I. Considérons d'abord l'expression

A(a7 — aro)^(jK-7o)P...,

OÙ A, ^0) JKo7 • • • désignent des constantes, a, fi, ... des entiers positifs ou nuls, et soient/?, q-, . > . les nombres de dérivations relatives à ^, 1% . . . respectivement qu'il faut exécuter sur elle dans un ordre quelconque.

Si aucune des différences a — /?, [^ — q^ ... n'est négative, le résultat final peut se représenter (n** 51, 2°), dans quelque ordre qu'on ait procédé, par la formule

a(a -i)...(a— p-f-i)x 3(P-i)...0 — gr+Ox...

il est donc indépendant de l'ordre des dérivations.

Si quelqu'une des différences a — /?, ^ — q^ ... est négative, on se trouve forcément conduit, dans le cours des dérivations successives, à exécuter, sur une expression de même forme que la proposée, une dérivation relative à une variable qu'elle ne contient pas : on trouve donc, quel que soit l'ordre adopté, un résultat nul (n° 51, 2").

II. Lorsqu'on a affaire à une fonction olotrope quelconque, on

(') Voir Meray, Leçons nouvelles, etc., i" Partie, p. 122 et suiv.

peut, dans le voisinage d'un point quelconque, (jPoîJKo? • • -^^ de la région où on la considère, la représenter par la somme d'une série entière en :r — Xq^ y — j^qî • • • • Gela étant, il suffit d'observer, d'une part, que les dérivations successives à exécuter sur une pareille série doivent l'être séparément sur tous les termes (n° 51, 3**), d'autre part, que le résultat ainsi obtenu pour chaque terme est, en vertu du cas déjà examiné (I), indépendant de l'ordre des dérivations.

53. Pour spécifier une des dérivées successives d'une fonction olotrope/(^,y, . . .), il suffît donc d'indiquer combien de dérivations partielles sa formation comporte relativement à chaque variable. En représentant ces nombres par/?, ^, . . . ^o\xt x^y^ . . . respectivement, on dit que cette dérivée est d'ordres partiels p^ ^? . . • P<^f' rapport à x,y, . . . respectivement, et aussi d'ordre total p -\- q -\- ... sans distinction faite entre les variables. On la représente quelquefois par

plus souvent par

dxP dyt ...

Les dérivées proprement dites, dont il était question dans le paragraphe précédent, sont d'ordre total i, et se nomment les dérivées premières. Les dérivées d'ordre totaux 2, 3, etc., sont les dérivées secondes, troisièmes, etc. Enfîn, il est quelquefois commode de considérer une fonction olotrope comme étant à elle-même sa dérivée (unique) d'ordre zéro.

Le nombre des dérivées d'ordre total M est évidemment égal à celui des termes J'un polynôme homogène de degré M par rapport à l'ensemble des variables. Dans le cas d'une seule variable, il se réduit à i , quel que soit M.

Ainsi qu'il a été dit plus haut (n" 52), si une fonction olotrope de ^,y, . . . est représentée, dans le voisinage du point {x^^yQ, . . .), par la série entière

sa dérivée d'ordres partiels p^ <li -'- s'obtient, dans les mêmes limites, en exécutant la dérivation semblable sur tous les termes du développement (i).

54. *S/ Von considère, d^ une part, la dérivée d^ ordres partiels Pi^i ' ' '1 P^^' t'cipport à x^y^ . . . respectivement, dUine fonction olotrope f{x^y, ...), si U on considère, d^ autre part, le coefficient de hP kt . . . dans le développement de

f{x-hh, y-\-k, ...)

en une série entière par rapport aux accroissements h, k^ . . . , la première de ces deux fonctions est le produit de la seconde par le facteur numérique i .2 . . .p. i ,2. . .g . . . .

Effectivement, soient {xq^^q, . . .) un point pris à volonté dans la région (normale) où l'on considère la fonction olotrope/(^,y, . . .), et

le développement de f(x,y, . . .) à partir des valeurs initiales Xo^yot ... : on sait(n" 53) que le développement de

à partir des mêmes valeurs s'obtient en effectuant la dérivation d'ordres partiels/?, ^, . . . sur tous les termes du précédent. Or (n° 52, I), si quelqu'une des différences m — p, n — g, ... est négative, la dérivation dont il s'agit, exécutée sur le terme général

donne un résultat identiquement nul; si aucune des différences m — /?, n — g, ... n'est négative, et si quelqu'une d'entre elles est positive, cette même dérivation donne un résultat dont la valeur initiale est nulle; enfin, si les différences m — p, n — g^ ... sont toutes nulles, elle donne pour résultat la constante numérique