GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT. IO

il résulte, en premier lieu, du raisonnement fait au n° 40, que ce point est, quel que soit 5, situé dans le domaine de centre (^05^07- • •) et de rayons R^., Rj, . . . , et, en second lieu, d'une proposition formulée à l'alinéa II du n'' 57, que la fonction /( A', y, . . .) admet en ce point, quel que soit 5, des olomètres au moins égaux à une constante positive 5 convenablement choisie. Désignant alors par s une quantité positive assez petite pour que les produits

(5) 6mod(X — X,), £mod(Y — jKij,

soient tous inférieurs à 8, partageons l'intervalle de o à i en intervalles partiels d'amplitude inférieure à £, et soient

les valeurs de s qui limitent les intervalles partiels successifs,

les points correspondants fournis par les formules (4) • il résulte immédiatement de ces dernières que, pour deux sommets consécutifs du chemin (6), les diflerences entre les coordonnées semblables ont des modules respectivement inférieurs aux quantités (5), par suite à 8. Si donc on prend pour développement fondamental celui de /{x,y, . . .) effectué à partir des valeurs x^,y^, . . . , le parcours du chemin brisé (6) fait retomber de toute nécessité sur le développement de fi^x^y^ . . .) effectué à partir des valeurs X, Y, ... . Observons maintenant, chose extrêmement aisée à vérifier, que, sur le chemin brisé (6), la somme des modules des accroissements successivement attribués à chaque variable est égale à l'une ou à l'autre des quantités

(7) mod(X — a^i), mod(Y-jKt), ...,

suivant qu'il s'agit de l'une ou de l'autre des variables ^,JK, Comme, en vertu de notre hypothèse, le chemin a„ai A est praticable, les quantités (^) ne peuvent manquer d'être toutes inférieures à certains rayons de convergence du développement de /{œ^y, . . .) effectué à partir de (^,,y,, . . .), et l'on peut, dès lors, en vertu de l'alinéa III, passer directement du sommet a, au sommet A.

Ainsi, le développement final auquel conduit le chemin donné «o«i A coïncide avec le développement de /(x^y, . . .) effectué à

partir des valeurs X, Y, ... ; il équivaut donc au chemin direct,

2" Le point énoncé au début du présent alinéa IV est exact, quel que soit le nombre des sommets de notre chemin brisé.

Si l'on désigne en ed'et par û-q^ a^, a^i . . ., «o-, A les sommets successifs du chemin dont il s'agit, on a d'abord, en vertu de i*',

T[ao«i«2] = ^[«j<^2]

(1), d'où l'on déduit (II)

Une nouvelle application de i° donne alors

d'où, par comparaison avec la relation qui précède,

W[ao«i«2«3] = W[ao«3].

En continuant ce raisonnement de proche en proche, on tombera finalement sur la relation

'^\a^axai . . . agk.\ = ^^[«o A].

V. Considérons, relativement à une pseudo-fonction donnée, le chemin brisé

a^axa^i, . . . dg-x ag h^a^ag—x . . . a-ia^ «o? oic les deux tronçons successifs

Uottiai ...ag-iagA., A agttg—i ... «2 «1 «0

se composent des mêmes sommets, pris d^ abord dans un certain ordre, puis dans l'ordre inverse : un pareil chemin, s'il est praticable, fait retomber de toute nécessité sur le développement fondamental.

Effectivement, l'application alternative des alinéas IV et II donne successivement

W[ao«i«2 • • • <^5--i<^^Aao- ] = W[ao«i<^2 • • • <^^-i ^^ ]>

^''[ao«j<^2 • • • ag-iagh.agag-'x'] = W[aQaxa.2 . . . ag-xagag-x]

= W[aoaxa2. . . ag-x ],