VI. Resenons à notre énoncé général

Si Ton désigne par r le plus petit des rayons R^, R^, . . . , on peut, en vertu des hypothèses faites sur la région ti, assigner au-dessous

de - une constante positive, o, telle que tout lacet construit dans %

avec des écarts maxima moindres que p puisse être considéré comme le lacet final de quelque réseau construit dans % avec des écarts

maxima moindres que - •

Cela étant, désignons par (xQ^yot . • •) le point fondamental, par (X, Y, . . .) un point arbitrairement choisi dans la région H, et construisons arbitrairement dans cette région, de (^0?JK07 • • ^^(^'^v)^ deux chemins brisés, G', G", présentant des écarts maxima moindres queo(n"39). Il résulte de notre hypothèse que ces chemins sont tous deux praticables pour la pseudo-fonction donnée, et qu'ils conduisent à des développements successifs admettant des rayons de convergence au moins égaux à /* : tout revient donc à prouver que le développement final est le même pour l'un et pour l'autre. A cet effet, nous désignerons par C[ le chemin brisé G'^ considéré en sens inverse, et nous établirons que le lacet (G', G", ), évidemment praticable, fait retomber sur le développement fondamental : il en résultera que dans le chemin praticable formé des trois tronçons successifs G', G, , G", la suppression des deux premiers tronçons est permise, et comme, en vertu de l'alinéa V, la suppression des deux derniers l'est également, les deux chemins G' et G", équivalents l'un et l'autre à (G',G'j ,G''), seront par là même équivalents entre eux.

Or, d'après ce qui a été dit, le lacet (G', G", ), dont les écarts maxima sont moindres que p, peut être considéré comme le lacet final de quelque réseau construit dans li avec des écarts maxima moindres

que -• Gomme un lacet ayant tous ses sommets confondus au point

fondamental fait évidemment retomber sur le développement fondamental, tout revient à prouver que deux lacets consécutifs du réseau

(évidemment praticables pour la pseudo-fonction donnée avec des

rayons de convergence égaux à r, puisque leurs écarts maxima tombent au-dessous de ) conduisent au même développement final. Désignons à cet effet par

ao<2l «2 • • • f*/ ^0

et

ao»! aa . . . a/^o

deux lacets consécutifs du réseau. Nos hypothèses, combinées avec les alinéas III et II, donnent successivement

puis

d'où

puis encore

d'où

W[<2o«ia2a3] = W[ao«i«2«3a3];

etc. On arrivera ainsi, de proche en proche, à

W[aoOiiai2 • . • «i] = W[ao«ia2 • • • «/«/],

et, finalement, à

W[aoa.i(X2 . . .oLiao] = W[aoaia.2 . . . aiOiiao]

= »r[ao«i«2. . • «/«o] (M-

(^) La même démonstration, légèrement modifiée, s'applique à la proposition suivante :

Soient 5, f , . . . des variables indépendantes (réelles ou imaginaires), en nombre quelconque g', ^, t ... ""^ région de l'espace [[.s, t, . . .]] continue, limitée, complète, et présentant le caractère spécifié au n° 71 ;

des formules, en nombre quelconque n, ayant pour seconds membres diverses fonctions de 5, t^ ..., toutes continues dans la région ïi, ,....; enfin (s^, t^, ...) un

GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT. Il3

73. Les régions qui présentent (outre la continuité) le caractère spécifié au n" 71 jouissent, comme on le voit, de cette propriété remarquable, que le seul fait, pour une pseudo-fonction, d'y être

certain point de celle aernière, et a?„, yo, ... les valeurs numériques correspondantes dex, y, ....

Considérons, d'autre part, une pseudo-fonction de x, y, ... définie par le point fondamental {x^, y», ...) et par un développement fondamental, et supposons que les divers points de l'espace [[x, y, ...]J qui, en vertu des formules ci-dessus, correspondent (avec répétition possible) aux divers points de R,,t^..., appartiennent tous à une région où la pseudo-fonction dont il s'agit soit calculable par cheminement ayec les rayons R^, R^.,

Toutes ces choses étant posées, si, parmi les chemins brisés de l'espace f [s, t, . . .]j ayant leur premier sommet en (s,„ ;„, ...) et leurs divers sommets dans la région R, , , on se borne à considérer ceux dont les écarts maxima tombent audessous d'une constante positive convenablement choisie : i" les chemins brisés qui leur correspondent dans l'espace \[x^ y, . . .jl ont des écarts maxima respectivement moindres que les quantités R^, R^ , . . . , et, par suite, sont praticables pour la pseudo-fonction avec ces mêmes quantités comme rayons de convergence; 2» le développement final obtenu à l'extrémité d'un pareil chemin dépend uniquement des valeurs de s, t, ... qui en fournissent le dernier sommet.

