Nous poserons enfin les définitions suivantes
Si l'on considère deux dérivées (distinctes) d'une fonction quelconque, F (^, y, '-')•) et que l'on adjoigne mentalement à chacune d'elles la suite indéfinie de ses propres dérivées, tout terme commun aux deux groupes illimités ainsi obtenus se nommera une résultante des deux dérivées en question. Pour passer de la fonction F(^,jK5 • . •) à l'une ou à l'autre de ces dernières, il faut exécuter sur elle certaines différentiations, dont quelques-unes peuvent être les mêmes de part et d'autre : en désignant par le symbole D. l'ensemble des différentiations communes, et par les symboles D'., D". Pensemble des différentiations restantes pour la pi*emière et la seconde dérivée respectivement, les deux dérivées considérées peuvent évidemment
s'écrire
D.D'.F(;r,^, ...), D.D".F(;r,jK, ...),
et l'on voit sans peine : i" qu'elles admettent
D.D',iy".¥(x,y, ...)
comme résultante unique d'ordre minimum ; 2" que le groupe complet de leurs résultantes s'obtient en adjoignant à celle d'ordre minimum la suite indéfinie de ses propres dérivées.
Considérons maintenant un système difierentiel résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et, dans ce système, deux équations ayant pour premiers membres respectifs deux dérivées d'une même inconnue; puis, prenons la résultante d'ordre minimum de ces dérivées, et répétons l'opération en faisant varier de toutes les manières possibles le choix de la fonction inconnue et celui des deux équations sur les premiers membres desquelles on doit opérer : les résultantes, en nombre essentiellement limité, que nous obtiendrons ainsi, se nommeront, par rapport au système donné, les dérivées cardinales de ses diverses fonctions inconnues. Il va sans dire que toute fonction incon-
CALCUL INVERSE DE LA DÉRIVATION. 175
nue dont une seule dérivée figure dans les premiers membres du système n'admet aucune dérivée cardinale, et que, dans le cas où ces premiers membres appartiennent à des inconnues toutes diflerentes, il n'y a de dérivée cardinale pour aucune fonction inconnue.
Calcul inverse de la dérivation; théorème d'existence.
93. Le problème général du Calcul inverse de la dérivation, dont nous avons déjà traité au n° 76 un cas particulier, peut se formuler comme il suit :
Chercher Conte fonction des variables x^ y^ . . . , développable à partir de valeurs données, Xo^yoi •••i ^^ dont on suppose données telles ou telles dérivées [ces dernières nécessairement développables, comme la fonction cherchée (n*" 49), à partir de ^o^ JK05 • •]•
Considérons donc un système différentiel ayant pour p/emiers membres (tous distincts) diverses dérivées de la fonction inconnue u, et pour seconds membres diverses fonctions données de x,yj ..., toutes développables à partir dexQ^yQ^ ....
Pour que le système dont il s^ agit admette quelque intégrale u développable à partir de .Tq, y^^ ..., // est nécessaire que les diverses expressions déduites du système pour une même dérivée cardinale quelconque de u soient identiquement égales entre elles.
Ces identités étant supposées satisfaites, il existe une infinité d'intégrales développables à partir de x^^ y^^ ..., et Vune quelconque Centre elles se trouve entièrement déterminée, si Von se donne les fonctions {ou constantes)^ en nombre fini, dont la connaissance équivaut à celle de sa détermination initiale (n°* 83 et 90) ; ces fonctions peuvent être arbitrairement choisies, sous la seule restriction d'être développables à partir des valeurs initiales de leurs variables respectives, et toute solution particulière du système ne peut manquer d'être développable dans les limites où le sont à /a fois : i" les seconds membres du système ; 2" les fonctions dont la connaissance équivaut à celle de sa détermination initiale.
Enfin, la solution générale du problème que nous avons en vue
est donnée par la forniale
où \]{x^ y^ ...) désigne une solution particulière quelconque, et A une expression toute semblable à la détermination initiale schématique .
