GÉNÉRALITÉS SUR LK CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT. ICI

respectivement supérieurs aux modules des différences Xi — Xq, y, — r^, ..., ce qui permettra de construire, à partir des valeurs J7,, j',, . . . , un deuxième développement se raccordant avec le premier; il faudra ensuile que ce nouveau développement admette des ravons de convergence respectivement supérieurs aux modules des différences Xa — ^m Va— y«, • • •? ce qui permettra de construire, à partir de x.y, JK2? . . . , "i^ troisième développement se raccordant avec le second; et ainsi de suite jusqu'au développement construit à partir de x^,y^, . . ., qui doit admettre des rayons de convergence supérieurs aux modules des différences X — Xg, Y — y^, . . . , afin qu'un dernier développement puisse être finalement construit à partir de X, Y, ....

Nous avons déjà eu l'occasion, dans ce qui précède (n" 57, IV et V), d'effectuer un cheminement de cette nature, et nous avons fait voir que, lorsqu'une fonction de x^ y, ... est olotrope dans une région, la connaissance du développement de la fonction à partir d'un seul point de la région suffît pour qu'on puisse construire, par l'opération échelonnée que nous venons de décrire, son développement à partir d'un autre point quelconque de la même région. Mais il va sans dire qu'on peut se proposer d'effectuer des cheminements analogues en prenant comme base des calculs successifs, non plus un développement fourni par telle ou telle fonction qu'on sait être olotrope dans telle ou telle région, mais une série entière en x — Xq, y — y a. . . . , arbitrairement choisie sous la seule condition d'admettre quelque domaine de convergence. Tant qu'on ne franchit pas les limites de convergence du développement initial, ce que nous venons dédire reste applicable, puisque la somme du développement définit, dans tout domaine de convergence, une fonction olotrope des variables X, jK, ... ; mais, au delà, toute certitude disparaît, en général, quant à la possibilité du cheminement. Il y a plus : si l'on considère deux chemins brisés partant du point (^q, y^^ . . .) et aboutissant au même sommet final, ces deux chemins, à supposer qu'ils soient l'un et l'autre praticables par rapport au développement donné, peuvent conduire, suivant les cas, soit au même développement final, soit, au contraire, à deux développements distincts.

Dans l'Ouvrage déjà cité de M. Méray, le développement entier en X — Xq^ y — y^, ... choisi comme base du calcul précédent est qualifié i\e fondamental; de même les premières valeurs, Xq^ jkoî ... 7

des variables indépendantes [celle qualification s'étend d'elle-même au point (-PqîJKoj • • •) dont elles sont les coordonnées réelles ou imaginaires (n"" 1 et lo)]. Un développement fondamental donné (admettant quelque domaine de convergence) est dit définir, non pas une fonction, mais une pseudo-fonction de jc, j^, ... (') : pour plus de simplicité toutefois, M. Méray remplace souvent le mot pseudofonction par le moi fonction, auquel il attache le même sens (-).

Si à un développement fondamental quelconque on substitue sa dérivée d'ordres partiels/?, q^ . . . , tout chemin brisé praticable relativement aux anciennes données l'est encore relativement aux nouvelles, et les développements successifs obtenus dans le second cas sont les dérivées d'ordres partiels p^ q, ... de ceux qu'on obtient dans le premier. Celte deuxième pseudo-fonction se nomme la dérivée d^ ordres partiels p^ ^, ... de la proposée.

Enfin, si l'on considère simultanément diverses pseudo-fonctions de ^, y, ... définies par un même point fondamental et divers développements fondamentaux, une expression de forme entière par rapport aux sommes de ces développements et de leurs dérivées d'ordres quelconques définit évidemment une nouvelle pseudofonction ; et tout chemin praticable à la fois pour les diverses pseudo-fonctions données ne peut manquer de l'être aussi pour la nouvelle.

70. Considérons actuellement, d'une part, une pseudo-fonction àe x^y^ . . ., définie, conformément aux explications qui précèdent, par un point fondamental, (^o?J'oî • • •)' ^^ P^^ "^ développement fondamental^ d'autre part, une région continue, ^, extraite de l'espace I[^,JK, ...]], et contenant le point (^o,yo 5 ...). Nous dirons que la pseudo-fonction dont il s'agit est calculable par cheminement dans la région % avec les rayons de convergence R^;, Ry, . . . , si tout chemin brisé ayant son premier sommet au point fondamental, ses divers sommets dans la région H et des écarts maxima (n" 38) respectivement inférieurs à R^., R^, ... est praticable pour la pseudofonction et conduit à des développements successifs admettant tous comme rayons de convergence R-r, Rj, ....

