GÉNÉRALITÉS SIR LE CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT. II

Ce lacet (9) a même origine et même nombre de sommets que le lacet (8), et nous constaterons tout d'abord que, pour toute valeur de s n'excédant pas rintervalle de o à 1 , il a ses divers sommets dans la région C et présente des écarts maxima moindres que a.

Efîeclivement, si Ton désigne par k un entier quelconque de la suite 1, 2, ...,/>, le sommet

[X ^ six,— X), Y -h s{y,— y ), . . .1

fait évidemment partie du segment rectiligne qui joint les deux points

or, ces deux points sont situés l'un et l'autre dans la région C, par suite aussi le segment rectiligne qui les joint, par suite enfin le sommet considéré du lacet (9).

Considérons maintenant deux sommets consécutifs quelconques du lacet (9), et formons les différences entre leurs coordonnées semblables ; nous obtiendrons ainsi successivement

s(Xi — X),

Or, puisque s n'excède pas l'intervalle de o à i, les modules de ces différences sont au plus égaux à ceux qu'on obtiendrait en faisant abstraction dans toutes du facteur 5; les écarts maxima du lacet (9) sont, par suite, au plus égaux respectivement aux écarts maxima du lacet (8), et, dès lors, moindres que a.

Celte double constatation étant faite, désignons pare une constante positive assez petite pour que les produits

emocK^Pi — X), £mod(^i — Y), tmoà{Xi — X), £mod(72 —Y),

£ mod(a-,,,— X), s mod(jK/;-i — Y), tmoA{Xp ~X), emod(jK,, —Y),

soient tous inférieurs à a; puis, partageons l'intervalle de o à i en

Il8 CHAPITRE IV.

intervalles partiels moindres que s, et nommons

(lO) 5(0^ = 0. 5^1', 5(2), ..., 5(^', 5(^+1^ =1

les valeurs de s qui limitent les intervalles partiels successifs ; considérons enfin les lacets successivement déduits de (9) par l'allribulion à s des valeurs successives de la suite (10) : nous obtiendrons ainsi un réseau ayant pour origine (X, Y, . . .), pour lacet final le lacet (8), et pour sommets des points tous situés dans la région C Chacun des lacets successifs de ce réseau présente d'ailleurs, comme nous savons, des écarts maxima moindres que a, et il nous reste à faire voir que si l'on considère, sur deux lacets consécutifs, deux sommets de même rang, les différences formées avec leurs coordonnées semblables présentent des modules moindres que a.

Le point à établir est évident s'il s'agit, soit du premier, soit du dernier sommet de deux lacets consécutifs, puisque les différences à former sont alors toutes nulles. Soient donc k un entier quelconque de la suite 1,2, ...,/>, et A, A + i deux entiers consécutifs quelconques de la suite o, 1,2, ...,«, ^+ i : nous avons, d'après ce qui vient d'être dit, à comparer les deux sommets

\X^s^h+i)(j;,^.X), Y-4-5(^+iUr/,- Y), ...]. Or, les quantités

obtenues en retranchant leurs coordonnées semblables, ont des modules au plus égaux respectivement à

emod(a7/,. — X), Emod(j'yt — Y), ...,

et, par suite, moindres que a (^).

74. Le simple rapprochement des n°^ 70 et 72 montre que toute pseudo-fonction calculable par cheminement dans une région à

(*) On a parfois, dans diverses questions, à transformer une région de l'espace en une autre : il est intéressant de noter à ce propos que certains types de transformation, appliqués à une région monodromique, donnent forcément comme résultat une autre région monodromique ; nous en avons cité ailleurs un exemple {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1907, p. iSa et suiv.).

GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCUL DES FONCTIONS PAR CHEMINEMENT. l I9

la fois normale et monodromiqiie y peut être assimilée à une fonction olotrope proprement dite.

C'est ce qui a lieu, notamment, dans la région normale que nous avons appelée domaine (n"* 40 et 41) : car la démonstration du n° 40, qui en établit la continuité, consiste précisément à faire voir que cette région est convexe (n** 73).

Observation générale sur les problèmes traités dans les Chapitres

suivants.

