On dit qu'un monôme

\(x — Xo)''(y—yo)'^'-',

entier par rapport aux diflerences x — ^oj y — Xoy • •? est divisible par un monôme de même espèce,

klix — x^)^' iy—y^)'^' ...,

si aucune des différences

n'est négative. 11 est clair que, si un premier monôme est divisible par un deuxième, et celui-ci divisible par un troisième, le premier l'est forcément par le troisième : car, en désignant par

les exposants de x — Xq^ y — j),,, ... dans les trois monômes res- H.

l3o CHAPITRE V.

pectifs, les relations évidentes

[i- [î"=([i;i') + (rj' [3"),

qui ne contiennent, par hypothèse, aucune différence négative dans leurs seconds membres, ne peuvent non plus en contenir aucune dans leurs premiers membres.

Gela posé, considérons, d'une part, une fonction schématique de ^, y, . . ., d'autre part, un ensemble E, formé avec des monômes entiers par rapport à x — Xq^ JK--JK05 •••1 ^l^i présentent tous un degré supérieur à zéro, aient pour coefficient l'unité, et soient en nombre essentiellement limité : si, dans le développement de la fonction schématique, on supprime tous les termes élémentaires qui admettent pour diviseur quelqu'un des monômes de l'ensemble, la portion restante du développement se nommera le résidu de la coupure E, pratiquée dans le développement total.

On peut évidemment, sans changer le résidu, supprimer de l'ensemble E tout monôme qui admettrait pour diviseur quelque autre monôme du même ensemble : en opérant les suppressions de ce genre jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus de possible, on tombe finalement sur un ensemble que nous qualifierons d^ irréductible. D'après cela, si, dans une fonction schématique de x, y, . . ., on se propose d'opérer une coupure à l'aide d'un ensemble donné, celui-ci, moyennant la suppression éventuelle de quelques-uns des monômes qui le constituent, peut toujours être supposé irréductible.

Enfin, les monômes de l'ensemble donné étant tous, par hypothèse, de degré supérieur à zéro, si, comme nous allons en démontrer la possibilité, on met le résidu de la coupure sous la forme d'une somme schématique irréductible, l'expression ainsi obtenue, dont tous les facteurs monômes sont nécessairement distincts, en contiendra un, et un seul, de degré zéro.

81. Si, dans une fonction schématique, on se propose d'opérer une coupure à l'aide d'un ensemble E, l' application d' un procédé tout élémentaire (dont l'indication se trouve contenue dans la démonstration ci-après) fournit pour le résidu une somme schématique irréductible (n"" 79 et 80).

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES. l3l

1. Par rapport à un ensemble donné E, on peut partager les variations indépendantes en deux g^roupes, suivant qu'elles figurent effectivement ou non dans l'ensemble dont il s'agit. Supposons, pour fixer les idées, que le premier groupe comprenne trois variables x^ y, ^, et le second deux variables s^ t.

Cela étant, le monôme

(I) {X - xo)^ ( r -ro )? (5 - -o)Y (s ^s,)\^(t- hr

est divisible par quelqii un des monômes de V ensemble E, ou bien n'est divisible par aucun d^eux^ suivant que le monôme

(a) (ar — JTo)» (y -y,)^ {z - z,)^

possède lui-même l'une ou Vautre propriété. Soient en effet

^ {X- x„)«.(jK— ro)P>(--2o)ÏS (3) • (x-x,:)'^^(y—yQ)%(z — ZQ)'{>,

les divers monômes de l'ensemble E. Pour que le monôme (i) ne soit divisible par aucun des monômes (3), il faut et il suffît que chacune des lignes horizontales

a — a,, [i — >i, Y — Ti5 [^ — o, v — o, a — «2, 'i — %, Y — Y2, fJ- — o, V — o,

contienne au moins une différence négative, c'est-à-dire, puisque les quantités |jl — o, v — o sont positives ou nulles^ que chacune des lignes horizontales

a — a,, [i — .3,, Y — ïi' a — aj, '^ — % Y — Y2»

contienne au moins une dillérence négative. Or, c'est précisément la condition nécessaire et suffisante pour que le monôme (2) ne soit divisil>le par aucun des monômes (3).

D'après cela, si l'on pratique la coupure E, d'abord dans le développement d'une foncticm schématique de .r, y, s, puis dans le développement d'une fonction schématique de x^ jk, 2, s^ i, le second résidu pourra se déduire du premier en y remplaçant le coefficient de

l32 CHAPITRE V.

chaque terme élémentaire par une fonction schématique de 5, t. On pourra donc, pour mettre le résidu de la coupure sous la forme d'une somme schématique irréductible, procéder exactement comme si les variables 5, t n'existaient pas : on aura soin seulement, le problème une fois résolu dans ces conditions, de considérer chacun des facteurs schématiques de la somme comme dépendant non seulement de celles d^ entre les variables x^ y, z qui entrent visiblement dans son expression, mais encore de s^ t\ les constantes schématiques, notamment, devront être considérées comme des fonctions schématiques de 5, t.