(' ) Que M. Méray qualifie à'oloïde.

( ') En y adjoignant i'épithète localement olotrope.

GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT. To3

Cette condition étant supposée réalisée, si, de plus, le développement final auquel on est conduit à l'extrémité d'un pareil chemin brisé dépend uniquement des coordonnées de cette extrémité, et non du chemin suivi pour y arriver, la pseudo-fonction sera dite monodrome dans la région 11.

Toute pseudo-fonction nionodrome dans une région normale y peut être assimilée à une véritable fonction olotrope (n°' 41 et 42).

Effectivement, il résulte tout d'abord de la monodromie supposée qu'à tout point de cette région normale on peut faire correspondre un développement bien déterminé, et que, dès lors, la considération des termes constants des divers développements définit, dans la région dont il s'agit, une ionclion proprement dite de x^ y, ....

Cela étant, désignons par (X, Y, . . .) un point quelconque de la région, par /• une constante positive ne surpassant aucun des rayons R-r, R^, . . . , telle, en outre, que le domaine î», ayant pour centre le point (X, Y, . . .) avec des rayons tous égaux à /•, soit entièrement situé dans la région ; désignons enfin par (x'^ y', . . .) un point quelconque de ce domaine. Pour avoir le développement qui corresponde ce dernier point, on peut, en vertu de la monodromie supposée, partir du développement qui correspond au point (X, Y, . . .), et opérer, de (X, Y, . . .) en {x\y\ . . .), un cheminement direct (c'est-à-dire exclusivement composé du sommet initial et du sommet final) : la valeur de notre fonction au point {x\y' ^ . . .) est, par définition, le terme constant du développement résultant, et s'obtient, dès lors (n" 69), en introduisant dans le développement qui correspond au point (X, Y, . . .) l'hypothèse numérique

elle est donc, dans toute l'étendue du domaine "ï>, exprimable à l'aide d'une série entière par rapport aux différences x — X, jk — Y, ....

Régions monodromiques (*).

71. Certaines régions, extraites de l'espacen .r, y, . . .]!, jouissent, par leur forme même, de cette propriété remarquable, que le seul

(') Pour définir les régions monodromiques, M. Méray considère, dans les plans qui servent à la notation graphique des variables x^ y, ..., certaines aires, S^^,

lOÎ CHAPITHE IV.

fait, pour une pseudo-fonction, d'j être calculable par cheminement, entraîne comme conséquence nécessaire la nionodromie (sous la seule condition que, dans les chemins brisés parcourus, les sommets successifs soient suffisamment rapprochés). L'examen de ce cas remarquable nécessite tout d'abord quelques définitions nouvelles.

Nous nommerons lacet tout chemin brisé dont le sommet final coïncide avec le sommet initial; le point où se trouvent réunis les deux sommets extrêmes sera V origine du lacet.

Nous nommerons réseau une suite (limitée) de lacets,

Lo, Li, 1-12, . . . , Ltp,

ayant tous la même origine et le même nombre de sommets, et dont le premier, Lq, a tous ses sommets confondus avec l'origine commune ; cette dernière sera Vorioine du réseau.

Étant donné, dans l'espace \\x^y^ •••]L "i^ réseau, prenons-y à volonté, soit deux sommets consécutifs appartenant à un même lacet, soit deux sommets de même rang appartenant à deux lacets consécutifs, et formons les différences entre les coordonnées semblables de ces deux points; en répétant l'opération de toutes les manières possibles, nous obtiendrons le Tableau

Gela étant, si, dans les lignes respectives du Tableau, on évalue les

S , ... {voir au Chapitre III la note du n" 42), et il assigne à ces aires des formes telles qu'on ne puisse y tracer deux groupes de chemins conduisant des valeurs fondamentales x^, y^, ... à un même autre système quelconque de valeurs des variables X, Y, ..., sans qu'il soit possible d'amener les chemins de l'un de ces groupes à coïncider géométriquement avec ceux de l'autre par des déformations progressives exécutées uniquement à l'intérieur de ces aires.