I. S'il existe quelque intégrale u^ il est clair qu'elle vérifie, non seulement les équations du système donné, mais encore toutes celles qui s'en déduisent par différentiations (n" 58), et cette circonstance permet de calculer tous les coefficients de la partie principale de son développement. Eff'eCtivement, un terme quelconque de la partie principale a pour coefficient, au facteur numérique connu près (n" 54), la valeur initiale d'une certaine dérivée principale de u^ c'est-à-dire d'une dérivée qui coïncide, soit avec quelqu'un des premiers membres du système donné, soit avec quelqu'une de leurs dérivées : il suffit donc, pour obtenir cette valeur initiale, de considérer le groupe illimité que forment les équations du système donné et toutes leurs équations dérivées, de choisir dans ce groupe une relation convenable, et de calculer la valeur numérique acquise par le second membre en
^0 7 y {SI ••••
u arrive d'ailleurs fréquemment que la valeur initiale d'une même dérivée principale puisse ainsi se calculer de plusieurs façons : pour qu'il en soit ainsi, il est évidemment nécessaire et suffisant que la dérivée principale dont il s'agit coïncide, soit avec quelqu'une des dérivées cardinales de //, soit avec quelque dérivée de ces dernières. Or, l'existence supposée de l'intégrale u entraîne l'égalité numérique des divers résultats fournis pour la valeur initiale d'une semblable dérivée; si donc on considère les diverses expressions, fonctions de .r, y, ..., déduites du système donné pour l'une quelconque des dérivées cardinales de w, les expressions dont il s'agit doivent, ainsi que leurs dérivées semblables de tous ordres, prendre la même valeur numérique en ^0, ^qi --v c'est-à-dire que les diverses expressions d'une même dérivée cardinale quelconque doivent être identiquement égales entre elles (n" 58). L'ensemble de ces identités constitue ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que le calcul des coefficients de la partie principale du développement d'une intégrale hypothétique, effectué de toutes les manières possibles, conduise pour chacun d'eux, comme cela doit être, à une valeur unique.
CALCUL INVERSE DK LA DÉRIVATION. 177
II. Les identités dont il s'agit étant supposées satisfaites, la partie principale du développement, calculée comme nous venons de l'indiquer, admet les rayons de convergence communs à tous les seconds membres des équations proposées.
Pour l'établir, je démontrerai tout d'abord que, si l'on construit une portion de développement avec les coefficients déduits d'une même équation du système, cette portion de développement admet les rayons de convergence du second membre de l'équation considérée. Soit, en effet,
Tune des équations du système. En désignant par A«^ 6, • • • la valeur initiale de la dérivée
dx"*^ ôy^ ...
le développement du second membre f[x^y^ . . .) et celui que nous faisons correspondre à l'équation (i) se correspondent terme à terme, et ont respectivement pour termes généraux
Aa,6,.
(x — .roY^+P (y — Y^Y^^
le rapport de ceux-ci,
{x — x^)i> (JK— .Xo)'^
(a-r-i)...(aH-/?) (6-+-I).. .(6h- ^)' ***
ayant un numérateur indépendant de a, 6, ..., avec un dénominateur au moins égal à i, le second développement converge certainement dans les mêmes limites que le premier (n" 29).
Cela posé, si l'on ajoute les divers développements qui correspondent ainsi aux diverses équations du système donné, le développement résultant admettra évidemment les rayons de convergence communs à tous les seconds membres du système : or, la valeur initiale de telle ou telle dérivée principale pouvant se déduire par différentiations de plusieurs équations du système donné, les coefficients du développement que nous venons d'obtenir par addition
sont les produits, par certains entiers positifs^ des coefficients semblables de la partie principale du développement d'une intégrale hypothétique; cette partie principale admettra donc, elle aussi, les rayons de convergence dont il s'agit (n'' 29).
III. Si l'on désigne par P (.r, y, ...) la somme de la portion de développement dont nous venons de démontrer la convergence, et qu'on lui ajoute une détermination initiale, A, arbitrairement choisie sous la seule restriction que les fonctions, en nombre essentiellement fini, qui entrent dans son expression, soient toutes développables à partir des valeurs initiales des variables dont elles dépendent, la somme
(1) U = P(iP, JK, . . .) + ^
vérifie identiquement les équations proposées.
Effectivement; il résulte du calcul même des coefficients de P(^, y, ...)que les premiers membres des équations proposées et leurs dérivées de tous ordres prennent, en ^oi JKo? •••) les mêmes valeurs numériques que les seconds membres correspondants et leurs dérivées semblables : les premiers membres sont donc identiquement égaux aux seconds (n" 5S).
La formule (2) donne d'ailleurs la solution générale du problème posé; car toute intégrale du système donné développable à partir de:rQ,j^05 ••• ^ nécessairement pour partie principale de son développement la fonction P(:r, y^ •••)' et il suffit alors, pour faire coïncider le second membre de la formule (2) avec l'intégrale que l'on considère, de prendre pour A la détermination initiale de cette intégrale.
