p. 1.2. . .q. ..Up^g

De tout ce qui précède, on conclut

fx;y:.::\^o, ^oi • • •) = » -2. . ./?. » .2. . .^. . .a;,,<7,...,

ce qui démontre la proposition.

55. En vertu de la proposition ci-dessus établie (n° 54), le développement de

f(xo-i-h,yo-^k, ...)

FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DERIVEES. 85

en une série entière par rapport à A, A, ... peut évidemment s'écrire sous la forme

sAX:-'(*..r...--)

Si les valeurs initiales des variables sont toutes nulles, les accroissements h, k, . . . se confondent avec x,y, . . ., et le développement devient

r(in.»....). . ^'" y"

Lorsqu'on suppose le nombre des variables égal à i , les deux développements ainsi obtenus sont identiques, dans leur forme extérieure, à ceux de Tajlor et de Maclaurin : mais M. Méray fait remarquer avec raison qu'en les établissant (comme nous venons de le faire) conformément au point de vue qu'il a, le premier, systématiquement adopté, on est conduit à y attacher un sens bien différent de celui qu'y attachaient ces géomètres (' ).

Nullité identique d'une fonction olotrope; égalité identique de deux fonctions olotropes ( ^ ).

56. Une fonction, olotrope dans une région H, y est dite identiquement nulle, deux fonctions, olotropes dans une région ^, y sont dites identiquement égales, lorsque la nullité ou l'égalité a lieu en tout point de cette région (supposée normale).

Lorsqu'une fonction f{x^ y ^ • . •)' olotrope dans une région "tt, y est identiquement nulle, toutes ses dérivées le sont aussi.

En effet, si l'on désigne par (^oj^o^ . . .) un point déterminé (quelconque) de la région H, la quantité /(^o + ^^ 5^0 -4- ^<^7 • . •) est, pour toutes valeurs suffisamment petites de /z. A", . . . , exprimable par une série entière en ^, Ar, .... D'ailleurs, ce développement (unique) a nécessairement tous ses coefficients nuls, puisque, en lui attribuant de pareils coefficients, il exprime évidemment la valeur toujours nulle de notre fonction.

(*) Voir Méray, Leçons nouvelles, etc., i" Partie, p. 126. (') Ibid.,'i" Partie, p. i3i, i32, i5i, i52 et i53.

57. Inversement, une fonction f{x^ y ^ . • Oj oloLrope dans une région ^, JK est identiquement nulle, si, en quelque point de cette région, elle s^annule numériquement avec toutes ses dérivées.

I. Si une fonction f{x, y ^ . . .) est olotrope dans une région 11, et si, dans cette dernière, on considère un fragment limité et complet, S ^ on peut assigner quelque constante positive, r, telle que la fonction /(.r, y^ . . . ) admette, en un point quelconque de S ^ un système d^olomètres [au moins) égaux à r.

Considérant en effet, dans l'espace M^jjK, . . .] 1 (')' ^^ région limitée et complète S (comprise tout entière dans 11), nommons caractéristique d'un point de cette région toute quantité positive (> o) p, telle que la fonction /(^,j>^, . . .) admette au point considéré un système d'olomètres (au moins) égaux à p. Cela étant, si un point déterminé {x\y', . . .) de la région J^ admet parmi ses caractéristiques la constante p', tout point (^, Tj, . . .) de cette même région qui satisfait aux relations

mod(^ — ^')<p', mod(y) — 7')< p',

admettra parmi les siennes (n° 46, II) la plus petite des différences

positives

p'— mod($ — a;'), p'— mod(r) — /), ...,

c'est-à-dire une, quantité dont la différence à p' tombe au-dessous de toute quantité donnée lorsque le point (?, r,, . . .) est suffisamment voisin de {x\y' ., . . .).

Ainsi, les diverses conditions spécifiées au n° 10 relativement aux caractéristiques se trouvent bien remplies dans la région limitée et complète J^, et, comme les caractéristiques sont ici essentiellement supérieures à zéro, il existe bien quelque constante positive, r, possédant la propriété énoncée (n° 13).

II. Si une fonction f{x^ y ^ . . .) est olotrope dans une région H, et si, dans cette dernière, on trace un arc continu, on peut assigner quelque constante positive, r, telle que la fonction f{x,y. . . .)

(*) Cet espace est à non2n dimensions, suivant que les n variables x, y, ... sont réelles ou imaginaires.

admette, en un point quelconque de Va? c, un système d^olomètres {au moins) égaux à r.