« Les aires, ajoute M. Méray, n'auraient pas la forme prescrite par l'énoncé, si l'une d'elles était perforée, si S^ par exemple était une couronne limitée par deux circonférences concentriques Pour qu'elles aient la forme voulue, il faut évidemment et il suffît que toutes soient imperforées, c'est-à-dire qu'aucune d'elles n'offre de solutions de continuité intérieures analogues à celles qu'on pourrait pratiquer dans une feuille de papier de forme quelconque en y frappant des coups d'emporte-pièce qui n'entameraient pas son bord et n'empiéteraient pas les uns sur les autres. » {Leçons nouvelles, etc., i'* Partie, p. i34 et t35).

Il nous a semblé que cette définition laissait un peu à désirer au point de vue de la précision analytique : c'est ce qui nous a conduit à la modifier comme ci-dessus.

GÉNÉRALITÉS St'R LK CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT. lo5

plus grands modules, ;jlj., ix»-, . . . , que présentent les différences dont il s'agit, ces quantités ;jlj., '^y, ... se nommeront les écarts maxinia du réseau.

Ces diverses définitions étant posées, les régions auxquelles nous avons fait allusion plus haut sont celles qui, éldiUl continues, satisfont en outre à la condition suivante :

Une constante positive a étant donnée, on peut assigner une constante positive 3, non supérieure à a, et telle, que tout lacet ayant ses divers sommets dans la région avec des écarts maxima moindres que 3 (n" 38) puisse être considéré comme le lacet final de quelque réseau ayant ses divers sommets dans la région avec des écarts maxima moindres que a (').

Il est facile de voir que la remarque du n** 4, dont l'exactitude a déjà été constatée pour les régions limitées, complètes, continues, normales ( n"* i, 39, 41), s'applique encore aux régions ci-dessus définies.

7l2. Les régions dont il s'agit donnent lieu à la proposition capitale suivante :

Toute pseudo-fonction de x^ y, ... calculable par cheminement avec les rayons R^, Rj, . . . dans une région^ 1^, qui [outre la continuité) présente le caractère spécifié au numéro précédent, y est certainement monodrome avec des rayons rx-, r^, ... convenablement choisis au-dessous de R^, R^, ....

En d'autres termes, si, parmi les chemins brisés (tous praticables pour la pseudo-fonction) qui partent du point fondamental, et qui, avec des écarts maxima moindres que R^, Rj, . . . , ont tous leurs sommets dans la région tl, on s'astreint à ne considérer que ceux dont les écarts maxima sont moindres que rx-, />, . . . , le développement auquel on est conduit à l'extrémité d'un pareil chemin dépend

(') Ou, ce qui revient au même : Une constante positive a étant donnée, on peut assigner une constante positive y, non supérieure à a, et telle, que tout lacet ayant ses divers sommets dans la région et deux sommets consécutifs quelconques à une distance mutuelle moindre que y, puisse être considéré comme le lacet final de quelque réseau ayant ses divers sommets dans la région, deux sommets consécutifs quelconques d'un même lacet à une distance mutuelle moindre que a, et deux sommets de même rang de deux lacets consécutifs quelconques à une distance mutuelle également moindre que a.

lo6 CHAPITRE IV.

uniquement des coordonnées de cette extrémité, et non du chemin suivi pour y arriver.

I. Dans ce qui suit, nous aurons plus d'une fois à exprimer que deux chemins brisés de même extrémité, praticables par rapporta un développement fondamental donné, conduisent au même développement final : en désignant par

aQa\ «2 . . . ag'A

les deux chemins dont il s'agit, nous exprimerons cette équivalence à V aide de la notation

II. Si, par rapport à un développement fondamental donné, deux chemins brisés de même extrémité,

(1) ciQa\ «2 • • • ^g^i

(2) ao«i «2 • • • «g' A,

sont praticables et équivalents, si, de plus, le chemin brisé a^a^a^ . . . agkfXi . . . ol/c,

obtenu par un certain allongement de {i), est praticable, le chemin brisé

aoa\ a'o . . . aLAxi . . . a^t?

obtenu par le même allongement de {-i), est praticable, comme le précédent, et conduit au même développement final.

III. Considérons un développement fondamental admettant les rayons de convergence R^;, Rj, , . .^ et un chemin brisé,

a2=(a7i -f./i2, JKi +^2, .• .) = (-^2, JK2, ...)»

ap= {Xp-x^ hp, yp-i-\- kp, ...)= {Xp.yp, . ..j,

ayant son origine au point fondamental {x^^y^^ ...): si les accroissements successivement attribués aux variables vérifient