7o. Le but principal du présent Ouvrage consiste, ainsi qu'il a été dit dans la Préface, à prouver que certains systèmes d'équations aux dérivées partielles admettent des intégrales répondant à des conditions initiales d'une certaine forme : à cet effet, nous supposerons données certaines valeurs numériques, Xq^ y^^ ..., des variables indépendantes ^, y, . . . , que nous considérerons comme initiales ; puis, envisageant par la pensée les développements, construits à partir de ^01 >'o7 • ' "I des intégrales hypothétiques, nous supposerons données, outre les valeurs numériques Xq^ yo, . .., celles des coefficients de certains termes, les termes dont il s'agit étant choisis de telle façon, que la seule considération du système proposé, jointe aux données que nous venons d'indiquer, suffise pour calculer les valeurs numériques des coefficients des termes restants. En supposant qu'un pareil calcul ne conduise à aucune incompatibilité, nous pourrons alors faire correspondre aux diverses inconnues du système des développements fondamentaux (n° 69), dont les sommes, ainsi que nous le prouverons, vérifient efTectivement les équations proposées.

Mais, ces développements fondamentaux une fois obtenus, nous ne chercherons pas à en approfondir l'étude, ni, en particulier, à les prolonger analytiquement par voie de cheminement (<) : c'est pourquoi nous nous bornons, sur l'objet du présent Chapitre, aux généralités les plus essentielles.

(') La question particulière traitée dans la deuxième Partie du Chapitre XI (déformations finies dans l'espace à n dimensions) est la seule où nous dirons quelques mots ( n" 18"2) du calcul par cheminement des intégrales.

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES (i).

Intégration de l'équation -r- =f{x,y, ...).

76. Nous dirons souvent qu'une fonction de x^ y, ... est dévelopvahle à partir de ^q? JK05 • • • , valeurs particulières de ces variables^ si, dans toute l'étendue de quelque domaine ayant pour centre (j;o5 JKoî • • •) (^"^ *^^)5 ^^^ ^st représentable par la somme d'une série entière en .2? — ^05 JK — JKoî •••7 ^^1 ce qui revient au même, si elle est olotrope (n'' 42) dans quelque région comprenant le point

Nous nous proposerons actuellement le problème suivant :

Chercher toute fonction des variables x^y^ ... satisfaisant à la double condition : i" d^être développable à partir de valeurs donnéeSy ^05j)o7 •••5 2° d^ avoir pour dérivée première, relativement à une variable déterminée, x^ une fonction donnée, f{x^y^ ...) (nécessairement développable, en vertu du n*^ 49, à partir des mêmes valeurs).

Ou, en d'autres termes :

Un point déterminé, {xq^ y^, ...), étant choisi comme fondamental (n° 69), trouver tout développement fondamental {convergent) ayant pour dérivée première, relativement à x^ un développement fondamental {convergent) donné.

Désignant par u la fonction inconnue, et considérant, dans l'équa-

(') Il va sans dire que la signification actuelle du nnot coupure n'a rien de commun avec celle qu'on lui donne couramment dans la théorie des fonctions d'une variable imaginaire.

lion

qu'elle doit vérifier identiquemenl, une intégrale ( * ) (hypothétique) quelconque développable à partir de ^70,^0, •••^ nous nommerons dérivées principales de cette intégrale toutes celles qui coïncident, soit avec le premier membre de (i), soit avec quelque dérivée de ce premier membre, et dérivées paramétriques toutes les dérivées resUntes (*) : les dérivées paramétriques sont évidemment celles qui se rapportent aux seules variables y, . . . , et les dérivées principales celles qui intéressent, avec ou sans y, ..., la variables. Les coefficients du développement de l'intégrale sont d'ailleurs, aux facteurs numériques connus près (n° 54), les valeurs initiales de l'intégrale et de ses dérivées principales et- paramétriques de tous ordres : l'ensemble des termes où figurent ainsi les valeurs initiales de l'intégrale et de ses dérivées paramétriques constitue ce que nous nommerons sa détermination initiale; la portion restante du développement, où figurent de même les valeurs initiales des dérivées principales, se nommera la partie principale du développement. Cette dernière se compose donc de l'ensemble des termes qui contiennent x — Xq k une puissance au moins égale à i , et il en résulte que, dans V hypothèse numérique x = Xq^ V intégrale se réduit à sa détermination initiale.

Gela posé, nous établirons la proposition suivante :

La fonction f {x^ y^ . . .) étant supposée développable à partir de Xq, yo^ . . . , il existe une infinité de fonctions satisfaisant à la double condition : 1" d'être développables à partir des mêmes valeurs; 2" d'avoir f [x^ y, . . .) pour dérivée première par rapport à X. U une quelconque des intégrales dont il s'agit se trouve entièrement déterminée si l'on se donne sa détermination initiale ô(y, ...); et, cette dernière étant arbitrairement choisie sous la seule restriction d'être développable à partir des valeurs y q^ . . . , l'intégrale correspondante ne peut manquer d'être développable

(') Suivant la locution admise, nous nommons intégrale de l'équation (i) toute fonction àt x, y, ... la vérifiant identiquement {voir plus loin, n» 89).