Si l'on rapproche maintenant de la formule (2) et des n°^ 83 et 90 le point que nous avons établi plus haut (II) sur les rayons de convergence de P(^, y, . . .), il est clair que le développement d'une intégrale particulière quelconque converge dans les limites indiquées par l'énoncé.
IV. En attribuant aux notations \]{x^y^ . . .) et A le sens indiqué par notre énoncé, la solution générale du problème qui nous occupe est également donnée par la formule
(3) w=U(:r,7, ...)-hA.
CALCUL INVERSE DE LA DÉRIVATION. I79
Il résulte, en efl'et, de l'alinéa III qu'en désignant par A une expression schématique exactement semblable à A, la solution générale est donnée par la formule
Si donc on désigne par G certaine fonction calquée sur A, c'est-àdire pouvant se déduire de A par la substitution aux fonctions schématiques qui y figurent de certaines fonctions déterminées, on aura
et la formule (3) pourra s'écrire
(5) a = P(:r, jK, ...)-+-G-f- A;
il est facile de voir, dès lors, qu'elle équivaut entièrement à la formule (4) : car les expressions schématiques A, A étant semblables l'une à l'autre, et la fonction G étant calquée sur elles, la relation
obtenue en égalant les seconds membres de (^ / et (5), permet de déterminer les fonctions qui figurent dans A quand on connaît celles qui figurent dans A, et réciproquement.
94. Les relations obtenues en égalant entre elles, dans le système étudié au numéro précédent, les diverses expressions d'une même dérivée cardinale quelconque, se nomment les conditions d'intégrabilité du système ; lorsqu'elles sont satisfaites, le système est dit intégrable. On peut d'ailleurs, comme nous le verrons plus tard (n" i6o), les simplifier dans bien des cas.
Dans le cas très particulier où les seconds membres du système se réduisent tous à zéro, le système est évidemment intégrable, et sa solution générale se réduit à la détermination initiale schématique de a.
Considérons, notamment, un système ayant pour premiers membres diverses dérivées premières de la fonction inconnue u^ avec des seconds membres tous nuls; en supposant, pour fixer les idées, qu'il y ait cinq variables indépendantes, .27, y, g, a', ^, et qu'on assujettisse les trois dérivées premières relatives à ^, y, z à être identiquement
l8o CHAPITRE VI.
nulles, la solution générale du système résultant,
du du du
ôx dy ôz
sera une fonction arbitraire de 5, t.
On en déduit immédiatement la conséquence suivante :
Pour que la somme d'un développement fondamental ne dépende effectivement que de certaines des variables, il faut et il suffit que ses dérivées premières relatives aux variables restantes soient identiquement nulles (^).
En particulier, pour que la somme d'un développement fondamental se réduise à une constante, il faut et il suffit que ses dérivées premières soient toutes identiquement nulles.
Calcul inverse de la dérivation; réduction à des quadratures.
95. Dans un système [intégrable) ayant pour premiers membres diverses dérivées premières de la fonction inconnue m, et pour seconds membres diverses fonctions données de x, y^ ... (développables à partir des valeurs initiales Xq^ yQ, - - ')i '<^ recherche de Vintégrale particulière répondant à une condition initiale donnée se ramène à des quadratures (n" 78) en nombre égal à celui des équations du système.
Supposons, pour fixer les idées, qu'il y ait cinq variables indépendantes, x^y^ z, 5, t, et que le système comprenne trois équations,
du ^ , du ^ ,
( ' ) Il esL clair d'ailleurs que, si cette condition se trouve remplie pour un développement fondamental, elle le sera pour les développements successifs auxquels conduit un chemin praticable quelconque : car toute dérivée première du développement sera, elle aussi, calculable suivant le même chemin, et la nullité identique de son développement initial, si elle a lieu, entraînera de proche en 'proche celle de tous les développements subséquents ( n" 69).
