II. Composante

On a évidemment

d'où

f{u^v,w, . . . ) = uvw .

àf àf dv dw

= uv. . .,

dx dx

96 CHAPITHE III.

C'est la règle connue pour former les dérivées premières d'un produit.

III. Composante f{u)=^ u'^, où a désigne un entier positif ou^ négatif {^).

Si l'entier a est positif (ou nul), on a, comme nous l'avons vu plus haut (n«51, 2"),

du d'où

dx '^ âx

Ces formules subsistent pour a négatif. Si l'on pose en effet aL= — a', où cl' désigne un entier positif, on a

d'où l'on déduit, en vertu du cas déjà examiné et du n^ ot (4"),

du ^ \uj du ^ \u) \ u^J

—r^ = — a' a-'"'-' = OLU^-^.

On aura donc, cette fois encore.

C'est la règle connue pour former les dérivées premières d'une puissance entière à exposant positif ou négatif.

TV. Composante f{u^v)=^ — ' On a (n« 50) (n« 63, 1) (n" ol, 4")

du ç' ôv v'^^

(') Pour la signification de l'exposant entier négatif, voir la Note de la page 8o.

FONCTIONS OLOTROPES ET LEURS DERIVEES. 97

d'où

â^\\) ~ \ dx V2 dx

dx dx

C'est la règle connue pour former les dérivées premières d'un quotient.

64. Supposons maintenant qu'on ait à former les dérivées d'ordre supérieur d'une fonction composée,

(4) F(a:,^', ...)=/[U(;r,7, ...), V(^,jK, ...), •••],

des variables x^ y^ ....

En vertu de la formule (i), toute dérivée première de celte fonction est une somme de produits où figurent comme facteurs les dérivées premières des fonctions simples

et de la composante /( u^ r, ... ). De ces dérivées, les unes dépendent directement de x^ y, ... et sont olotropes dans les mêmes limites que les fonctions simples ; les autres sont des fonctions composées dont les dérivées premières sont calculables par la même règle et entre les mêmes limites que s'il s'agissait de (4) •' en combinant la règle dont il s'agit avec les règles particulières qui donnent les dérivées premières d'une somme et d'un produit, on pourra exprimer toute dérivée seconde de la fonction composée (4) par une somme de produits où. figurent comme facteurs les dérivées premières et secondes des fonctions simples et de la composante.

On passera de la même manière aux dérivées du troisième ordre, et ainsi de suite indéfiniment.

60. La différentiation des fonctions composées conduit à des expressions faisant partie d'une classe dont il convient de donner une définition générale.

Si, dans une composante quelconque, on suppose que les diverses variables indépendantes soient remplacées, les unes par d'autres variables indépendantes ^, y, ...,les autres par des fonctions U,V, ... de X, }', . . . , les autres enfin par des dérivées déterminées, Q, . . ., de L,V, ..., cette opération engendre, en définitive, une fonclion H. 7

98 CHAPITKE III.

de ^, jKî . . • que nous nommerons fonction composée différentielle {^).

Cela étant, si les fonctions U, V, ... sont toutes olotropes dans une région 1^, si la composante l'est elle-même dans une région'^' ^ si enfin, pour un choix arbitraire d'un point de la première région, l' association des valeurs prises pai- les variables œ, y, . . . ^ les fonctions U,V, . . . et les dérivées Q, . . . donne un point constamment situé dans la seconde : la fonction composée différentielle dont il s'agit est olotrope dans la première région.

Il en est de même de toutes celles qu'on obtient en prenant pour nouvelle composante quelqu'une des dérivées partielles de la composante donnée.

Cette proposition est une conséquence immédiate du n" 60. Entre les limites qu'elle assigne, une fonction composée différentielle a ses dérivées de tous ordres calculables par l'application des règles générales (n«^ 62 et 64).

66. Les mêmes notations étant adoptées qu'au numéro précédent, si, dans l'expression

on laisse indéterminées les fonctions U, V, ... de x,y, ... (tout le reste étant déterminé), on obtient, suivant qu'elles sont choisies de telle ou telle façon, telle ou telle fonction composée de x, y, .... Cela étant, pour que la fonction composée soit identiquement nulle en x^ y, ... indépendamment du choix âfe U, V, . . ., il faut et il suffit que V expression (5) soit identiquement nulle en

considérées comme autant de variables indépendantes distinctes. La condition, évidemment suffisante, est, de plus, nécessaire : car, en désignant par

(^o,.ro, ..., Uo, Vo, ..., Ûo, ...)

un point arbitrairement choisi dans la région où la composante est supposée olotrope, on peut assujettir les fonctions indéterminées

(') Comme cas particulier, on peut, naturellement, supposer qu'aucune dérivée des fonctions U, V, ... n'intervient dans la formation de la fonction composée.

U, V et celles d'entre leurs dérivées qui figurent dans (5), à

satisfaire aux conditions initiales U = Uo

pour X — a7o = jK — y^

et l'on devra avoir, en vertu de la nullité requise,

f{xQ^ y^^ • • • , Uo, Vo, . . . , iîo, • . • ) = o.

67. Les mêmes notations étant adoptées, pour que les deux fonctions composées

(7) F(a:,jK, ...,U,V, ...,Q, ...)

soient identiquement égales en x^ y, ... indépendamment du choix <y^ U, V, ..., il faut et il suffit que les expressions (6) et (7) soient identiquement égales en

considérées comme autant de variables indépendantes distinctes. On suppose, naturellement, que les composantes /et F admettent quelque région commune d'olotropie : cela étant, on ramènera le théorème actuel au précédent en considérant la fonction composée obtenue par la différence des deux premières.

68. Les mêmes notations étant adoptées, si, dans V expression

on laisse indéterminé le choix des fonctions U, V, ... de x^ y^ , . . , deux expressions d^ une même dérivée quelconque de la fonction composée, obtenues par l'application des règles générales (n"^ 62 et 64), sont identiquement égales entre elles quand on y considère x^y, . . . , U, V, ... et les dérivées de tous ordres de U, V, . . . comme autant de variables indépendantes distinctes.

U suffît, pour s'en convaincre, d'observer que les deux expressions doivent être identiquement égales en x^ y., . . . indépendamment du choix de U, V, . . . , et d'appliquer le théorème précédent.