(^) Le sens de ces locutions sera généralisé ultérieurement (voir plus loin, n" 90).

dans Les limites où le sont à la fols : i° la déiivée donnée /(.y, y, . . .) ; 2° /a détermination initiale choisie 8 (y, . . .).

Enfin, ^ensemble des intégrales cherchées est donné par la formule

u=\}{x,y, ...)H-X(jK, ...),

OÙ U (^,y, . . . ) désigne l'une quelconque d^ entre elles, et 'k{y, . . • ) une fonction arbitraire des seules variables y, ... {développable à partir de y^^ . . .).

I. S'il existe quelque intégrale développable à partir de x^^ y^, . . . , elle vérifie, en vertu du n° 56, non seulement l'équation proposée (i), mais encore toutes celles qui s'en déduisent par différentiation, et l'on peut, grâce à cette circonstance, calculer tous les coefficients de la partie principale de son développement. Cette dernière se compose en effet de l'ensemble des termes contenant x — x^ à une puissance au moins égale à i, et le coefficient du terme en

(a7-iro)«+i(7-ro)*...

n'est autre chose, au facteur numérique connu près, que la valeur initiale de

dx"-^^ dy^ . . .

il suffit donc, pour obtenir cette valeur initiale, d'eff'ectuer sur l'équation (i) la diff'érentiation d'ordres partiels a, b, ..., puis de faire, dans le second membre de la formule résultante, l'hypothèse numérique

x — Xo = y—yo = ...= o.

Cela étant, je dis que la partie principale ainsi calculée admet les mêmes rayons de convergence que le développement de

Eff'ectivement, en vertu même du mécanisme à l'aide duquel nous avons construit cette partie principale, ses termes correspondent respectivement à ceux du développement de f{x, y, . . .), et, si Ton désigne par Aa^b,... la valeur que prend, au point (Xq, yo, . . .), la

dérivée

da+^+- /{x, r, . . .) dx^ ây^ ...

les deux séries dont il s'a^il ont respectivement pour termes généraux, la dernière

( T — j-o )« (r — ro)^

la première

'*'''•• i.-2...«(a-hi) 1.2. ..6 " '

le rapport de ceux-ci, ^ — — •**> ayant un numérateur indépendant de

aj bj ... avec un dénominateur au moins égal à i , la partie principale converge dans des limites aussi étendues que le développement de J{x, y, .,,) (n« 30) (n'^ 20, IV) (n" 21, II).

II. Si l'on désigne par P(j7, r, . . .) la somme de la portion de développement dont nous venons de démontrer la convergence, et qu'on lui ajoute une détermination initiale S(jk, . • •) arbitrairement choisie sous la seule restriction d'être développable à partir de r„ la somme

(2) M = P(^,JK, ...)-HÔ(jK, •...)

vérifie identiquement l'équation (i).

Efiectivement, il résulte du calcul même des coefficients de

P(x, y^ . . .) que la fonction -r— et ses dérivées de tous ordres

prennent, en .^0,^0? •••? les mêmes valeurs numériques que la fonction y(.r, y, . . .) et ses dérivées semblables : les deux fonctions

^' fi^i y- • -^ sont donc identiquement égales (n° 57).

La formule (2) donne d'ailleurs la solution générale du problème que nous nous sommes posé : car toute intégrale de (i) développable à partir de ^o,.Xoî • • • a nécessairement, comme nous l'avons vu (I), la fonction \?[x^y^ . . .) pour partie principale de son développement, et il suffit alors, pour faire coïncider le second membre de la formule {-a) avec l'intégrale que l'on considère, de prendre pour o(y, . , .) la détermination initiale de cette intégrale.

Enfin, il résulte de la formule (2) et du point précédemment établi (I) sur les rayons de convergence de P(j:, r, . . .) que le développement d'une intégrale particulière quelconque converge dans les limites indiquées par l'énoncé.

III. En désignant par l](x,y, . . .) une solution particulière quelconque du problème qui nous occupe actuellement, la solution générale, exprimée par la formule (2), sera tout aussi bien exprimée par la formule

OÙ )v(y, . . .) désigne une fonction arbitraire développable à partir de jKo. ••..

