GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT

Définitions premières relatives au calcul des fonctions par cheminement; monodromie.

69. Une série entière en ^ — ^o^JK — yo-, ...5 admettant, autour du centre (^o^JKo? • • •)' quelque domaine de convergence, définit, comme nous l'avons vu (n'' 46, I), une fonction olotrope de ^, jr, . . . dans l'intérieur d'un pareil domaine (2). Donnons à ce développement la forme de Taylor ; puis, désignant par (Xi^yt^ . . .) un point intérieur au domaine, introduisons dans ce développement et dans toutes ses dérivées l'hypothèse numérique x = Xt^ y = yi, .... La connaissance des sommes de ces divers développements nous permettra évidemment de construire celui de notre fonction à partir des nouvelles valeurs initiales .r<,jKi, ... : ce deuxième développement de Taylor, entier en x — ^i, y — yt-, ..., admettra certainement quelque domaine de convergence, et nous dirons, pour abréger, qu'il se raccoi'de avec le précédent.

Cela posé, considérons, dans l'espace [:r,jK, . . .] , un chemin brisé ayant pour sommets successifs

(i) (^o,Jo, ...), {^Mfu '••)•> (^2,JK2, •••). •••» (^^,r^, ...), (X, Y, ...).

Si, à partir de ces sommets successifs, on peut construire autant de développements dont chacun se raccorde avec le précédent, et dont le premier ne soit autre que le développement donné, le chemin brisé (i) sera dit praticable relativement au développement donné. D'après cela, il faudra donc, pour que le chemin (i) soit praticable, que le développement donné admette des rayons de convergence

(') Voir MÉRAY, Leçons nouvelles, etc., i" Partie, p. i3o et suiv. (2) Il va sans dire que, ici encore, les variables x, y^ ... sont supposées indiftéremment réelles ou imaginaires.