GÉNÉRALITÉS SIR LK CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT

Étant donnés, dans l'espace [[:r, y, ...]], deux points,

l'ensemble des points «léfinis par le système des formules

X = Ix'-h [ix\

OÙ les indéterminées réelles a et jx doivent vérifier l'un ou l'autre des systèmes équivalents

( X-t- jJi = i, j X-+-[a = i,

sera, par définition, le serment rectiligne qui joint les deux points. Le segment ainsi défini peut donc être considéré comme un arc continu (n° 37), représenté, soit par les formules

auxquelles on adjoint la condition

soit par les formules

auxquelles on adjoint la condition

Cela étant, nous dirons qu'une région de l'espace M^, JK, • • il

leur sommet initial en *„, leur sommet final en S, et tous leurs sommets intermédiaires dans H,, qur ceux dont les écarts maxima tombent au-dessous de y : le parcours d'un pareil chemin se nomme, pour abréger, le parcours de l'arc, effectué de *j à S, et sa considération intervient soiiventdans l'étude des fonctions d'une variable imaginaire. Tout le long de l'arc x=/{s), la pseudo-fonction est assimilable à une fonction continue de s.

Ïl6 CHAPITRE IV.

est coTwexe, si, deux points j étant pris à volonté, le segment rectiligne qui les joint est entièrement situé dans la région (' ).

Or, je dis ij^ une pareille région, manifestement continue, remplit, en outre, la condition spécifiée au n" 71, et que, par suite, elle est monodromique. 11 suffit évidemment, pour le prouver, de faire voir que :

Tout lacet construit dans une région convexe, C, avec des écarts maxima moindres qu'une constante positive donnée a, peut être considéré comme le lacet final de quelque réseau construit dans cette région avec des écarts maxima également moindres que a (la constante ^ du n° 71 peut ainsi, dans ce cas, être choisie égale à a).

Soit donc

un lacet construit dans la région avec des écarts maxima moindres que a. Désignant par s une indéterminée réelle assujettie à varier de o à I (o^5^i), je considère le lacet, variable avec 5, qui a pour sommets successifs les points

fp^

^-r-siy,

Y + .(rp-

[X^s{xp

Y-hMJp

(') On voit immédiatement que, ici encore, la remarque du n° 4 est applicable, c'est-à-dire que, si des régions, respectivement extraites des espaces r[^, ..]]> [[j^'» •••]!» ^I^c., sont toutes convexes, leur association forme, dans l'espace \[x, .'-ly, ..., elc.]l, une région également convexe.