Effectivement, lJ{œ^y, . . .), étant une solution de (i), sera donné par la formule (2) pour un choix convenable de 8 (y, . . .), et l'on aura, par exemple,

U(;r,jK, ...) = P{x',y, ...)^g{y, . . .): la formule (3) peut donc s'écrire

(4) w-Pia7,7, ...)-i-^(jK, ...)^\{y, ...),

et, sous cette forme, il est facile de voir qu'elle équivaut entièrement à la formule (2); caria relation

^{y, ■'•} = giy, ...)-^\{y, ...),

obtenue en égalant les seconds membres de (2) et (4), permet de déterminer ô(j', . . .) quand on se donne X(j^, . . .), et réciproquement.

77. La connaissance d'une intégrale particulière quelconque \]{x^y, ...) de l'équation (i), qui permet, comme nous venons de le voir, d'écrire la formule générale d'intégration, permet aussi de calculer l'intégrale particulière qui, par rapport aux valeurs initiales •^o^JKo? ••• des variations indépendantes, admet une détermination initiale donnée 8 (y, ...)(*).

Effectivement, la détermination initiale d'une intégrale de l'équation (i) n'étant autre chose que la fonction des variables y^ ... à laquelle elle se réduit pour x =^ Xq, la fonction X(y, . . .) qui figure dans la formule (3) devra vérifier la relation

( ' ) Il va sans dire que les fonctions U {x, y, . . .), 6 (y, . . .) sont supposées développables, l'une à partir de a^o, y^, . . ., l'autre à partir de y^,

d'où l'on lire

Si l'on considère, nolamnient, l'intégrale particulière dont la détermination initiale est identiquement nulle, ou en d'autres termes celle qui s'annule identiquement pour la valeur initiale .Xq de x, elle sera donnée par la formule

11 ne faut pas perdre de vue (76, I) que le développement de cette dernière intégrale à partir de Xq^Vq, ...peut se déduire du développement similaire du second membre de l'équation (i) en augmentant d'une unité, dans chaque terme, l'exposant de ^ — Xq, puis divisant le terme dont on s'occupe par cet exposant ainsi augmenté; il converge d'ailleurs dans les mêmes limites.

78. On nomme quadrature l'opération qui consiste à rechercher, soit la solution générale du problème posé au n*^ 76, soit la solution particulière qui admet une détermination initiale donnée; la quadrature est dite relative à telle ou telle variable, suivant que la dérivée première que l'on suppose donnée intéresse telle ou telle variable. En vertu des n"* 76 et 77, toute quadrature se ramène à la recherche d^ une solution particulière quelconque d^ une équation de la forme (i).

Etant donnée une fonction f [x^ y, . . .), développable à partir des valeurs initiales Xq, y^^ . . ., si Von effectue successivement sur cette fonction diverses quadratures, en ayant soin que le résultat de chacune déciles s'annule pour la valeur initiale de la variable qu'elle intéresse, le résultat final est indépendant de V ordre dans lequel les quadratures ont pu être exécutées.

Si l'on désigne en effet par

le développement de f{x^y^ ...) à partir de Xq, y^, .

f(x, /, . . .) on effectue dans un ordre quelconque m quadratures

relatives k Xy n relatives à y, etc., en se conformant chaque fois à la

condition initiale imposée, on aura (n" 77) pour résultat final

Il va sans dire qu'en désignant par F(^, y, . . .) la somme de ce dernier développement, on a identiquement

da?'" ây" . . .

car la dérivation d'ordres partiels m, n, ..., exécutée sur (6), fait retomber sur (5).

Fonctions schématiques et coupures; propositions relatives aux coupures.

79. L'expression la plus générale d'une fonction de ^^y, ... développable à partir de ^o^ JKo? - • - •> valeurs particulières quelconques de ces variables (n^ 76), s'obtient évidemment par la considération d'une série entière en ^ — ^o-, y — JKo? • • • dont tous les coefficients sont arbitraires, et soumis, dans leur ensemble, à la seule restriction de la convergence. Un pareil développement, à coefficients tous indéterminés, constitue ce que nous nommerons une fonction (développable) schématique àe x^ y^ . . . , ayant pour ternies élémentaires les termes mêmes du développement; si, comme cas extrême, le nombre des variables indépendantes se réduit à zéro, le développement se réduit à une simple constante schématique, que nous assimilerons souvent, pour l'uniformité du langage, à une fonction schématique dégénérée.

Il importe d'observer que, si quelques-uns des coefficients (fût-ce même un seul) viennent à être remplacés par des valeurs numériques particulières au lieu de rester arbitraires, le développement considéré cesse par là même d'être une fonction schématique ; c'est ce qui arrive, notamment, si l'on en supprime un ou plusieurs termes élémentaires.

