II. Revenons à notre énoncé général

Si un terme élémentaire du développement de notre fonction schématique ne contient pas en facteur

(12) {x-x^Yn{y-y^)bn...^

FONCTIONS SrHÉMATIQLJ:S ET COUPURES. iSy

la dérivation d'ordres partiels a,iy bni • . ., exécutée sur le terme dont il s'agit, donnera pour résultat zéro. Si un terme élémentaire du même développement contient en facteur le monôme (12), et si, abstraction faite de ce facteur, il dépend de quelqu'une des variables du groupe ci>„, la dérivation d'ordres partiels a„, è„, . . ., puis l'attribution dans le résultat aux variables co,/ de leurs valeurs initiales, donneront encore un résultat nul. Il suffit donc, pour etTectuer l'opération indiquée par l'énoncé, de considérer, dans le développement de notre fonction schématique, l'ensemble des termes élémentaires qui contiennent en facteur le monôme (12), et qui, abstraction faite de ce facteur, dépendent des seules variables G,/. Or, les termes dont il s'agit sont précisément ceux que contient l'expression

car, s'il en existait d'autres dans la portion de développement que représente l'expression (i 1), cette dernière, contrairement à notre Hypothèse, ne serait pas irréductible; et, s'il en existait d'autres dans la portion restante, les deux portions contiendraient des termes élémentaires respectivement semblables, ce qui est absurde.

Il suffit donc, pour passer de Fq,, à <ï>0 , de multiplier F^^ par le monôme (12) et d'exécuter sur le produit la dérivation d'ordres partiels an, b„, Inversement (I), pour passer de 0 ^^ à Fo„, on exécutera, sur ^fj , a„ quadratures relatives à ^, b,i relatives à y, etc., en ayant soin que le résultat de chaque quadrature s'annule pour la valeur initiale de la variable qu'elle intéresse ; puis on supprimera, dans la série ainsi obtenue, le facteur commun (12).

Dans le cas où le monôme (12) ne contient effectiçement aucune des variables hn, il est clair que les deux développements Fq , <Ï>q^ ne diffèrent l'un de l'autre que par un simple facteur numérique, et qu'on a

^On = I . -2 . . . a„ X 1 . 2 . . . 6,t X . . . X F6„.

83. Supposons que, dans une question quelconque, a désigne une fonction inconnue des variables ^, jr, ..., assujettie, entre autres conditions, à être développable à partir des valeurs particulières .Tq, Vo, ...; tous les coefficients du développement étant, jusqu'à nouvel ordre, indéterminés, ou, en d'autres termes, le développement étant, jusqu'à nouvel ordre, schématique, désignons par E un ensemble

i38 chapitriï: v.

donné, et considérons le résidu de la coupure pratiquée dans le développement à l'aide de E (n" 80); supposons enfin que, parmi les coefficients, jusqu'ici tous indéterminés, du développement de u^ ceux du résidu soient assujettis à avoir des valeurs numériques assignées d'avance (et choisies de telle façon que le résidu soit convergent). Gela étant, si le résidu, considéré d'abord schématiquement, a été mis sous la forme d'une somme schématique irréductible telle que (il), la donnée dont il s'agit pourra se formuler des deux manières suivantes :

Ou bien on se donnera (numériquement, comme il vient d'être

dit) les g fonctions

Fo,, F6„ ..., Fo^„,

qui figurent (schématiquement) dans l'expression (i i) ; Ou bien, faisant successivement

on se donnera (numériquement) la fonction des variables 8;^ à laquelle se réduit

par l'attribution aux variables w,; de leurs valeurs initiales.

Moyennant le recours éventuel à des quadratures, cette seconde donnée est, comme nous venons de \eyo\Y [n'' ^^)^ entièrement équivalente à la première, et se compose de développements convergeant respectivement dans les mêmes limites.

Par exemple, si l'ensemble E se réduit au monôme unique {x — x^^^ (où a est >> o), la donnée, dans une question quelconque, de la portion du développement de u qui résulte de la coupure E, pourra se formuler : soit par celle des a fonctions

Fo(r, ...), Fi(j., ...), F2(jK, .,.), ••., Fa-i(r, ..•),

qui figurent dans la formule (4); soit par celle des a fonctions àe y^ ... auxquelles se réduisent respectivement

du iP- u da-i u

' âx âx^ ôx^

pour X = Xq.

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES. l3g

8i. Appliquons cette méthode à quelques exemples.

I. Considérons une fonction, provisoirement schématique, ?/, des variables x^ y^ z, . . . , et un ensemble E composé du seul monôme

où a et 3 sont l'un et l'autre supérieurs à zéro.

En adoptant les mêmes notations qu'à l'alinéa 111 du n°81, on voit que les ensembles E**, E*, . . ., E^~* n'existent pas, et que l'ensemble E^ se réduit à (x — Xo)^(y — JKo)^; 4"^? P^r suite, les ensembles e^^ e', .. ., e^~* n'existent pas, et que l'ensemble e°' se réduit à (y — jKo)^- Si donc, dans l'expression (6), on fait abstraction du dernier terme, les coefficients des puissances successives de ^ — Xq dans les a termes qui précèdent se réduisent à de simples fonctions schématiques des

seules variables y, z, Quant au coefficient de (x — Xq)'^ dans le

dernier terme, il s'obtiendra en pratiquante coupure (y —yo)^ dans le développement d'une fonction schématique de toutes les variables x,y, Zj Il vient ainsi (n" 81, 11), pour l'expression (6),

-h(:C — a7o)«[Ho(a7, z, ...)-|-(j^.jKo)Hi(a7, z, ...)+ ..•

+ (r-ro)P-iHp i(x,^, ...)], c est-a-dire

-f-r:r-;ro)aHo(^,^, . . .) 4- (^r — ^o)^ (r -Jo) Hi(a^, ^, ...)+..• ^(x-a;o)^(r—yofi-'li^-i(x,z, . . .),

OÙ Fo, F,, ..., Fa i désignent des fonctions schématiques de jk, z, .. ., et Ho, H<, . . ., Hp, des fonctions schématiques de x, z,

Cela étant, la donnée (numérique), dans une question quelconque, de la portion du développement de u qui résulte de la coupure E, pourra se formuler :

Soit par celle des a H- j3 fonctions

Uoix, z, ...), lli(a;, z, ...), ..., Hp i(a7, z, . . .),

qui figurent (schématiquement) dans l'expression (i3) ;

Soit par celle : i° des a fonctions de y, z, ... auxquelles se

l40 CHAPITRE V,

réduisent respectivement

du ()°'-i u

pour ^ =: Xq ; 2" des ^ fonctions àe x^ z, ... auxquelles se réduisent respectivement

dx^ dx^ dy dx^ dyP-i

pourjK=ro-

Il est clair qu'en permutant, dans l'opération précédente, les rôles respectifs des variables x et y, on arrivera, pour la portion considérée du développement de u^ à la forme schématique

(l4) Po(^,^, ...) + (jK— JKo)Pi(^, -, ...)-h...+ (jK~7o)^*-' P^-i(^, ^, ...)

-+- {y -ro)P Qo(r. ^, . . .) + (r - jo)^ (^ - ^o) Qi(r, -, ...)+...

Dans une question quelconque, la donnée (numérique) de cette portion de développement pourra donc encore se formuler : Soit par celle des a + j3 fonctions

Qo(jK,^, ...), Qi(jK,-, ...), •••» Qa-i(jK5-, ...).

qui figurent (schématiquement) dans l'expression (i4);

Soit par celle : 1'' des [j fonctions de ^, :3, ... auxquelles se réduisent respectivement

du d^-^ Il

dy dy^-

pour y = yo5 2" des a fonctions de j^^y 5, . . . auxquelles se réduisent respectivement

dy^ dy^ dx dy^ âx^-'^

pour^ = :ro.

II. Considérons une fonction, provisoirement schématique, w, des trois variables x\y, z, et un ensemble E composé du seul monôme

(i5) (a; — xo)(y—y(,)(z — Zo).

En adoptant les mêmes notations qu'à l'alinéa III du n'' 81, on voit que a = I , que l'ensemble E^ n'existe pas, et que l'ensemble E*^

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES. l4l

OU E' se réduit au monôme (i5); que, par suite, l'ensemble e'^ ou <?' se réduit au monôme (r — jKo) (^ — ^o)- Dans la formule

(i6) ToC^-, 5)-+-(^r--.ro)T(a7, j, 5),

l'expression To(^, 5) se réduit donc à une fonction scliématique des seules variables y et s, et l'expression T(^, y^ z) s'obtiendra en pratiquant la coupure (y — yo) (^ — ^o) dans le développement d'une fonction schématique des trois variables ^, jr, ^ : on a ainsi, conformément à l'exemple I,

T(a;,y, z) = U(x, z) -^ (y - yo)K(x, y),

et la formule (16) devient alors

(17) F(y, z)-h(T — To)U{x, 5)-f-(.r — a7o)(jK— 7o)K(.r,7),

OÙ ¥(y,z)j H(,r, z), K(x,y) désignent trois fonctions schématiques.

