X -Xq = y ~ y^=^ z — Zq^ o, y—yo=- s — So= o

Z - - Zn = O.

Dans le damier, construit d'après elles, où les lignes correspondent, comme nous l'avons dit, aux diverses variables indépendantes, les colonnes correspondent alors aux diverses fonctions inconnues, et, par suite, les diverses cases aux diverses dérivées premières des inconnues : à la dérivée première -r-> par exemple, correspond la case

qui se trouve à la fois dans la colonne (m) et dans la ligne (x). Les cases noires, notamment, correspondent aux divers premiers membres du système, et l'on pourra, en pareil cas, remplacer avantageusement les hachures de chaque case noire par l'équation même qui lui cor-

CALCUL INVERSE DE LA DERIVATION

respond ; on obtiendra ainsi le Tableau :

du

dx

du

dv dy----

du

dz

dw

dv ds

91. Étant donné un système différentiel résolu par rapport à diverses dérivées (d'ordres quelconques) des inconnues qui s'y trouvent engagées, on peut, en s'appujant sur les propositions des n"* 86 et 88 relatives aux coupures, donner aux conditions initiales certaines formes dont la considération nous sera fort utile dans la suite : nous nous bornerons pour le moment, en vue du présent Chapitre, à une observation très simple, qui se déduit immédiatement de la proposition du n" 86.

Dans un système différentiel impliquant une seule fonction inconnue, et résolu par rapport à diverses dérivées de cette inconnue, les conditions initiales peuvent toujours être mises sous une forme telle que les circonstances suivantes s'' y trouvent réalisées :

Si on les partage en groupes diaprés les ordres croissants de leurs premiers membres, ces ordres forment une progression arithmétique de raison i commençant par zéro.

Si, dans Vun quelconque des groupes ainsi formés, on considère l'une des conditions initiales, et que Von exécute sur son premier membre une différenciation première n'intéressant aucune des variables dont dépend (schématiquement) le second membre correspondant, la dérivée ainsi obtenue est nécessairement identique, soit à une dérivée principale du système, soit

17 i CHAPITRE VI.

au premier membre de quelqu'une des conditions initiales figurant dans le groupe suivant.

En particulier, la dérivation dont il s'agit, exécutée sur un premier membre du dernier groupe, ne peut donner comme résultat qu^une dérivée principale du système.