GENERALITES SUR LE CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT. IO

les relations

(3) \ modAi-h modA:2-+-- • -H- ïnodA/;< Rj,

les deux chemins

sont praticables et conduisent au même développement final.

On sait qu'à l'intérieur du domaine de centre (^oîJKoî • • •) et-^e rajons Rj-, R^, . . . , la somme du développement fondamental définit une fonction olotrope, /"(a?, y, ... V Gela étant, si l'on désigne par q un entier quelconque de la suite 1,2, ...,/?, les relations (3) donnent immédiatement

T[iOà{Xq—X(i) = ïï\oà{hx-\- h.2-^.. .-+- hq) < R.ï;, moà{yg—yQ) = mod(Â:i -h /ra-t-. • •+ ^^X Ry,

dès lors, les points aQ, a,, «2, ..., ap sont tous situés dans une région où la fonction /(a?, j^, . . .) est olotrope, et la quantité

est développable en une série entière par rapport k h., k. . . ., tant que les modules de ces accroissements sont respectivement inférieurs aux différences

Rj:— moà{Xg-x — Xq) = R.r— mod(/ii-i- /ij-h.. .4- A^-i), Ry— mod(^ç i— 7o) = R^— mod(Â:i-+-Â:2 4-...-t- /c^-i).

(n"46, l). Comme on a précisément, en vertu de (3),

mod ( A, H- A, -f- ... -h /i,/i ) + mod A,, < R,^, mod (X:i -h Atj -f- . . . + Ar^y-i ) -H mod A-^ < Ry,

c'est-à-dire

les valeurs

mod hq < R.r — mod ( A, -1- /ij -h . . . -+- A^, j, mod Ay < Ry — mod ( Ai -f- A2 -h . . . -h A,^i ),

Xg = a7^, -h hg y g = yg^.i 4- kr^

se trouvent certainement dans les limites oii/(^,y, . . .) est développable par la formule de Tajlor à partir des valeurs Xq__^ , j'^i , .... Cela posé, si l'on considère le développement de /(^,j,, . . .) à partir des valeurs initiales ^o? ^'(n • • • 7 l'hypothèse numérique .a; = :r, , y^=y\^ ...7 introduite dans ce développement et dans toutes ses dérivées, fournira, aux facteurs numériques connus près, les coefficients du développement de f{œ^y^ . . .) effectué à partir de a?,, jKi, . . . , et permettra de construire le développement dont il s'agit. Ce deuxième développement une fois connu, on en déduira, par le même mécanisme, le développement de /(^, >', . . .) à partir du troisième sommet (^2,^2? . . .)' ^^ ainsi de suite jusqu'au sommet final {ocp^y-p. . . .). Le chemin «(,«,«2 . . . CLp est donc praticable, et équivaut au chemin direct a^ap.

IV. Lorsqu'un développement fondamental, entier en x — x^^ y — jKoî ' ' -1 converge dans le domaine de centre {^XQ^y^^ . . .) et de rayons R^;, Rj, . . . , tout chemin brisé ayant son origine en {^Qiya-i •••) ^^ SCS divers sommets dans le domaine en question équivaut, s'il est praticable, au chemin direct formé avec les deux sommets extrêmes.

i" Le point ci-dessus énoncé est exact lorsque le nombre des sommets est égal à 3.

Désignant, en effet, par/(^,y, . . .) la somme du développement donné, entier en ^ — ^o^y — JKo? ... 7 et par

«1 = {^u yu •■•)-

les trois sommets de notre chemin brisé, on observera tout d'abord que le développement auquel on est conduit en a, coïncide avec celui de/(^,y, . . .), effectué à partir des valeurs x^^y^^ ....

Si l'on désigne maintenant par s une indéterminée réelle assujettie à varier dans l'intervalle de o à i (o^^^i), et que l'on considère le point (:r, X, . . .) défini par les formules

(4) \y=yx-^s{Y-y,),