Cela étant, la donnée (numérique), dans une question quelconque, de la portion du développement de a qui provient de la coupure E, pourra se formuler :

Soit par celle des trois fonctions F(jk, z), H(x, 2), K(^, y)^ qui figurent (schématiquement) dans l'expression (17);

Soit par celle : i" de la fonction de j et ^ à laquelle se réduit u

pour jT ^ Xq; 2" de la fonction de :r et ^ à laquelle se réduit — - pour y=yo] 3" de la fonction de ^ et jk à laquelle se réduit pour

z = Zq.

En permutant d'une façon quelconque, dans l'opération précédente, les rôles respectifs des trois variables x, j', z^ on arrivera, pour la portion considérée du développement schématique de u, à une forme se déduisant de (17) par la permutation dont il s'agit. Comme il existe six permutations de trois objets, on obtiendra en tout six formes, de chacune desqiielles on déduira, comme ci-dessus, deux manières de formuler la donnée de cette portion de développement.

III. Si l'ensemble E se compose exclusivement de monômes du premier degré, par exemple

l42 CHAPITRE V.

il est clair que la portion du développement schématique de u qui résulte de la coupure E se réduit à une fonction schématique des variables autres que x el y, \a donnée (numérique), dans une question quelconque, du résidu de cette coupure, se formulera donc par celle de la fonction à laquelle se réduit u pour

x — X(, = y—yo^o.

IV. Supposons que la fonction, provisoirement schématique, u dépende des trois variables x^ y, z^ et que l'ensemble E se compose des deux monômes

{x — Xçi){y—yQ), (x —Xo){z — z^).

En adoptant les mêmes notations qu'à l'alinéa III du n" 8i, on voit que a=i, que l'ensemble E^ n'existe pas, et que l'ensemble E'" ou E^ se compose des deux monômes ci-dessus ; que, par suite, l'ensemble e^ ou e^ se compose des deux monômes

(r8) y — y<i, z — zq.

Dans la formule (i6), l'expression To(.r,5) se réduit donc à une fonction schématique des seules variables y et z^ et l'expression T(^, y, z) s'obtient en pratiquant la coupure (i8) dans le développement d'une fonction schématique de x. y, 2; conformément à l'exemple III, T(.r, y, z) est alors une fonction schématique de la variable x, et l'expression (16) prend la forme

(19) ¥{y, z)-^{x — Xo)l\(x).

Gela étant, la donnée (numérique), dans une question quelconque, de la portion du développement de u qui résulte de la coupure E, pourra se formuler :

Soit par celle des deux fonctions ¥[y^z)^ W[x)^ qui figurent (schématiquement) dans l'expression (19) ;

Soit par celle : i" de la fonction de jk et 5 à laquelle se réduit u

pour X ^= Xq] 2" de la fonction de x à laquelle se réduit — pour

V. Supposons que la fonction, provisoirement schématique, u dépende des trois variables ^, y, z^ et que l'ensemble E se compose

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES. l43

des trois monômes

Dans le cas actuel, a est égal à i , l'ensemble E» se compose des deux monômes

(20) (r — vo)(- — -0), (7— ro)^

et l'ensemble E^' ou E' du monôme unique x — Xq] l'expression T(x,y, z) qui ligure dans la formule (16) est donc identiquement nulle, et l'expression To(y, z) s'obtient en pratiquant la coupure (20) dans le développement d'une fonction schématique des seules variables j' et z. En ordonnant Tensemble (20) d'après les degrés croissants de ses monômes relativement àjK — jKo? et appliquante méthode exposée au n" 81, on voit immédiatement : i" que l'expression To(y, z) est de la forme

So(z) -^ ( y -yo)Si( z) -^ ( y - yoï' S^(z) ^ (y - j,y S{y, z);

•2"* que S(^, z) est identiquement nul; 3^ que 80(5) est une fonction schématique de z; 4" que S,(^) et S2(^) s'obtiennent en pratiquant la coupure (z — Zq) dans le développement d'une fonction schématique de z, et se réduisent par conséquent à des constantes schématiques.

En définitive, on obtient, pour le résidu de la coupure E, l'expression

(21) F(-)-^-A(7-JKo)-i-B(JK-JKo)^

où A, B désignent deux constantes schématiques, et F(^) une fonction schématique.

Cela étant, la donnée (numérique), dans une question quelconque, du résidu de cette coupure, pourra se formuler :

Soit parcelle de la fonction F{z) et des deux constantes A, B, qui figurent (schématiquement) dans l'expression (21);

Soit par celle : i" de la fonction de z à laquelle se réduit 11 pour

2" des valeurs numériques auxquelles se réduisent respectivement ^

^^ JJyz ^^^^^^ ^^ 'A'^^i^'hue simultanément à toutes les variables leurs valeurs initiales Xq, yQ, Zq.

l44 CHAPITRE V.

VI. Supposons que la fonction, provisoirement schématique, u dépende des trois variables x^ y, z^ et que l'ensemble E se compose des quatre monômes

{x — x^y-iz — z^Y, {x — x^Yiy—y^), (jK — ^o) (- — -o), (y— .ro)'-

En ordonnant l'ensemble E d'après les degrés croissants de ses monômes relativement ky — y^^ on obtient les trois ensembles

(x -xoy-ix -yo), (z — ^o)(r— ro),

(7-roy^

Le résidu de la coupure E est donc de la forme

T,(x, z) .-^ (y -yo)T,(x, z) ^ (y - yoyT{x, y, z),

et l'on voit, par l'application de notre méthode : i" que T(.r,y, z) est identiquement nul; 2^ que To(x, z) s'obtient en pratiquant la coupure {x — ^0)' (^ — ^0)" dans le développement d'une fonction schématique des seules variables .r et ^; 3" que T,(j?, z) s'obtient en pratiquant la coupure

(x — xoy{z — z^y, (x — xoy, z — zo,

ou, ce qui revient au même (n" 80), la coupure

(x—x^y, Z—Zo

dans le développement d'une fonction schématique des seules variables œ et z.

En calculant, d'après cela, les expressions

To(x,zy T,(x,z),

on trouvera : i*^ qu'elles ont respectivement les formes

To(x, z) — So(z) -+-(x — Xo) Si(2) -+'(x — Xoy S(x, z), Ti(x, z) = l]o(x) -h(z — Zo)\](x, z);

2" que l]{x^ z) est identiquement nul, que S(Xj z) s'obtient en pratiquant la coupure (s — ::o)" dans le développement d'une fonction schématique de x et s, que So(-) et 81(5) sont des fonctions schématiques de z^ et que [Jq{x) s'obtient en pratiquant la coupure (x — ^0)^ dans le développement d'une fonction schématique de x.

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COLl'URES. l/\5

Jl \ienl ainsi

-4- (a: — Xo)- Ho(^) -i- (.r — .ro)2 (^ — «o) Hi(:r), Ti(a", z)= Ao-+- A,(ar — a-o),

OÙ Ao, A| désignent des constantes schématiques, et Fq(3), F, (^), Ho(.r), H,(^) des fonctions schématiques; on en déduit, pour le résidu de la coupure E, l'expression

(•î3) Fo(z)-^(x — Xo)[^i{z)-h(x — Xo)^Uo(x)

-H (x - xoy- (z — zo) Uiix) -f- Ao(7 — jKo) -H Ai(^ — x,;)(y—yo)'

En conséquence, la donnée (numérique), dans une question quelconque, du résidu de cette coupure, pourra se formuler :

Soit parcelle des quatre fonctions Fo(^), F^(z)J Ho(^), H, (.x) et des deux constantes Aq, A,, qui figurent (schématiqiiement) dans l'expression (23);

Soit par celle : i" des deux fonctions de z auxquelles se réduisent

respectivement u et — pour

x — x^ = y — XQ=o; ■a" dt.«> deux fonctions de x auxquelles se réduisent respectivement U^^^'li^^^z^'''''^

.r—ro== -5 = ^0 = 0;

3" des deux valeurs numériques auxquelles se réduisent respective-

^ Ou O^u , , -1 • I ,

ment —et lorsqu on attribue simultanément a toutes les va-

riables leurs valeurs initiales ,2^07 JK07 ^o-

Le calcul de l'expression To(^, z) s'effectue, comme nous venons de le voir, en pratiquant la coupure (x — .Tq)- (z ~ Za)- dans le développement d'une fonction schématique de x et z, et Ton tombe ainsi sur l'expression (22). Or, il est clair qu'en permutant, dans cette opération, les rôles respectifs des variables x et :;, on obtiendra

To(x, z) = V^iix) -}-(z~ Zo)Vi(x)

-+- rc - Co)' Qo(^) -H (5 — -o)M^ - -^o) Qi(^j.

l46 CUAPITHE V.