Si, dans une question où les variables indépendantes sont J^, y, • • • , on est conduit à considérer une fonction schématique de quelquesunes de ces dernières, celles d'entre les différences x — ^o, y — y^^ ... dont la fonction schématique ne dépend pas lui seront dites étran-

gères : si, notamment, la fonction schématique est dégénérée, les ditlerences x — x^, y — y^^, . -- lui sont toutes étrangères; si elle dépend de toutes les variables x^ r, . . . , aucune des différences dont il s'agit ne lui est étrangère.

Considérons actuellement g fonctions schématiques (dégénérées ou non) de telles ou telles des variables ^, JK, • • • , et indiquons, suivant les conventions ordinaires de l'écriture algébrique, en premier lieu, que chacune d'elles doit être multipliée par tel ou tel monôme, entier en x — x^^ y — y^y . . . , ayant pour coefficient l'unité (avec un degré positif ou nul); en second lieu, que ces g produits doivent être ajoutés les uns aux autres : nous aurons ainsi une expression de la

forme

où rtrt, bni . . . désignent des entiers positifs ou nuls, 8^ un groupe de variables indépendantes 'extrait du groupe total x^ y^ . . ., et Fe^ une fonction schématique des seules variables Ô,/. Une pareille expression portera le nom de somme schématique, et, parmi les divers facteurs qui concourent, comme il vient d'être dit, à sa formation, nous distinguerons, d'une part, les g facteurs schématiques

F6,, F,,, ..., Fô,, d'autre part, les g facteurs monômes correspondants

(a? — j?o)"»(jK— 7o)''^..-,

{x—a;^,)^s{y—yo)^s....

Les termes élémentaires de la somme seront les produits partiels qu'on obtient, sans réduction des termes semblables, en multipliant les termes élémentaires de tout facteur schématique par le facteur monôme qui lui correspond; dans le cas où les produits partiels dont il s'agit sont tous dissemblables, la somme schématique sera dite irréductible. Enfin, les termes schématiques de la somme seront les g produits

(X — Xo/^M^r—Jo )*"... Fo„ (/i = I, 2, ..., g),

IQl8 CEIA PITRE V.

dont chacun fournit tout un groupe de termes élémentaires; un terme schématique sera dit dégénéré, si le facteur schématique qui y figure est lui-même dégénéré, et il ne fournira alors qu'un seul terme élémentaire de la somme.

Par exemple, dans la somme schématique (irréductible)

où ¥{y^ z)^ H(^) désignent deux fonctions schématiques, il y a deux termes schématiques qui sont

ces termes contiennent respectivement les deux facteurs schéma-.

tiques

et les deux facteurs monômes

(dont le premier est de degré zéro). Quant aux termes élémentaires, les uns proviennent du premier terme schématique F(y, 5), et sont de la forme

OÙ Afn^n désigne une constante arbitraire (ou schématique); les autres proviennent du deuxième terme schématique (x — Xq) H(:r),

et sont de la forme

Bp(x — Xo)P+' (P^o),

où B^ désigne une constante arbitraire.

Dans la somme schématique (irréductible)

Fo{z) -^ {x — xo) Fi{z) ^ (X — xo^ Hoix)

^ (x — xo)^ (z — zo) Hi{x) -h Aoiy ~ yo) -i- Xi{x — xo) (y —yo),

OÙ Fq{z)^ F, (^), Ho(jc), H,(^) désignent des fonctions schématiques, et A^), A, des constantes schématiques, il y a six termes schématiques qui sont

Fo(-s), (x — Xo)Fi{z), {x — Xoy-no(x), (x — Xoy(z — Zo)iii(x), Ao(jK— jKo), Ai(x — x^) (y —yo);

ces termes contiennent respectivement les six facteurs scliéma-

liques

Fo(5), F, (5), Ho(>), Hi(a7), Ao, A,

(dont les deux derniers sont dégénérés), et les six facteurs monômes

I, x — x», (x — x^y, {x — XQj^iz — z^), y—j'o, (■^ — ^o)(y—ro).

(dont le premier est de degré zéro). En ce qui concerne les termes élémentaires, les quatre premiers termes schématiques de la somme nous fournissent respectivement les quatre groupes

C„(x-Xo)(z-z,y^ (n^o),

D,,(x — Xo)P^- (P^o),

L^(x — Xo)i-^i(z-Zo) (q^o),

OÙ B,„, Crt, D^, Lj désignent des constantes arbitraires; quant aux deux derniers termes schématiques,

A«(r — ro), ^1(^ — ^0) (r—yo),

qui sont dégénérés, ils sont en même temps des termes élémentaires de la somme.