Des diverses hypothèses faites tant sur la région Jl, , que sur les seconds membres de nos n formules, il résulte en effet : 1° qu'en désignant par /• le plus petit des rayons R^, R , ..., et par y une constante positive convenablement choisie, les relations simultanées

mod{s' -- s') <y, mod(f'— r)<y, ...,

supposées vérifiées pour deux points quelconques de la région R, ^ , entraînent comme conséquences nécessaires, pour les deux points correspondants de l'espace [[ar, ^'j ...]j, les relations

mod {x'— x" ) < -j mod {y' — y") <. -y ...;

2" qu'en désignant par 5 une constante positive convenablement choisie, non supérieure à la précédente y, tout lacet construit dans H,, avec des écarts maxima moindres que 5 peut être considéré comme le lacet final de quelque réseau construit dansR, ,^ avec des écarts maxima moindres que y.

Cela étant, si, parmi les chemins brisés de l'espace \[s, t, ...]l ayant leur premier sommet en (*„, t^, ...) et leurs divers sommets dans la région îi, ^ , on se borne à considérer ceux dont les écarts maxima tombent au-dessous de la constantes, les divers chemins brisés qui leur correspondent dans l'espace [[a?, y, ...jl auront

nécessairement des écarts maxima moindres que -> à plus forte raison moindres que

les quantités R p, R, ... respectivement, et, par suite, seront praticables pour la pseudo-fonction avec ces mêmes quantités comme rayons de convergence.

Cette première constatation étant faite, on désignera par (S, T, ...) un point arbitrairement choisi dans la région R, , , on construira arbitrairement dans cette ré-

Il4 CHAI>1TRE IV.

calculable par cheminement, entraîne de toute nécessité, moyennant un choix convenable des rayons, sa monodromie dans les mêmes limites : nous les nommerons, pour cette raison, régions nxonodromiques.

L'exemple suivant, qui est des plus simples, se présente très fréquemment.

gion, de (s,,, i^, . . .) à ( S, T, ...), deux chemins brisés, C, G", présentant des écarts maxima moindres que 5, et l'on prouvera que les deux chemins qui leur correspondent respectivement dans l'espace [[a;, jk> •••]] conduisent au même développement final: nous n'insisterons pas sur les détails de ce raisonnement, qui ne ferait que reproduire, avec les modifications voulues, l'alinéa VI du n° 72.

Lorsque les diverses hypothèses énumérées au début de la présente note se trouvent vérifiées, il résulte évidemment de nos conclusions qu'à tout point ( S, T, ...) de la région R, , on peut faire correspondre un développement déterminé de la pseudofonction, en s'astreignant à ne considérer, parmi les chemins brisés ayant leur sommet initial en (So^^o? •••)» 'cur sommet final en (S, T, ...), et leurs sommets intermédiaires dans la région R, ^ , que ceux dont les écarts maxima tombent au-dessous de ô; la considération des termes constants des divers développements définit alors, dans la région dont il s'agit, une fonction proprement dite de s, i, ..., évidemment continue.

Supposons, par exemple, qu'une pseudo-fonction de la variable imaginaire x soit calculable, avec un certain rayon r, dans une certaine région de l'espace j[^]l, et traçons dans cette dernière, à partir du point fondamental a;^, un arc continu,

[5 désigne ici une variable réelle assujettie à se mouvoir dans un certain intervalle, et /(a) une fonction continue de cette variable prenant la valeur numérique x^ pour celle des deux valeurs extrêmes, 5„, de s, que l'on considère comme initiale]» La région, H,, de l'espace [[*] L constituée par l'intervalle en question, est, comme nous l'avons établi (n° 9, H), limitée et complète, et remplit déjà, de ce fait, une partie des conditions requises par notre énoncé; elle satisfait d'ailleurs, comme on le voit immédiatement, à la définition donnée plus bas ( n" 73) d'une région convexe, et, par suite (n° 73), aux conditions restantes. Cela étant, désignons par y une constante positive choisie de telle façon que la relation

mod (s' — s") < Y,

supposée vérifiée pour deux points quelconques de l'intervalle R,, entraîne comme conséquence nécessaire, pour les deux points correspondants de l'espace TC^] 1, la relation

mod (x' — ;r" ) < - :

à cause de la forme convexe de la région R,, la constante ô, dont il est question cidessus, pourra être choisie égale à y ( n° 73). En conséquence, à un point quelconque, S, de l'intervalle R,, on pourra faire correspondre un développement déterminé de la pseudo-fonction en s'astreignant à ne considérer, parmi les chemins brisés ayant