Le résidu de la coupure E peut donc aussi se mettre sous la forme

(24) Po(^) -H (^ - 2«) Pi(^) -+- (^ - ^o)2 Qo(-S)

-^(z- Zo)Har — x^,)Q^{z)-+-^o(y—yo)-^^l{^--^o){r—yo),

OÙ Ao, A, désignent deux constantes schématiques, et Po(a7), Pi (^), Qo(2), Qi (^) quatre fonctions schématiques; et, en conséquence, la donnée (numérique), dans une question quelconque, du résidu de cette coupure, pourra encore se formuler :

Soit par celle des quatre fonctions Po(:r), P^(x), Qo(s), Qi (-î) et des deux constantes Aq, A,, qui figurent (schématiquement) dans l'expression (24) ;

Soit par celle : 1° des deux fonctions de x auxquelles se réduisent

du respectivement u et j- pour

r — ro = 5 — ^0 = o ;

2" des deux fonctions de z auxquelles se réduisent respectivement 3° des deux valeurs numériques auxquelles se réduisent respeclive-

du d'^U ^ 1 •! • ^ r •> I

ment -^ et - — r— lorsqu on attribue simultanément a toutes les va-

oy Qx ay ^

riables leurs valeurs initiales Xq^ y^^ z^.

80. Un ordre déterminé quelconque, par exemple l'ordre x^ y, z^ ..., ayant été adopté pour les variables indépendantes, il résulte dé notre démonstration du n*' 81 que, pour effectuer une coupure à l'aide d'un ensemble de monômes entiers par rapport aux différences

on se trouve ramené à en opérer un certain nombre d'autres à l'aide d'ensembles indépendants de x — Xq\ que, pour effectuer chacune de celles-ci, on se trouve ramené à en opérer un certain nombre d'autres à l'aide d'ensembles indépendants de x — ^q-, y — ya] et ainsi de suite; et que, finalement, on se trouve conduit à effectuer des coupures à l'aide d'ensembles indépendants de toutes les différences qui précèdent la dernière. Lorsque l'opération suit la marche

régulière que nous venons de décrire, nous dirons, pour abréger, (^iveWe est ordonnée par rapport aux variables, considérées dans

l'ordre x^ y^ z,

Cela étant, toute somme schématique provenant de i opération ordonnée que nous venons de décrire satisfait nécessairement à la condition suivante :

Si l'on considère les divers produits obtenus en multipliant l'un quelconque des facteurs monômes de la somme schématique par l^ une quelconque des différences étrangères au facteur schématique {dégénéré ou non) qui lui correspond (n" 79), et si Von partage ces produits en deux groupes suivant qu'ils sont, ou non, semblables à des termes élémentaires du résidu, le premier groupe reproduit, sans omission ni addition, les divers facteurs monômes qui, dans la somme schématique, ont un degré supérieur à zéro, et le second contient, entre autres monômes, tous ceux dont se compose l'ensemble E quand on l'a rendu iiréductible.

I. Si, désignant par E et L deux ensembles quelconques (dont l'un ou l'autre peut faire défaut, ou qui peuvent même faire défaut tous deux), on opère sur une fonction schématique, par une méthode quelconque, d'abord la coupure E, puis la coupure (E, L), il est clair, à ne considérer que les termes élémentaires (n° 79) des deux résidus, qu'on passe du premier au second par la suppression de certains d'entre eux.

Cela étant, si les deux coupures E et (E, L) ont été successivement exécuLées en adoptant pour les variables un même ordre quelconque {voir le début du présent n' 80), ceux des facteurs monômes de la /jremière somme schématique qui. sont semblables à des termes élémentaires de La seconde ne peuv^ent manquer d'être des facteurs monômes de la seconde.

A. Le point à établir est exact si l'ensemble E fait défaut, ce qui se produit, notamment, si l'ensemble (E, L) fait défaut.

Car notre méthode nous donne alors, pour le résidu correspondant à E, la fonction schématique même dans laquelle il s'agissait de praliquer une coupure, c'est-à-dire une somme schématique composée d'un terme unique où le facteur monôme est de degré zéro; et nous savons d'ailleurs, en vertu d'une remarque faite plus haut (n" 80),

l48 CHAPITHE V.

que ce même facteur monôme figurera nécessairement dans la somme schématique obtenue par la coupure (E, L).

B. Le point à établir est exact si l'ensemble (E, L) ne dépend que d'une seule différence, x — Xq.

Si l'ensemble E fait défaut, cela résulte de A .

Dans le cas contraire, l'ensemble E, rendu irréductible, se compose d'un monôme unique tel que [x — oc^Y^ où a est >>o, et Ton a, pour le résidu correspondant, l'expression

FoH- (^ -- ;ro) Fi -H. . . -+- (.2- - ;ro)«-' Fa„

où Fo, F,, . . . , Fa. 1 désignent des fonctions schématiques dont chacune dépend de toutes les variables autres que x. — Si l'on passe maintenant à l'ensemble (E, L), ce dernier, rendu irréductible, se compose d'un monôme unique, (^x — -^^o)"^? où ^ désigne un entier supérieur à zéro et au plus égal à a, et l'on aura, pour le résidu correspondant, l'expression

Ho H- (a? — ;z-o) Hi-l-. ..-+- (37 — a?o)^*~'Hp,,

où Hc, H,, . . ., Hp, désignent des fonctions schématiques dont chacune dépend de toutes les variables autres que x. — On voit donc que les facteurs monômes

(x — x^f, {x — Xq)\ ..., (x — x^)^-'^

du premier résidu figurent comme tels dans le second; quant aux facteurs monômes restants (s'il y en a) du premier résidu, ils ne sont semblables à aucun des termes élémentaires du second.

C. Si le point à établir est exact dans le cas où l'ensemble (E, L) dépend des k dernières différences, il l'est aussi dans le cas où cet ensemble dépend des k -\- i dernières.

Soient ^, JK, • • • les k + i dernières variables : les facteurs monômes des résidus considérés ne peuvent alors dépendre que des différences X Xq-iX JKo7 ••••

1" Si l'ensemble E, rendu irréductible, ne dépend pas de la différence X — ^0, les facteurs monômes du résidu correspondant ne dépendront que des k différences postérieures, jk — J'05 •••: etj dès lors, le résidu de la coupure (E, L) ne pourra offrir de termes élémentaires semblables aux facteurs monômes dont il s'agit que dans

la portion où ses propres facteurs monômes sont indépendants de X — Xq. Or, il suffît, pour obtenir cette dernière portion, d'extraire de L l'ensemble partiel, Lo? q^i n'en dépend pas, et de pratiquer la coupure (E, L,,) dans une fonction schématique, soit des diverses variables autres que x (les postérieures à x et les antérieures), soit de toutes les variables, j compris x. 11 est d'ailleurs permis de supposer, en vue du point qui nous occupe, que les deux coupures E et (E, Lo) ont été pratiquées dans une fonction schématique dépendant d'un seul et même groupe de variables, qui est le groupe j^, ... : car cette nouvelle hypothèse laisse identiques à eux-mêmes, dans l'un et l'autre résidu, tant les facteurs monômes, que les termes élémentaires dépendant des seules variables y^ Cela étant, l'exactitude du point à

établir résulte immédiatement de ce qui est admis.

2" Supposons maintenant que l'ensemble E, rendu irréductible, dépende de la différence x — ^o, et désignons par a l'exposant maximum (>>o) dont elle s'y trouve affectée après cette réduction. En adoptant, relativement à l'ensemble E, les mêmes notations qu'à l'alinéa III du n** 81, le résidu de la coupure E pourra s'écrire, soit sous la forme

(•>.■>; To+(:r — Xo)T, •+-... -4-(^ — .ro)aiTa i,

soit sous la forme

(>6j To4-(:r--^o)T,-t-...+ (.r-a7o)^-»Ta-i + (j^ — :ro)--*T :

dans ces deux formules, les sommes schématiques To, T,, . . . , T^^i proviennent des coupures

[eoj, [e0,eij, ..., [eo, ^i, . . . , e^-' ],

pratiquées sur une fonction schématique des diverses variables autres que .r, et, dans la formule (26), la somme schématique T provient de la coupure

[eo, e', . . ., e^-i, e'^],

pratiquée sur une fonction schématique de toutes les variables, y compris x.

De l'ensemble E, passons maintenant à l'ensemble (E, L), et adoptons, relativement à l'ensemble L, des notations analogues à celles qui concernent l'ensemble E.