Car, les variables (réelles) 5, /, ... dont l'arc dépend (n" 37) étant assujetties à se mouvoir dans un intervalle complexe, c'est-à-dire dans une région de l'espace M5, f, . . .]! à la fois limitée et complète, il résulte du n° 18 que l'ensemble des divers points (^, J', . . .) qui, en vertu des formules définissant l'arc, correspondent (avec répétition possible) aux divers points de l'intervalle complexe, forme, dans l'espace ([^^y, . . .] 1, une région à la fois limitée et complète : les conclusions de l'alinéa I sont donc applicables.

III. Si une fonction f(x^ y, . . .) est olotrope dans une région B, et si, dans cette dernière, on trace un chemin continu formé d'arcs placés bout à bout (n° 37), on peut assigner quelque constante positive, r, telle que la fonction f^x^ y ^ . . .) admette, en un point quelconque du chemin, un système d'olomètres {au moins) égaux à r.

C'est là une conséquence immédiate de l'alinéa II.

IV. Lorsqu\ine fonction f{x^ y, . . .) est olotrope dans une région ^, la connaissance des valeurs numériques que prennent la fonction et toutes ses dérivées en un seul point, {xQ^y^^ . . .)^ de la région, suffit pour déterminer entièrement sa valeur et celles de toutes ses dérivées en tout autre point, (X, Y, . . .), de la région.

Effectivement, la région ^ étant normale (n° 42), et, par suite, continue (n"^ 41 et 39), les deux points (^ojJKo, . • .)' (^5 Y, . . .) peuvent être reliés l'un à l'autre par une suite d'arcs continus placés bout à bout dans cette région. En vertu de l'alinéa III, on peut assigner quelque constante positive, r, telle que la fonction f{x^ y, . . .) admette, en un point quelconque du chemin continu ainsi tracé, un système d'olomètres (au moins) égaux à /•; et, d'autre part, il résulte du n" 38 que les extrémités initiale et finale d'un pareil chemin peuvent être reliées l'une à l'autre par quelque chemin brisé,

(^0,70,...;, (ar,,7,, ...), (:r2, J^2, ...), ..., (a:^, JK^, . . . ,), (X,Y, ...),

ayant tous ses sommets sur les arcs dont il s'agit, et présentant des écarts maxima moindres que /•.

88 CHAPITRK III.

Cela posé, la connaissance des valeurs numériques de f{oc^y^ . . .) et de toutes ses dérivées au point (jToîJKo, • . .) nous permet de construire (idéalement) le développement de fix^y, . . .) à partir de (^0,^01 . . .)' ^^^ comme les modules de x^ — <^o?J'i — y^^ . . . sont tous moindres que r, l'hypothèse

introduite dans ce développement et dans toutes ses dérivées, fournira les valeurs prises au point (x^^y^^ . . .) par la fonction f(x,yj . . .) et par toutes ses dérivées. On passera alors du second sommet au troisième comme on a passé du premier au second, et l'on continuera de cette manière jusqu'au sommet final (X, Y, . . .).

V. Les mêmes notations étant adoptées qu'à l'alinéa IV, si l'on suppose nulles les valeurs numériques prises au point (^o^ JKo? • • •) par la fonctiony*(^, jK, . . . ) et par toutes ses dérivées, ou, ce qui revient au même, les coefficients du développement initial, on voit que la nullité identique de celui-ci entraîne, de proche en proche, celle de tous les développements subséquents, et que, par suite, la fonction s'annule au point (X, Y, . . .) avec toutes ses dérivées.

58. Lorsque deux fonctions, olotropes dans une même région, y sont identiquement égales, leurs dérivées semblables le sont aussi.

Inversement, deux fonctions, olotropes dans une même région, y sont identiquement égales, si, en quelque point de cette région, les valeurs numériques de V une et de ses diverses dérivées sont respectivement égales aux valeurs numériques de V autre et de ses dérivées semblables.

Il résulte immédiatement des n"^ 42 et 54 que la différence,

de deux fonctions, olotropes dans une région H, y est elle-même olotrope, et qu'elle a pour dérivée d'ordres partiels/?, ^, . . . la différence des dérivées d'ordres partiels /;, ^, . . . des deux fonctions : cette simple remarque ramène les deux propositions qu'il s'agit d'établir à celles des n°* 56 et 57.

Principe général de la composition des fonctions olotropes (i).