II. Notre proposition est exacte si V ensemble^ ne dépend effectivement que d'une seule des différences obtenues en retranchant de chaque variable sa valeur initiale.

Si, désignant les variables indépendantes par x^ y, ... et leurs valeurs initiales par Xq^ ya^ . . ., on suppose, pour fixer les idées, que X — Xq soit la différence dont il s'agit, l'ensemble E, rendu irréductible (n" 80), se compose nécessairement d'un monôme unique tel que [x — XqY^ où a est > o. En faisant provisoirement abstraction, comme il est dit dans l'alinéa I, des variables autres que x^ le résidu a manifestement pour expression

AoH- Ai(a7 — ^0) + A2(a7 — ^0)^ + . . .-1- ^ol-\{x — -"Z^o)^"',

où Ao, A,, Ao, ..., Aa i désignent des constantes schématiques : il ne reste plus alors qu'à remplacer ces constantes par autant de fonctions schématiques,

Fo(7, ...), F,(j, ..,), ¥,{y,,..), ..., Fa-i(r, •••),

des variables autres que x^ et l'on tombe ainsi sur la somme irréductible

(4) Fo(jK, ...) + (^-^o)F,(7, ...)^{x-x,Y¥^{y, ...)+...

III. Si notre proposition est exacte dans le cas oii l'ensemble donné ne dépend effectivement que de k difféiences^ y — y^^ . . .y elle l'est encore dans le cas oii il dépen I, en outre^ d'une autre différence, x — x^^.

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES. l33

Le point à établir est évident, si l'ensemble E, une fois rendu irréductible, ne contient plus la différence x — Xq,

Si, même après cette réduction, l'ensemble E dépend de la différence X — x^^ désignons par a l'exposant maximum (> o) dont elle se trouve affectée dans l'ensemble, et partageons ce dernier en plusieurs autres,

E", El, E2, ..., Ea-i, E^,

suivant que, dans les divers monômes de E, la différence x — x^ figure avec l'un ou l'autre des exposants

En supposant, comme nous le faisons, que l'ensemble E ait été rendu irréductible, les monômes

x — xq, ix — x^y-, ..., {x — x^Y-^

sont absents des ensembles respectifs

(5) E», E2, ..., Ea-i,

sans quoi les termes de E* admettraient comme diviseur quelque monôme des ensembles (5); quant à l'ensemble E'^, il peut, suivant les cas, contenir ou non le monôme {^x — Xq)^. Cela étant, nous désignerons par

les ensembles respectivement déduits de (5) en remplaçant par zéro, dans chacun de leurs monômes, l'exposant de x — ^o? sans changer les exposants des autres différences; et, dans l'hypothèse où E^' ne contiendrait pas le monôme (^x — Xç^)^^ nous nommerons e^ l'ensemble déduit de E* par la même opération. En posant, pour raison de symétrie, <?»= E", il est clair que dans l'ensemble

figurent seulement k différences.

Supposons maintenant, comme nous y autorise la remarque de l'alinéa f, que la fonction schématique dans laquelle il s'agit de pratiquer la coupure E ne dépende que des k -\- i variables ^, y, . • ., et décomposons par la pensée le résidu delà coupure en divers tronçons comprenant : le premier, les termes élémentaires indépendants de

l34 CHAPITRE V.

X — Xq', le second, les termes élémentaires du premier degré en X — Xq\ le troisième, les termes élémentaires du second degré en X — Xq\ etc.; l'avant-dernier, les termes élémentaires de degré a — I en ^ — x^^\ et le dernier, tous les termes élémentaires restants, c'est-à-dire ceux qui sont d'un degré au moins égal à a par rapport à ^ — Xq. Le résidu pourra alors s'écrire

(6) To(jK, ...) + (^-^o)Ti(7, ,..)^{x-x,y'T^{y, ...)-^r... et si, dans cette expression, chacun des multiplicateurs

( T(57,JK, ...)

est mis sous forme d'une somme schématique irréductible, il en sera évidemment de même pour l'expression (6).