S'il arrive, comme nous le supposerons d'abord, qu'en désignant par ji quelque entier satisfaisant à la double relation

o<pia,

l'ensemble (E, L), rendu irréductible, contienne le monôme (.œ — ^0)^5 le résidu de la coupure (E, L) pourra s'écrire sous la forme

(27) So+ (ic — a7o)Si + . . .H-^(a7 — a7o)P-iSp i,

où les sommes schématiques Sq, Si, ..., Sp i proviennent respectivement des coupures

[(e')Al')h [(e«,ei), (/o,Zi)], ..., [(eO,6i,...,eM),(/o, /',..., /M)],

pratiquées sur une fonction schématique des diverses variables autres que X.

On/Voit tout d'abord que l'expression (26) ou (26) ne peut offrir de facteurs monômes semblables à des termes élémentaires de (27) que dans la portion

(28) To -h (^ — a7o)Ti + ...-+- (37- ;ro)P-iTp,.

D'un autre côté, il est permis de supposer, en vue du point qui nous occupe, que les coupures à l'aide desquelles on obtient les sommes schématiques

(29) To, ïi, ..., Tp i,

(30) So, S,, ..., Sp i,

et qui proviennent d'ensembles dépendant des seules ditlerences y — Yq^ . . . , ont été pratiquées sur une fonction schématique dépendant d'un seul et même groupe de variables, qui est le groupe j, ... : car cette nouvelle hypothèse laisse identique à eux-mêmes, dans les résidus correspondants, tant les facteurs monômes, que les termes élémentaires dépendant des seules variables y, ... ; elle laissera donc identiques à eux-mêmes, dans les expressions (28) et (2^), tant les facteurs monômes, que les termes élémentaires (seuls utiles à considérer) qui ne dépendent que de ^, y, ....

Gela étant, si, dans les suites (29) et (3o), on considère deux sommes de même rang, il résulte de ce qui est admis que ceux d'entre les facteurs monômes de la première qui sont semblables à des termes

Fo^CTIO^s schématiques et coupures. i5i

élémentaires de la seconde sont également des facteurs monômes de la seconde : dès lors, ceux d'entre les facteurs monômes de (28) qui sont semblables à des termes élémentaires de (27) sont également des facteurs monômes de (27), ce que nous voulions établir.

3° Les mêmes choses étant posées que dans 2^ relativement à l'ensemble E, supposons, contrairement à ce qui a lieu dans 2°, que l'ensemble (E, L), rendu irréductible, ne contienne aucun monôme tel que [x — ^0)^7 où p désigne quelque entier supérieur à zéro et au plus égal à a : de là résulte tout d'abord que l'ensemble E, rendu irréductible, ne peut contenir le monôme {x — ocqY^ et que, dès lx)rs, le résidu de la coupure E est de la forme (26). Quant au résidu de la coupure (E, L), il pourra s'écrire, soit sous la forme

(3i) So+(^ — .ro)Si + . . .+ (^ — a7o)^-'Sa-i-l- {x — X(i)^'è,

soit sous la forme

(32) So-t-(^ — 37o)Si+. . .-+- (a? — .ro)«-^Sa-i+ (^ — a7o)^.Sa-T-. . . :

dans ces formules, les sommes schématiques So, S,, ..., Sa i, Sa proviennent des coupures

r(eO), (/o)], [(eO,ei), (/o, /!)], ...,

pratiquées sur une fonction schématique des diverses variables autres que x^ et la somme schématique S, qui figure dans la formule (3i), provient de la dernière coupure, pratiquée sur une fonction schématique de toutes les variables, y compris x.

Il est d'ailleurs permis de supposer, en vue du point qui nous occupe, que les coupures à l'aide desquelles on obtient, dans les formules (26), (3 i) et (32), les multiplicateurs des puissances, o, i , . . . , a — I, a de x — Xq^ et qui proviennent d'ensembles dépendant des seules différences y — r^, ..., ont été pratiquées sur une fonction schématique dépendant d'un seul et même groupe de variables, qui est le groupe jK, ... ; car cette nouvelle hypothèse laisse identiques à euxmêmes, dans les résidus correspondants, tant les facteurs monômes, que les termes élémentaires dépendant des seules variables jk? •••; elle laissera donc aussi identiques à eux-mêmes, dans les expressions (26), (3i) et (32), tant les facteurs monômes, que les termes élémentaires (seuls utiles à considérer) qui satisfont à la double condition

l5'2 CHAPITRE V.

d'être, par rapport à x — ^n, d'un degré au plus égal à a, et de ne

dépendre que de x^ j>',

Cela étant, si l'on compare une somme quelconque de la suite

To, T,, ..., Ta-,, T à la somme de même rang de l'une ou l'autre des deux suites

Î5o, oi, . . . , oa-i, Ï5, So, Si, . . . , Oa- 1, ^ai

il résulte de ce qui est admis que ceux d'entre les facteurs monômes de la première qui sont semblables à des termes élémentaires de la seconde sont également des facteurs monômes de la seconde; dès lors, ceux d'entre les facteurs monômes de (26) qui sont semblables à des termes élémentaires de la somme schématique (3i) ou (Sa) sont également des facteurs monômes de cette dernière, ce que nous voulions établir.

D. Le simple rapprochement de ^, ^ et C prouve l'exactitude générale du point formulé au début du présent alinéa 1.

II. La pî'opositioii formulée par notre énoncé général est exacte, si V ensemble E ne dépend que d'une seule différence.

Car en supposant, pour fixer les idées, que x — .x'o soit la différence dont il s'agit, l'ensemble E, rendu irréductible, se compose d'un monôme unique tel que [x — ^0)^7 où a est > o, et notre méthode nous donne, pour le résidu correspondant, l'expression

Fo-+- (r — a^o ) Fi + • . • + (-ï- — --^oj^-i l^Vi,

OÙ Fo, F,, . . ., Fa.i désignent des fonctions schématiques dont chacune dépend des diverses variables autres que x.

III. Si la proposition formulée par notre énoncé général est exacte dans le cas ou r ensemble E dépend des k dernières différences, elle Vest encore dans le cas où il dépend des k + i dernières.

Soient x^ y\ ... les A -+- 1 dernières variables.

Si l'ensemble E, rendu irréductible, ne dépend pas de x — Xq^ le point à établir résulte immédiatement de ce qui est admis.

FONCTIONS SCHEMATIQUES ET COUPURES. l53

Supposons maintenant que l'ensemble E, rendu irréductible, dépende de .r — Xq. Les mêmes notations étant adoptées qu'à l'alinéa III du n° 81, le résidu de la coupure peut s'écrire sous la forme

(33) To+(^ — .ro)Ti4-...-|-(;r--.ro)^-'Ta-i4-(^-a:'o)^T:

dans cette formule, a désigne un entier > o, et

To, Ti, . . ., Ta 1 sont les résidus des coupures

pratiquées sur une fonction schématique des diverses variables autres que x; quant à T, deux cas sont à distinguer suivant que E^' contient ou non le monôme (x — .^-o)^ • dans le premier cas, T est identiquement nul, et, dans le second, il est le résidu de la coupure

(35) [e", ei, . . ..e^-^e^],

pratiquée sur une fonction schématique de toutes les variables, y compris x. Gela étant, puisque les ensembles (34) et (35) sont indépendants de ^ — Xq, il résulte de ce qui est admis que les résidus correspondants,

(36) To, Ti, ..., Ta.i, T,

possèdent la propriété spécifiée par notre énoncé général. Supposant en outre, comme il a été dit plus haut, l'ensemble E irréductible, nous établirons que l'expression fournie par la formule (33) pour le résidu de la coupure E la possède également. Dans cette démonstration, il nous sera évidemment permis de faire abstraction totale des diverses variables anté/ieures à x : car cela ne changera rien, ni aux ensembles d'où proviennent les coupures, ni aux facteurs monômes des expressions (36) et (33), ni aux multiplications à effectuer sur ces facteurs conformément à notre énoncé, ni enfin aux termes élémentaires (seuls utiles à considérer) qui, dans les résidus, ne dépendent que de ^, JK, '-n conséquence, nous écrirons l'expression (33) sous la forme

(37) To(jK, ...)-\-(x-Xo)T,(y, ...)■-+-...

-4-(^- ;ro)«-'Ta-i(jK, ..,) + (.r-^o)*T(;r,:^-, ...).

l54 CHAPITRE V.

Observons, avant d'aller plus loin, que la propriété spécifiée par notre énoncé général peut se décomposer comme il suit :

A. Sij en multipliant un facteur monôme de la somme schématique par une des différences étrangères au facteur schématique (^dégénéré ou non) qui lui correspond^ on obtient un pioduit semblable à quelque terme élémentaire du résidu, le produit en question est identique à quelque autre facteur monôme de cette même somme schématique.

