Nous noterons les conséquences particulières suivantes

I. Quand la composante f{u^v^ . . .) est olotrope dans toute V étendue de l'espace mw, v, . . .]] {et, notamment, quand elle se réduit à un polynôme entier)^ les fonctions composées [ii) sont olotropes dans toute région, 11^,^,..., oii les fonctions simples le sont à la fois.

II. L'inverse arithmétique d' une fonction U (^, y, . . .) est olotrope dans toute région oit cette dernière l'est elle-même sans s'annuler.

Effectivement, la fonction composée rr> ^ s'obtient en com-

binant la fonction simple \] [x^ y^ . . .) avec la composante — • Or, si

FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DERIVEES. (jS

l'on désigne par (jToîJKo? . . .) un point particulier quelconque de la région où Ton considère la fonction olotrope U(jr,i, . . .), celte dernière peut, dans toute l'étendue de quelque domaine ayant pour centre (Xq.jKo, . . .)' s'exprimer à l'aide d'un développement entier par rapport aux dîfl'érences x — x^^ y — jKo^ • • • 5 d'^^^ autre côté, la valeur, Woj qu'elle acquiert en (xo,j^o . . .) est, par hypothèse, essentiellement différente de zéro, en sorte que — peut, dans toute Fétendue

de quelque domaine ayant pour centre Wo, s'exprimer à l'aide d'un développement entier par rapport à u — u^ (n" 48) : donc, en vertu

du n° 59, TT. 7 peut, dans toute l'étendue de quelque domaine

ayant pour centre {x^^y^^ • . O^ s'exprimer à l'aide d'un développement entier par rapport aux différences x — oc^^ y — y^^ ....

\}ix, V . . .)

m. Le rapport rr — " est olotrope dans toute région où ses deux termes le sont sans que son dénominateur s'annule.

Car on peutle considérer comme une fonction composée, provenant de la composante entière uv et des deux fonctions simples

qui sont toutes deux olotropes dans la région dont il s'agit, la première par hypothèse, la seconde en vertu de II.

IV. Une fonction rationnelle (quotient de deux fonctions entières) est olotrope dans toute région où son dénominateur ne s'annule pas.

Il suffit d'observer que le numérateur et ie dénominateur, étant l'un et l'autre des fonctions entières, sont indéfiniment olotropes, puis de se reporter à l'alinéa III.

V. Une fonction rationnelle de fonctions simples est olotrope dans toute région oii ces dernières le sont sans que le dénominateur s'annule.

Il suffit d'observer que le numérateur et le dénominateur, provenant l'un et l'autre d'une composante entière, sont olotropes dans la région considérée (I), puis de se reporter à l'alinéa III.

94 CHAPITRE m.

Différentiation des fonctions composées (»).

62. La différentiation d'une fonction composée s'effectue d'ordinaire à l'aide d'une formule très simple, permettant d'écrire immédiatement ses dérivées premières, et qu'on applique plusieurs fois de suite pour le calcul des dérivées d'ordre supérieur.

La dérivée première relative à x de la fonction composée

qui s^ obtient par la combinaison des fonctions simples

avec la composante f {u^ p, . . .), est donnée par la formule

à F ^d^ dfd\ ^ ' dx du dx dv dx ' ' ' '

OÙ il faut, naturellement, faire dans -^j -t-j "• les substitutions

•^ ' ' ' du dv

Si l'on se souvient en effet qu'on peut, dans le calcul d'une dérivée première relative à a?, considérer x comme étant momentanément seule variable (n*^ 50), si d'autre part on se reporte à la règle finale du n*' 59, on voit qu'il suffît, pour obtenir la dérivée cherchée, de considérer le développement

(2) /(W4-Aa, P-+-A^, ...)=f{u,i>, ...)-f- ^Aw-f-^APH-...,

d'y substituer à Am, Aw», ... les séries entières en ^x

v^ ()'«U Aa7'« v^ (?«v ^T"

âx'"^ 1.1. . .m j^ dx"- \ .1. . .71

privées de leurs termes indépendants respectifs, d'ordonner le résultat par rapport à A^, et de prendre le coefficient de la première puissance de ^x. Or, comme les séries (3), privées de leurs termes indépendants, contiennent toutes \x en facteur, la partie linéaire

(^) Voir MÉRAY, Leçons nouvelles, etc., i" Partie, p. 2i5 et suiv.

FONCTIONS OLOTROPES ET LKURS DÉRIVÉES. QD

et homos^ène en A//, Ac, ... du développement (2) donnera seule dans le résultat des termes linéaires en ù^x. Il suffira donc, pour obtenir ces derniers, de multiplier respectivement les termes en A ^ des séries (3) par les coefficients de Aw, Ar, . . . dans le développement (2); en ajoutant les produits ainsi obtenus, on sera bien conduit à la formule (i).

63. Appliquons à quelques cas très simples la règle ci-dessus établie.