D'autre part, le développement total de la fonction schématique, partagé en tronçons comme le résidu, peut évidemment s'écrire

Fo(j, ...)^{x-x,)¥,{y, ...)^{x — x^Y¥.^{y, ...)+•.. ^ix-x,)^-^¥^-,{y, ...)^{x~x,)^¥{x,y, ...), où

Fo(j, ...), Fi(^, ...), F^Cjk, ...), ..-, F«-.,(r, •••), ¥{x,y, ...)

désignent des fonctions schématiques.

Or, considérons les deux monômes

(9) (r-yo/^..,

dont le second se déduit du premier en y remplaçant l'exposant a par zéro. Pour que le monôme (8) n'admette comme diviseur aucun des monômes de l'ensemble E, il faut et il suffit :

Si « = o, que le monôme (9) ne soit divisible par aucun des monômes de e^ ;

Si a = I, que le monôme (9) ne soit divisible par aucun des monômes de [e<^, <?'];

Si rt = 2, que le monôme (9) ne soit divisible par aucun des monômes de [eo, e', e-];

Etc.;

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES. l35

Si « = a — I, que le monôme (9) ne soit divisible par aucun des monômes de [e*, e\e-, . .., e^~*].

11 suffira donc, pour connaître successivement

To(r, •••), T,(v. ..... T,(y,...), ..., Ta-i(7, ...).

de pratiquer, dans le développemenl d'une fonction schématique des seules variables ^, . . . , les coupures respectives

[eo]. [c», e>], [e«, e», e'J, ..., |>o, e», e^ . . ., e»-!].

Reste à calculer T(j7, ^, . . .). Si l'ensemble E*^ contient le monôme (x — •^o)^i T(:c, y, . . .) est identiquement nul. Dans le cas contraire, on observera qu'en donnant à a une valeur quelconque supérieure ou égale à a et posant a — oL^^a'^ la condition nécessaire et suffisante pour que le monôme (8) ne soit divisible par aucun monôme de £ e^t que le monôme

ne le soit par aucun monôme de

Cio. [eo, g», e^, . .., e^c-i^ e* ] ;

en conséquence, il suffira, pour connaître T{x,y, . . .), de pratiquer la coupure (10) dans le développement d'une fonction schématique de toutes les variables x, y, ....

Ainsi, les expressions (7) proviennent toutes de coupures opérées à l'aide d'ensembles où figurent au plus /x différences; elles peuvent donc, en vertu de ce qui est admis, se mettre sous forme de sommes schématiques irréductibles, et il en est de même, par suite, pour l'expression (6).

IV. Le simple rapprochement des alinéas 11 et III suffit à établir l'exactitude de notre énoncé général.

82. Supposons que le résidu d'une coupure E, pratiquée dans le développement d'une fonction schématique de .x, y, . . ., ait été mis, d'une manière quelconque, sous la forme d'une somme schématique irréductible,

2(^--^or«(jK-jKoy'"...F6,

l36 CHAPITRE V.

(où a„, 6,/, ... désignent des entiers positifs ou nuls, %, un groupe de variables extrait du groupe total ;r, y, . . ., et Fq^ ime fonction schématique des seules variables 9,,); puis, désignons par cl),^ le groupe de variables complémentaire du groupe 8,,, c'est-à-dire tel que l'ensemble de ces deux groupes reproduise une fois et une seule chacune

des variables indépendantes ^, JK,

Cela posé, si, considéj^ant le développement schématique total de notre fonction, on en prend (conformément à la règle du n° 53) la dérivée d'ordres partiels an^ 6,/, ..., et qidon attribue ensuite aux variables du groupe w„ leurs valeurs initiales, on tombe sur un développement, ^rj , Jie dépendant évidemment, comme Fq^^, que des seules variables du groupe ^n- Je dis que ces deux développements, Fq,,, <I>e,^, peuvent se déduire V un de Vautre par des dérivations ou des quadratures (n° 78) (exécutées conformément aux règles des n"^ o3 et 77), et que la convergence du premier dans certaines limites entraîne celle du second dans les mêmes limites, et réciproquement.

I. Si une série, ayant pour termes certains monômes entiers et dissemblables en x — Xq^ y — jKo? ••• « coefficients arbitraires, contient en facteur dans tous ses termes le monôme

et si l'on effectue sur elle (conformément à la règle du n" 53) la dérivation d'ordres partiels a.,i^ bn-, . . ., il suffit, pour remonter du développement ainsi obtenu au premier, d'effectuer sur lui (conformément à la règle du n" 77) an quadratures relatives à .r, bn relatives à y, etc., en ayant soin que le résultat de chaque quadrature s'annule pour la valeur initiale de la variable qu'elle intéresse (n« 78).

Cette remarque, qu'on vérifie sans peine pour un terme quelconque du développement donné, s'applique par là même au développement tout entier.