B. Inversement, tout facteur monôme de la somme schématique [sauf celui de degré zéro) s'obtient en multipliant quelque autre

facteur monôme de cette même somme par quelquUine des différences étrangères au facteur schématique [dégénéré ou non) cpii correspond à ce dernier.

C. Si l'ensemble donné E a été rendu irréductible, chacun de ses monômes s^ obtient en multipliant quelque facteur monôme de la somme schématique par quelqu'une des différences étrangères au facteur schématique [dégénéré ou non) qui correspond à ce de l' nier.

Cela étant, nous allons, dans notre démonstration, nous occuper successivement de ces trois propriétés.

A. i" Considérons, dans la somme schématique (3^), qui exprime le résidu de ia coupure E, un facteur monôme figurant dans la portion

(38) (.r-.ro)«'Ta'(jK, ...).

OÙ a' est supposé <C ^c, et soient

le facteur monôme dont il s'agit, t le terme schématique du résidu (87) où il figure : ce terme t est le produit de [x — ^0)°^ par quelque terme schématique, t, du résidu Ta'(y, ...), et le terme t est, à son tour, le produit de

par quelque facteur schématique indépendant de x.

Cela étant, si, en multipliant le facteur monôme (Sg) par x — x^^

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES. l55

le produit obtenu,

(40 (^-;ro)«'-^»(r~ro)^...,

est semblable à quelque terme élémentaire du résidu (3'j), ce terme élémentaire ne peut provenir que de la portion {x — Xq)^'"^^ ^ol'-\-\ du résidu (3^); il existe donc quelque terme élémentaire semblable à (4o) dans le multiplicateur Ta.fi, ou plutôt, puisque (4o) 6st indépendant de ^ — Xq^ dans l'expression déduite de ce multiplicateur quand on y fait abstraction de la variable x dont il peut éventuellement dépendre [au cas où a'+ i = a, et où, par suite, Ta + i est identique à T(x, j', ...)]; et, comme Ta', d'une part, l'expression considérée, d'autre part, sont respectivement obtenus à l'aide des coupures

pratiquées dans une fonction schématique des seules variables y^ . . ., il résulte de 1 que (4^) figure, à titre de facteur monôme, dans Ta+i ; donc, enfin, le produit (4i) figure, à titre de facteur monôme, dans la portion [x — .^0)°'^* Ta'+i du résidu (37).

Si, en multipliant le facteur monôme (39) par une des diflerences, autres que x — Xq^ étrangères au facteur schématique qui figure dans t (et t), on obtient un produit semblable à quelque terme élémentaire du résidu (3^), ce terme élémentaire est fourni par la portion (38); il en résulte qu'en multipliant le facteur monôme (4o), qui figure dans le terme schématique t du résidu T^', par la difierence dont il s'agit (étrangère, comme nous venons de le dire, au facteur schématique qui figure dans t), on obtient un produit semblable à quelque terme élémentaire de T^' : en vertu de ce qui est admis, ce produit figure, à titre de facteur monôme, dans le résidu Ta', et, dès lors, le produit de (39) par la même différence figure, à titre de facteur monôme, dans la portion (38) du résidu (37).

2" Considérons maintenant un facteur monôme provenant de la portion

(x — x^)^lL{x,y, . ..)

du résidu (3^) : si un pareil facteur monôme existe, c'est évidemment que l'expression schématique T(x^ y, . . .) n'est pas identiquement nulle, et, dès lors, elle s'obtient à l'aide de la coupure

[eo,eS ...,6^1,

l50 CHAPITRE V.

pratiquée dans une fonction schématique des variables ^, y, . . . ; au facteur monôme considéré correspond donc un facteur schématique dépendant de x^ d'où résulte que ce facteur monôme ne doit pas être multiplié par x — x^. Gela étant, il suffira, pour établir le point que nous avons actuellement en vue, de répéter, avec les modifications voulues, la dernière partie du raisonnement fait dans i".

La propriété A se trouve ainsi étendue au cas où l'ensemble donné E dépend des k + i dernières différences.

B. De la deuxième propriété, B^ admise pour les résidus

To(j,...), Ti(7,...), ..., Ta-,(J, ...), T(;r,j,...),

il résulte tout d'abord que si, dans chacun de ces résidus, on partage les facteurs monômes en groupes successifs d'après leurs degrés croissants, ces degrés forment une progression arithmétique de raison i commençant par zéro. Les diverses expressions

'folJK, ...)> Ti(7, ...), ..., Ta-i(j, ...)i

et éventuellement l'expression T(^,j^, . . .), fournissent ainsi, par la considération des degrés de leurs facteurs monômes, les progressions arithmétiques respectives

o, 1 , 2, . . . , mo, o, [, '2, .... m\.

I, '2, ..., ma-i

et les produits respectifs de ces mêmes expressions par les monômes

1, X — iPo, .... ix — a^o)^"', {x — x^i)^ fourniront semblablement les progressions arithmétiques

, '^îo,

• , /^îa-t -H a -

.... ma-i- 'z.

Si donc on désigne par M le plus grand des entiers

l'expression (S^) fournira la progression arithmétique

o, 1, ij . . ., M.

Gela étant, construisons un quadrillage rectangulaire dont les lignes correspondent aux diverses expressions schématiques

(a; — a:o)Ti(y, ...),

et les colonnes aux degrés croissants o, 1,2, . . ., M des facteurs monômes que nous allons y inscrire : ce Tableau comprendra ainsi aH- i lignes affectées des indices o, i , 2, . . ., a, et M -f- 1 colonnes affectées des indices o, i, 2, ..., M, en sorte que chaque ligne horizontale comprendra M + i cases. Dans les cases

de la première ligne horizontale, inscrivons les facteurs monômes de l'expression Tq (y, . . .), chacun à la case voulue suivant le degré qu'il présente (et une même case pouvant, bien entendu, contenir plusieurs monômes). Dans les cases

de la deuxième ligne horizontale, inscrivons de même les facteurs monômes de l'expression (x — jCo)T,(jk, ...); dans les cases

'i. 3, 4i '•■'1 ffiz-h i

de la troisième, les facteurs monômes de l'expression (.x — ^o)^T2(y,. . .); et ainsi de suite. Il pourra arriver que la dernière ligne horizontale se compose entièrement de cases vides [au cas où l'ensemble partiel E°' se composerait du monôme unique (.r — .ro)^]; mais chacune des lignes précédentes contiendra certainement quelque case non vide.

Cela étant, considérons un facteur monojne situé dans une colonne dont l'indice i soit supérieur à zéro, et désignons par h l'indice de la ligne où il se trouve.

Si ce monôme est situé dans la première case non vide de sa ligne, ce qui entraîne h = i, il n'est autre que (.r — .^0)^ (<^i' ^^ > ^0 5 d'ail-

l58 CHAPITRE V.

leurs le inouoiiie situé dans la première case non vide de la ligne précédente est (x — XqY~^^ et le facteur schématique qui lui correspond ne dépend certainement pas de la variable x, parce que h — i est au plus égal à a — i. On voit donc que le monôme (x — Xq)^ peut s'obtenir en multipliant l'un des monômes de la colonne précédente par l'une des différences étrangères au facteur schématique qui correspond à ce dernier monôme.

Si le monôme considéré ne se trouve pas dans la première case non vide de sa ligne, supprimons le facteur [x — Xq)^^ commun à tous les monômes de cette ligne ; après cette suppression, les groupes inscrits dans les cases successives ne sont autres que les groupes de facteurs monômes fournis par la considération de quelqu'un des résidus

et, si on les partage en groupes successifs d'après leurs degrés croissants, tout monôme contenu dans un groupe autre que le premier est^ en vertu de ce que nous admettons, le produit d'un monôme du groupe précédent par l'une des différences étrangères au facteur schématique qui correspond à ce dernier monôme : la même propriété subsistera donc après le rétablissement du facteur commun {x — x^Y.

La deuxième propriété, B^ se trouve ainsi étendue au cas où l'ensemble donné dépend des k + i dernières différences.

C. En ce qui concerne la troisième propriété, C, nous observerons tout d'abord que, si l'ensemble partiel E'^ contient le monôme (x — ^o)^, ce monôme, nécessairement unique dans E^, s'obtient en multipliant le facteur monôme {x — XqY~^^ qui figure dans l'un des termes schématiques de la portion de résidu

(^-;ro)^-»Ta-i(7, . . .),

parla diilérence x — Xq, nécessairement étrangère au facteur schématique correspondant. Il nous reste donc à nous occuper : i" des monômes contenus dans les ensembles partiels \i^^ E', ..., E^ ' ; 2" des monômes contenus dans l'ensemble partiel E^, au cas éventuel où ce dernier ne contiendrait pas le monôme [x — J^o)^- Observons à cet effet qu'en supposant

/i = o, I, ..., a — I, et évenliiellemenl a,

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES. I ïg

un monôme de l'ensemble e^ n'est certainement divisible par aucun autre monôme de e^, et qu'il ne l'est non plus par aucun monôme provenant des ensembles e^^ e\ ..., e^~^ : car autrement, ou bien Tensemble E^ contiendrait deux monômes divisibles l'un par l'autre, ou bien il en contiendrait un divisible par quelqu'un des monômes provenant des ensembles E», E*, . .., E'^~% et, dès lors, l'ensemble E, rontrairement à ce que nous avons supposé, ne serait pas irréductible. Si donc on considère les ensembles

et éventuellement

[e^, e\ . . ., ea-i,ea],

et qu'on rende chacun d'eux irréductible, le premier, [e^]^ restera tel qu'il est, le second, [e^^ e'], contiendra certainement tous les monômes de <?*, le troisième, [e^,e*,e-], tous les monômes de e-, et ainsi de suite.

