Soient
une composante donnée ;
des fonctions simples données (en même nombre que les variables u, v, ... de la composante);
la fonction composée résultant de leur combinaison (n** 18, III); •^01 y'oj • . . <ies valeurs particulières attribuées aux variables
les valeurs correspondantes des fonctions simples (2).
Si, d'une part, autour du point (wq, (^oj • • •)' P^^^ comme centre, on peut assigner quelque domaine, ÎD, dans toute l'étendue duquel la composante (i) soit exprimable à Vaide d'un développement entier par rapport aux différences u — i/o? V — ^'o, ... ; si, d' autre part, autour du point (Xqj yo^ . . •)? P^^^ comme centre, on peut assigner quelque domaine, î», dans toute l'étendue duquel chacune des fonctions simples (2) soit exprimable à l'aide d'un développement entier par rapport aux différences x — Xq^ y — yo7 • • • • Ici fonction composée {Z) jouit certainement de cette dernière propriété dans toute l'étendue d'un domaine suffisamment petit concentrique à ï».
Effectivement, soient :
A une quantité positive inférieure à tous les rayons du domaine H» ; 0 une quantité positive inférieure à tous ceux du domaine ï>;
<4) ^K^.^,...( u - U^fiv - V^)^ . . .=: f{u, V, ...)
(*) Voir MÉRAY, Leçons nouvelles, etc., i'" Partie, p. 209 et suiv.
90 CHAPITRE m.
le développement de la composante à partir de Mq, ^o^ ... 5
(5) \ zb,n,n,...{^ - ^oVir — yo)"' • '=y {^, y, .••) — ^o,
les séries obtenues en développant les fonctions simples à partir de ûOq, yoj . . . , et supprimant dans ces développements respectifs les termes constants Uq, i^o, ... ; 5, iQ, ...5 ^m,u,...i '^m.n,...-, ... Ics modulcs rcspcctifs de x — Xq^
y JK05 ' • ' 1 Cim.n^...') 0,n,n,...i • • • •
Si, dans chacune des séries (5), on remplace chaque terme par son module, les séries
(6) \ \ 2p„,,„,.J'«Yi«...,
ainsi obtenues ont des sommes qui deviennent plus petites que toute quantité donnée pour des valeurs suffisamment petites de Ç, ^i, ... : on peut donc, au-dessous de 5, assigner une quantité positive 0', telle que, pour toutes valeurs de ?, t), ... inférieures à 8', les sommes des séries (6) restent inférieures à A.
Gela posé, assujettissons désormais x^y^ ... à vérifier les relations
(7) mod(^ — a7o)<o', iTiod(7— jKo)<S',
Puisque les sommes des séries (6) sont alors inférieures à A, celles des séries (5) présentent, à plus forte raison, des modules inférieurs à cette quantité, et l'on a
mod[U(a7, JK, • . .) - Wo] < A, mod[V(ir, jK, ...)-fo]< A,
la valeur de la fonction composée peut donc s'obtenir en substituant 2i u — f/o, V — Vfs-, . . . , dans la série (4), les sommes respectives des séries (5). Dans la série résultant de cette substitution, considérons le terme général
(8) KM,N,...[2a,„,„,...(^-^o)'"0' -JKo)'^...]^[2 6,„,„,...(rr-^o)'"(7 "- y^^Y-'-Y---^
FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DERIVEES. 9I
et développons-le suivant la règle de multiplication des séries (sans réduction des ternies semblables en jc — ^o, JK — jKo, . . •) (n^' î^o) •* dans ce développement, la somme des modules des termes est égale à
par suite inférieure à
(9) raodKM.N,. .A^»A^. ...
Or, la quantité (9) est le terme général d'une série convergente : car si, dans la série (4), on attribue aux différences u — Uq^v — (^"o, . . . des valeurs dont les modules soient égaux aux quantités A, A, . '. . , par suite inférieurs aux rayons du domaine de convergence ©, le module du terme général y acquiert précisément la valeur (q).
Si donc on suppose vérifiées les relations (7), non seulement les séries partielles, T^ >,..., analogues à celle que fournit l'expression (8) développée mécaniquement par la règle de multiplication, restent convergentes lorsqu'à chaque terme on substitue son module, mais encore les sommes de ces diverses séries de modules forment ellesmêmes une série convergente. On peut donc, en vertu des n'"^ 24 et 23, exécuter, sur la série qui a pour termes les sommes des séries partielles Tj, ^ , les deux opérations successives suivantes : i"" la transformer en une autre procédant suivant les termes élémentaires des séries partielles Tm,> ... ; 2" ranger et grouper arbitrairement les termes de la série résultante, et, notamment, effectuer la réduction des termes semblables en x — Xq^ y — ya^ .... Or, on tombe ainsi sur une série entière par rapport à ces différences : c'est ce qu'il s'agissait d'établir.
De la démonstration ci-dessus résulte, en outre, la règle suivante :
Le développement de la fonction composée à partir dex^^ y^^ ... peut s'obtenir en combinant le développement de la composante, effectué à partir des valeurs correspondantes, Uq, Vq, .... des fonctions simples, avec ceux de
U(a:, ^, ...; — wo, V(a7,7, ...; — i^o, ••-,
effectués à partir de ^qîJKoj . • . •' H suffit de remplacer respectivement par les derniers développements les différences
u— Uq, v — vo, . . ,
qui figurent dans chaque terme du premier, d^ appliquer à chaque résultat la règle de multiplication des séries (n° 25), de former, sans omission ni répétition, une série procédant suivant les termes élémentaires des séries partielles ainsi obtenues, et d^ opérer finalement la réduction des termes semblables en x — Xq,
60. Si^ d^ une part, les fonctions simples (10) U(:r,7, ...), V(ar, ^, ...), ...
sont toutes olotropes dans une région 1lx,j,...; si, d^ autre part, la composante f{u, ^, . . .) jouit de la même propriété dans une région ^«,,/,,..; si enfin, pour un choix arbitraire du point (^,jK, . . .) dans la première région, l^ association des valeurs prises par les fonctions simples (lo) donne un point constamment situé dans la seconde : les fonctions composées
ne peuvent manquer d'être olotropes dans la région %x,x,...'
Il suffît d'observer que /Ift^^.','. (''? ^j •••) ^^^ olotrope dans les mêmes limites que f(u,v, . . .) (n" 49) (n*" 54), et d'avoir égard à la proposition du numéro précédent.
