (*).

52. Comme les dérivées d'une fonction /(^, y, . . .), olotrope dans une région "î^, sont elles-mêmes olotropes dans cette région (n^^ 49 et 50), elles ont des dérivées jouissant de cette propriété; de même pour celles-ci, leurs propres dérivées, et ainsi de suite indéfiniment. Les dérivées ainsi formées de proche en proche sont les dérivées partielles de tous ordres de la fonction f[x^y^ • . •) > ^^^^ nomenclature repose sur le théorème suivant :

Lorsque, sur une fonction olotrope, on exécute successivement diverses dérivations, le résultat dépend uniquement des nombres exprimant combien de fois on a dérivé par rapport à chaque variable, dans quelque ordre que ces opérations partielles aient pu être exécutées.