Or, si l'on considère, d'une part, l'ensemble [<?», e*^ . . ., e^] rendu irréductible, d'autre part, le résidu de la coupure pratiquée à l'aide de cet ensemble (soit sur une fonction schématique de y, ... si h est < a, soit sur une fonction schématique de x, y^ ... si A = a), il résulte de ce qui est admis que chaque monôme de l'ensemble s'obtient en multipliant quelqu'un des facteurs monômes du résidu par quelqu'une des différences étrangères au facteur schématique correspondant : en vertu de la remarque qui précède, chaque monôme de e^ jouit donc forcément de cette propriété. Cela étant, si l'on multiplie par {x — ^0)^5 d'une part le résidu de la coupure [eo, e', . . ., e^\ ce qui redonne une portion du résidu de la coupure E, d'autre part les divers monômes de e^, ce qui redonne l'ensemble partiel E-^, il est clair que chaque monôme de E-^ s'obtient en multipliant quelqu'un (les facteurs monômes du résidu de la coupure E par quelqu'une des différences étrangères au facteur schématique correspondant.

La troisième propriété, C, se trouve ainsi étendue au cas où l'ensemble donné dépend des k -H i dernières différences.

IV. Le simple rapprochement des alinéas II el III suffit à établir l'exactitude de notre énoncé général.

86. Ainsi, lorsqu'on a à effectuer une coupure E, l'opération peut

l6<> CHAPITRE V.

toujours être conduite de telle sorte que la somme schématique obtenue pour le résidu remplisse à la fois les diverses conditions suivantes :

Si Von partage les facteurs monômes en groupes successifs (V après leurs degrés croissants, ces degrés forment une progression arithmétique de raison i commençant par zéro.

Si, considérant Vun quelconque des groupes ainsi formés, on multiplie Vun des facteurs monômes qui y figurent successivement par chacune des différences étrangères au facteur schématique correspondant, et qu'on répète cette opération pour tous les facteurs monômes du groupe, on ne reproduit [aux coefficients schématiques près) d'autres termes élémentaires du résidu que les facteurs monômes du groupe suivant, et on les reproduit tous. (En particulier, les multiplications opérées sur le dernier groupe ne reproduisent aucun terme élémentaire du résidu.)

Enfin, si, dans V ensemble des produits que fournissent les multiplications effectuées sur les divers groupes, on considère ceux qui ne sont semblables à aucun terme élémentaire du résidu, on y retrouve, entre autres monômes, ceux dont se compose V ensemble E quand on Va rendu irréductible.

Dans le cas où le résidu de la coupure ne contient qu'un nombre limité de termes élémentaires, il est clair que toute somme schématique irréductible exprimant ce résidu ne contient que des termes schématiques dégénérés, qui sont ces termes élémentaires eux-mêmes, et que, par suite, une pareille somme est unique : elle possède donc nécessairement les propriétés ci-dessus spécifiées. On observera seulement que, chacun des facteurs schématiques étant alors dégénéré toutes les différences obtenues en retranchant de chaque variable sa valeur initiale lui sont nécessairement étrangères.

87. Supposons actuellement que le résidu d'une coupure E, pratiquée sur une fonction schématique des variables x^ y^ . . ., contienne un nombre illimité de termes élémentcdres. Supposons en outre que ce résidu ait été mis sous la forme ai une somme schématique irréductible satisfaisant à la condition suivante :

Si Von considère les divers produits obtenus en multipliant V un quelconque des fadeurs monômes de la somme schématique

FONCTIONS SCHEMATIQUES ET COUPURES. l6l

par l'une quelconque des différences étrangères au facteur schématique (^dégénéré ou non) qui lui correspond, on y retrouve, entre autres résultats, d'une part les divers facteurs monômes qui, dans la somme schématique, ont un degré supérieur à zéro, d'autre part les divers monômes dont se compose V ensemble E quand on Va rendu irréductible. (C'est ce qui arrive, notamment, quand la somme schématique possède la propriété que nous avons spécifiée au n"85 ou 86, et dont la précédente n'est qu'une partie.)

Cela étant, si Von désigne par N le degré maximum, des facteurs monômes de cette somme, et par P un entier supérieur ou égal à N, arbitraire d'ailleurs, l'application d'un procédé tout élémentaire fournit pour le résidu une nouvelle somme schématique irréductible remplissant les deux conditions formulées ci-après :

i" Le degré maximum des facteurs monômes y est exactement égal a P; à V un au moins des facteurs monômes de degré P correspond un facteur schématique non dégénéré, et à tous ceux de degré inférieur à P des facteurs schématiques dégénérés.

1° La nouvelle somme schématique possède la propriété dont jouit, par hypothèse, la proposée.

I. En désignant par K un entier positif donné, toute fonction schématique des variables x, y^ . . . peut être mise sous la forme d'une somme schématique irréductible, dont les termes schématiques s'obtiennent :

Les uns en multipliant respectivement par des constantes schématiques les divers monômes (à coefficient i) de degrés o, i, 2, ..., K — I par rapport à V ensemble des différences x — Xq^

Les autres en multipliant respectivement les divers monômes de degré K (à coefficient i) par diverses fonctions schématiques {non dégénérées) de quelques-unes des variables.

A . La propriété est exacte si le nombre des variables est égal à i .

Car, en désignant par x la variable unique, par A^, A,, . . ., Ak i des constantes schématiques, et par H [x) une fonction schématique de x^ la proposée peut s'écrire sous la forme

Ao-i- P^xix —X(i) -h. . .-f- AK-l(a7 — Xq)^-'^-+- {x — X(^)^\\{X).

H. Il

l62 CHAPITRE V.

B. Si la propriété est vraie pour n variables, elle l'est aussi pour /i -h 1 .

Désignons par ^, y, . . . les n + i variables dont il s'agit, et distinguons dans le développement diverses portions comprenant : la première, les termes de degré zéro en ^ — Xq\ la seconde, les termes de degré i en ^ — Xç^\ etc. ; l'avant-dernière, les termes de degré K — i en X — Xq^\ la dernière, les termes de degré au moins égal à K en X — Xq. Nous aurons ainsi l'expression

(4s»0 Fo(^, ...)-+- (^-^o)Fi(7,...) H-.. .

où Fo, Fi, . . ., Fk., désignent des fonctions schématiques àe y, . . ., et F une fonction schématique de ^, jr, . . . • Or, en vertu de ce qui est admis :

La fonction schématique Fo(jk, . . .) peut s'obtenir en multipliant les divers monômes de degré K eny — jko: . • . par diverses fonctions schématiques de quelques-unes des n variables y, . . . , et ajoutant à cette somme de produits un polynôme entier de degré K — i en y — Yq^ . . ., à coefficients indéterminés;

La fonction schématique F,(y, ...) peut s'obtenir de même en multipliant les divers monômes de degré K — i en y — y^^ . . . par diverses fonctions schématiques de quelques-unes des n variables y, . . . , et ajoutant à cette somme de produits un polynôme entier de degré K — 2 en j^ — y^^ . . . , à coefficients indéterminés ;

Etc.;

Enfin, la fonction schématique F^.i (y, . . .) peut s'obtenir en multipliant les divers monômes du premier degré y — yo? • • . pai' diverses fonctions schématiques de quelques-unes des n variables y, . . . , et ajoutant à cette somme de produits une constante schématique.

Un simple coup d'oeil jeté sur la formule (4^) suffit alors à faire voir que la propriété, supposée vraie pour n variables, ne peut manquer de l'être pour /? -h i .

C. Le simple rapprochement àe A elB suffit à établir le point que nous avons actuellement en vue.

Nous l'énoncerons d'une manière un peu plus brève en disant que toute fonction schématique de x^y, . . . peut être considérée comme

une sorte de polynôme {complet) de degré K, entier par rapport aux différences x — x^^y — jKo, • • .? ^t où les termes de degié inférieur à K ont pour coefficients des constantes schématiques, tandis que les termes de degré Y^ont pour coefficients des fonctions schématiques non dégénérées.

Il est clair, d'ailleurs, que si, dans la somme schématique irréductible ainsi obtenue, on partage en groupes successifs, d'après leurs degrés croissants, les divers facteurs monômes, le premier groupe est constitué par le monôme unique de degré zéro, et que chacun des autres monômes s'obtient en multipliant quelqu'un des monômes du groupe précédent par quelqu'une des différences x — .x>, y — y^, —

II. Revenant à notre énoncé général, observons que la propriété dont jouit, par hypothèse, la forme schématique primitive, et qui, d'après la conclusion 2", doit appartenir aussi à la nouvelle, peut se décomposer en deux, et que, dès lors, l'ensemble des conclusions i*' et 2'* peut se formuler en trois parties successives, comme il suit :

A. Dans la nouvelle forme schématique du résidu, le degré maximum des facteurs monômes est exactement égala P; à U un au moins des facteurs monômes de degré P correspond un facteur schématique non dégénéré, et à tous ceux de degré inférieur à P des facteurs schématiques dégénérés.

B. Tout facteur monôme de la nouvelle somme [sauf celui de degré zéro) s^ obtient en multi/diant quelque autre facteur monôme (de degré nécessairement inférieur à P) de cette même somme par quelqu'une des différences x — .r,,, y — y^, ....

C. Dans l^ ensemble E, rendu irréductible, chaque monôme s'obtient en multipliant quelque facteur monôme de la nouvelle somme par quelqu' une des différences x — Xq^ y — y^^ . . .^ et cela de telle façon que, si à ce facteur monôme correspond un facteur schématique non dégénéré, la différence par laquelle on doit le multiplier pour reproduire le monôme considéré de V ensemble^ soit étrangère au facteur schématique dont il s'agit.

Pour l'établir, désignons par <I> la forme schématique primitive du résidu spécifiée dans notre hypothèse, et, considérant un terme schématique quelconque de <I>, désignons par n le degré du facteur

l64 CHAPITRE V.

monôme qui y figure

et par K„ la différence (positive ou nulle) P — n. Si le terme considéré ne contient qu'une fonction schématique dégénérée, nous le laisserons tel qu'il est; dans le cas contraire, nous remplacerons, conformément à l'alinéa I, la fonction schématique (non dégénérée) par un poljnome de degré K,,, entier par rapport aux différences dont elle dépend, et où les termes de degré intérieur à K„ aient pour coefficients des constantes arbitraires, tandis que les termes de degré K„ auront pour coefficients des fonctions schématiques non dégénérées. En opérant ainsi sur tous les termes schématiques de 4>, il est facile de voir que les conditions ^, B^ C, formulées au début du présent alinéa II, se trouveront satisfaites dans la nouvelle forme. Effectivement :

1° Puisque le résidu de la coupure contient, d'après notre hypothèse, un nombre illimité de termes élémentaires, à l'un au moins des facteurs monômes de la forme primitive <ï> correspond un facteur schématique non dégénéré, et la condition A se trouve dès lors évidemment satisfaite dans la nouvelle.

2° Tout facteur monôme figurant dans la forme primitive 4> se trouve remplacé, dans la nouvelle, par un groupe de facteurs monômes : pour obtenir le groupe en question (abstraction faite des facteurs schématiques qui correspondent respectivement à ses divers monômes), il suffit de multiplier par le facteur monôme primitif les divers termes d'un certain polynôme, entier par rapport à quelquesunes des différences x — Xq, y — y^^ . . . , et ayant, avec un degré positif ou nul, tous ses coefficients égaux à i . Gela étant, si nous considérons, dans la nouvelle forme du résidu, l'ensemble des facteurs monômes qui figuraient primitivement dans 4>, il résulte de notre hypothèse que chacun d'entre eux (sauf celui de degré zéro) peut s'obtenir en multipliant quelqu'un des autres par quelqu'une des différences

x — xq, y—yo, ....

Si nous considérons d'autre part le groupe par lequel se trouve actuellement remplacé l'un quelconque des facteurs monômes primitifs (groupe en tête duquel figure le facteur monôme primitif dont il s'agit), il résulte de la manière même dont on a obtenu le groupe

FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES. l6>

en question que l'un quelconque de ses monômes (sauf le facteur monôme primitif) s'obtient en multipliant quelqu'un des autres par quelqu'une des différences

^0, 7—yo,

On voit donc bien que, dans la nouvelle forme, tout facteur monôme (sauf celui de degré zéro) s'obtient, comme l'indique l'énoncé de la condition S, en multipliant quelque autre facteur monôme par quelqu'une des différences

3** Il résulte de notre hypothèse que, dans l'ensemble E, rendu irréductible, tout monôme s'obtient en multipliant quelque facteur monôme de ^ par quelqu'une des différences

x — xo, y—yo, ....

Or, ce facteur monôme figure aussi dans la nouvelle forme du résidu. D'ailleurs, pour que le facteur schématique qui lui correspond dans la nouvelle forme ne soit pas dégénéré, il est nécessaire que le facteur monôme soit de degré P, et, par suite, que la différence ci-dessus désignée par K,t se réduise pour lui à zéro : le terme schématique de 4> où il figure est donc resté tel qu'il est dans le passage à la nouvelle forme, et, dès lors, en vertu de notre hypothèse, la différence par laquelle on doit le multiplier pour reproduire le monôme considéré de E est étrangère au facteur schématique dont il s'agit. La condition C se trouve donc, elle aussi, satisfaite.

88. Puisque l'hypothèse faite au numéro précédent sur la forme primitive 0 du résidu fait partie (comme nous l'avons indiqué au début du numéro cité) de l'ensemble des propriétés énumérées au n" 86, l'existence de ces dernières entraînera, à plus forte raison, les mêmes conséquences, et nous pouvons, dès lors, énoncer ce qui suit.

Lorsque le résidu d'une coupure E contient un nombre il/imité de termes élémentaires, et qu'on l'a mis sous forme d'une somme schématique irréductible remplissant les diverses conditions énumérées au n" 86, on peut, à l'aide d'un procédé tout élémentaire, en déduire,

l66 CHAPITRE V.

pour l'expression du même résidu, une deuxième somme schématique irréductible remplissant les diverses conditions ci-après :

Si l'on désigne paî^ N le degré maximum des facteurs monômes de la première somme, par P un entier supérieur ou égal à N, arbitraire d'ailleurs, et que l'on partage les facteurs monômes de la nouvelle somme en groupes successifs d'après leurs degrés croissants^ ces degrés forment une progression arithmétique de raison i, commençant par zéro et finissant par P. A l'un au moins des facteurs monômes de degré P correspond un facteur schématique non dégénéré, et à tous ceux de degré inférieur à P des facteurs schématiques dégénérés.

Si, considérant, dans la nouvelle somme, l'un quelconque des groupes de degré inférieur à P, on multiplie l'un des facteurs monômes qui y figurent successivement par chacune des différences X — Xq, y — JK05 • . .^ et que l'on répète cette opération sur tous les facteurs monômes du groupe, on obtient, entre autres produits, tous les facteurs monômes du groupe suivant.

Enfin, si, dans la nouvelle somme, on effectue sur les divers groupes de degré inférieur à P les multiplications dont il s'agit, si, de plus, on multiplie chaque facteur monôme de degré P par chacune des différences étrangères au facteur schématique correspondant, on obtient, entre autres produits, tous les monômes dont se compose l'ensemble E quand on l'a rendu irréductible.

Par exemple, si, dans une fonction schématique de x^y^ z^ il s'agit de pratiquer la coupure

{x — x^y{z — 2o)S {x - xo^if — jKo), (y—yo) (^ — -^o), (r — ro)S

on commencera, comme à l'alinéa VI du n° 8i, par mettre le résidu sous la forme

(43) F,(z) ^ (x — x,)¥,(z) -+- (x - Xor-Uoix)

^(x—x^y-(z — Zo)Hi(x) -{- Ao(y — yo) -h Ai{x — xo) (y —vo):

OÙ Aq, a, désignent des constantes schématiques, et Fo{z), F, (2), H„(a7), H,(^) des fonctions schématiques. Dans cette expression, qui remplit les diverses conditions énumérées au n° 86, le degré maximum des facteurs monômes est égal à 3, et, cela étant, l'entier P dont il est question ci-dessus pourra être arbitrairement choisi sous la

seule condition d'être au moins égal à 3. En supposant, pour fixer les idées, P = 4? on remplacera les fonctions schématiques Fo(3),

Fi(z), H„(x), H,(:r) respectivement par les sommes schématiques suivantes :

Fo{z) = Bo ^ Bi{z — z,) ^ B,(z — zo)^ ^ B-s(z — z^)^ ^ (z — ZoY* Ko(z), F,(2) = Co -h Ci(z — zo) -h C.,{z — ZoY- -h (z — zoy Ki(z), Ho(a:) = Do-h Di(x — Xo) -i- (x — Xt,y'U(x), Ui(x) = Gh- (x — Xq)Li(x),

OÙ Bo, B,, Bo, B3, Co, C,, G2, Do, D,, G désignent des constantes schématiques, et Ko(3), K,(z), Lo(^), Li (^) des fonctions schématiques. On aura ainsi, au lieu de l'expression (4^), l'expression

Bo-\- Bi{z - zo) ^ B,{z - z^)^ -^ B,(z — Zoy ■+■ (z - z,)'^Ko(z) -hCo(x — XQ) --Ci{x — Xo)(z — Zo) -h Ci(x — Xo) (z — ZoT' -+- ( X — xo) (z — Zo)^Ki(z) -h Do{x — xo)^ -h Bi(x — xo)^ -+- (x — Xo)''Lo(x) -h G(x — Xo)^(z — Zo) -h (37 — a^o )•■»( 2 — 2o)L, (37) -H Ao (7 — Jo ) -+- Al (a? — .To) (jK — 70),

qui remplit les diverses conditions énumérées au début du présent numéro.

Si, dans une fonction schématique de x, y, 5, il s'agit de pratiquer

la coupure

(x — xo) (y —yo) (^ - ^0),

on commencera, comme à l'alinéa II du n^ 84, par mettre le résidu

sous la forme

(44) F(y,z)-h{x — Xo)H(x, z)-^(x — x^) (y — yo)^(^, y),

OÙ F(y, 5), H(.r,^), K(a-^y) désignent trois fonctions schématiques. Dans cette expression, qui remplit les diverses conditions énumérées au n" 86, le degré maximum des facteurs monômes est égal à 2, et, cela étant, l'entier P pourra être arbitrairement choisi sous la seule condition d'être au moins égal à n. En supposant, par exemple, P= 2, on remplacera les fonctions schématiques F(y,z), H(a?,z) respectivement par les sommes schématiques suivantes :

F(y,z) = X-r-B(z — Zo)-i-(z-Zoy'L(z)

^^Ay—yi,)^-{y—y^){z - z^)m{z) -^(r-jKo)'Q(7,^),

H(ar, z) = D-h(z — Zo)R(z)-i-(a7 — a7o)S(a7, z),

l68 CHAPITRE V. — FONCTIONS SCHÉMATIQUES ET COUPURES.

OÙ A, B, C, D désignent des constantes schématiques, et L{z), M(3), Qiy^ ^)y r^(^)> S(x,z) des fonctions schématiques; quant à la fonction K(jc, r), qui se trouve multiphée, dans l'expression (44)5 par un facteur monôme de degré 2, on la laissera telle qu'elle est. On obtiendra ainsi, au lieu de (44)? l'expression

■+ (y - yo) (z — Zo)M(z) -^ (y - yoyqif, z)

-{- D (x — Xo) -^ (x — Xo) {z — Zo)R(z)-^ (x — Xo)'^S(x,z)

-i- (x — Xo)(y—yo)K(x,y),

qui remplit les diverses conditions énumérées au début du présent numéro.

• ALCIL INVERSE DE LA DERIVATION. 1 69

CALCUL INVERSE DE LA DÉRIVATION

Économie des conditions initiales dans les systèmes différentiels résolus par rapport à diverses dérivées des inconnues.

89. On nomme système différentiel tout système d'équations posées entre certaines variables indépendantes, ^, y, . . . , certaines fonctions inconnues, m, c^, . . . , de ces variables, et certaines dérivées des fonctions m, t^, ... : les fonctions inconnues doivent être déterminées de manière que les équations du système soient identiquement vérifiées en .r, y, ... .

On nomme groupe d'intégrales du système tout groupe de fonctions,

qui, substituées à m, t^, . . . , transforment en identités les diverses équations proposées : nos définitions des n°^ 50 et 52 n'attribuant de dérivées qu'aux fonctions olotropes, il est clair que les diverses fonctions du groupe doivent, dans certaines limites, jouir de cette propriété, et qu'il doit exister, dans l'espace [[-^j^. • • •]' quelque point à partir duquel elles soient toutes développables (n" 76).

90. Étant donné un système différentiel, S, résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues, w, i^, . . . , qui s'y trouvent engagées, nous conviendrons de dire qu'une dérivée de ces fonctions est principale relativement au système, lorsqu'elle coïncide, soit avec quelqu'un des premiers membres, soit avec quelqu'une de leurs dérivées; nous conviendrons de dire, dans le cas contraire, qu'elle est paramétrique.

G)nsidérant, dans un pareil système S, un groupe d'intégrales que

nous supposerons développables à partir des valeurs initiales, Xq^ ^o> • ' ' 1 choisies pour les variables indépendantes x, y, . . . , nous nommerons détermination initiale de l'une d'entre elles la portion de son développement formée par l'ensemble des termes qui, aux facteurs numériques connus près (n° o4), ont pour coefficients les valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées paramétriques de tous ordres ; la portion restante, où figurent de même les valeurs initiales des dérivées principales, se nommera la partie principale du développement.

On peut, à l'aide des notions exposées dans le Chapitre précédent, obtenir d'une manière fort simple la forme schématique des déterminations initiales d'un groupe quelconque d'intégrales, u, (^, . . . : il est clair, en effet, que, si les dérivées de u qui figurent dans les premiers membres du système S ont pour ordres partiels res pectifs, relativement à ^, ^, . . . ,

il suffit, pour avoir la forme schématique de la détermination iniliale de u, de pratiquer dans le développement schématique de cette fonction la coupure

(:r-.ro)«'(.x-jKo).S'..., (a? — ^0 )*"(>— 7o).^'...,

En conséquence (n°^ 81, 82 et 83), la donnée des déterminations initiales d'un groupe d'intégrales (hypothétiques) équivaut à celle de fonctions (ou constantes) en nombre essentiellement fini, et, pour se donner arbitrairement les déterminations dont il s'agit, il suffit d'imposer aux intégrales et à telles ou telles de leurs dérivées, en nombre essentiellement limité, la condition de se réduire respectivement, pour les valeurs initiales de tels ou tels groupes de variables, à des fonctions arbitraires des groupes de variables restants (chacune de ces fonctions doit, naturellement, être supposée développable à partir des valeurs initiales des variables dont elle dépend). Ainsi se trouve fixé ce que l'on peut appeler V économie des conditions initiales du système.

CALCUL INVERSK DK L\ DÉRIVATION. I7I

Si Ton considère, par exemple, un système différentiel impliquant deux fonctions inconnues, a, v, des trois variables x^ y^ 2, et résolu par rapport aux quatre dérivées

dx dy àz

dv dx

l'application de notre métliode donnera (n" 84, II et V), pour les déterminations initiales schématiques de «, v,

F (y, z) -^ ( X — xo) n{x, z) ^ (X — xo) (y — yo)^{^, y), L(z) -+- AO' -jKo) -H ïiiy -y,)\

où A, B désignent deux constantes schématiques, et F(/,^), H(^, c), R(j:, y)^ J-'(^) quatre fonctions schématiques. On en déduit, pour l'économie des conditions initiales du système, les formules suivantes :

u =(fi(y,z) pour X — 57o = (>,

du dx à- u

^{x,z) pour jK— JKo=o,

I \ âx dy

= (jj{x,y) pour z — z^ = o

V =ii.(z) pour X — xo = y —yo= o,

ày

pour X — Xo~y — ^0 = -2 — ^0=0.

Pour se représenter commodément l'économie des conditions initiales, on peut procéder comme il suit : construire un quadrillage rectangulaire dont les lignes correspondent aux diverses variables indépendantes 5:, j>^, . . . , et les colonnes aux diverses quantités (inconnues et dérivées) qui figurent dans les premiers membres des conditions initiales; puis, dans l'une quelconque de ces colonnes, noircir à l'aide de hachures les cases des diverses variables dont ne dépend pas la fonction schématique (dégénérée ou non) qui figure dans le second membre de la condition correspondante; en répétant celte opération successivement pour toutes les colonnes, on obtient

une sorte de damier où les cases blanches et noires peuvent offrir des dispositions relatives variées. Par exemple, à des conditions initiales de la forme (i) correspondra le damier ci-dessous :

<)x ùx ()y

dy'

Cette figuration nous sera parfois utile.

Si le système se trouve résolu par rapport à diverses dérivées /?7*emières des inconnues, si, par exemple, il implique trois fonctions inconnues, w, ^, w^ des quatre variables indépendantes x^ y^ z^ .9, et qu'il se trouve résolu par rapport à

dx'

Tz'

notre méthode nous donne (n*^ 84, III), pour les conditions initiales, la forme extrêmement simple

pour

V = ^{oc,z)

pour