CALCUL INVERSE DE LA DÉRIVATION
les conditions d'intéffrabilité sont, ici,
dy dx
dz dx
dz dy '
et on les suppose, comme de raison, identiquement satisfaites. Désignant alors par Xq^ y^^ z^^ Sq^ Iq les valeurs initiales choisies pour les variables, nous établirons que la recherche de l'intégrale particulière répondant à la condition initiale (donnée)
w = u(5, <) pour X — ^o=J — ^o=-s — -So = o
se ramène à trois quadratures, savoir :
i'' A la recherche d'une solution (quelconque) de l'équation
(2) -^ = F3(iro, jo, ^, ^, 0'
où «0,0 désigne une fonction inconnue des seules variables ^, 5, ^, et qui se déduit, par un mécanisme évident, de la troisième équation (i) ;
2° A la recherche d'une solution (quelconque) de l'équation
où Uq désigne une fonction inconnue des seules variables y, z^ s, t, et qui se déduit, par un mécanisme évident, de la deuxième équation (1);
3° A la recherche d'une solution (quelconque) de la première équation (i),
Supposons, en effet, que l'on connaisse une solution de (2), une solution de (3), et une solution de (4)- Connaissant une solution de (2), on connaîtra par là même (n" 77) celle qui répond à la condition initiale
Uo,()= '^is, t) pour z — Zo=o;
nous la désignerons par Uo,o(5, 5, t). Puis, connaissant une solution de (3), on connaîtra par là même celle qui répond à la condition initiale
"0= Uo,o(^i 5, 0 pour y — j^o^o;
nous la désignerons parUo (jK, ^, 5, t). Connaissant enfin une solution de (4)i on connaîtra par là même celle qui répond à la condition initiale
(5) i* = Uo(^r, ^, s, 0 pour X — Xq=o.
Je dis que c'est là précisément l'intégrale cherchée du système (i). Effectivement, cette dernière peut, par un groupement convenable des termes de son développement, s'écrire sous la forme
(6) u = {x — XQ)k{x,y,z,s, 0 + (r— 7o)B(jK,^, s, 0
-^ {Z — Zq) C{z, s, t) + ^{s, t),
où K[x^ y, z, s, t), B(j^, G, .9, ^), G(5, s, t) désignent certaines fonctions développables à partir des valeurs initiales des variables dont elles dépendent. En posant
(7) {z — Zo)C(z, s, t) -f- u(5, 0 = ro,o(s, s, t), la formule (6) devient
(8) u=^(x — Xo)A{x,y,z,s, ^) + (j^ —jo) 6(7, ^, 5, 0 -+- i'o,o(^, ^, 0, d'où l'on déduit
du dX dB â\\.(i
il résulte de là que, dans l'hypothèse numérique
x — XQ=y—yQ=o,
la dérivée première relative à s de l'intégrale particulière (6) du
système (i) se réduit à — p^ : si donc on introduit dans la troisième
équation (i), après substitution à a de cette intégrale, l'hypothèse numérique dont il s'agit, elle devient
—~ = F3(:ro, 70, ^, 5,0-
Ainsi, la fonction Tq^q (^,-5, t) vérifie l'équation (2); d'autre part, à cause de (7), elle remplit, vis-à-vis de cette équation, la condition initiale
^'0,0= '^(5, 0 pour z — ^0=0;
CALCUL INVERSE DE LA DÉRIVATION. l83
elle est donc forcément identique à la solution particulière Uo,o (^^ s^ t de cette même équation, et la formule (8) devient
(9) u = {x — XQ)k{x. y, z, s, 0 -^ {y — ro) B(j, z, s, t) H- Uo,o(2, s, t) Posons maintenant
(10) {y—ro)^0', 2,5, 0+ t'o,o(-3,5, 0 = Vo(jK, 2, 5, t);
la formule (9) devient
(11) u = {x — Xq) X(x,y, z, s, t) -+- \\(y, z, s, t),
d'où Ton déduit
du , , dS. dX^ '-
à y ' dy ôy .
il résulte de là que, dans l'hypothèse numérique x — ^0 = 0, la dérivée première relative à y de l'intégrale particulière (6) du système (i)
se réduit à — ^ : si donc on introduit dans la deuxième équation (i),
après substitution à a de cette intégrale, l'hypothèse numérique X — Xo = o, elle devient
Ainsi, la fonction Vq (y, 2, ^, t) vérifie l'équation (3) ; d'autre part, à cause de (10), elle remplit, vis-à-vis de cette équation, la condition
initiale
"ï'o= Uo,o(5, 5, O pour j/-— jKo=o;
elle est donc forcément identique à la solution particulière Uo {y 1^1 -5? 0 de cette même équation, et la formule (11) devient
Kyf) u = {X — ^0) A(.r, y, z, 5, t) -\- Uo(j, s, 5, 0-
Considérant enfm la formule (12), on voit que l'intégrale particulière (6) du système (i) remplit, vis-à-vis de l'équation (4), la condition initiale (5).
Ainsi se trouve achevée notre démonstration.
l84 CHAPITKE VI.
Dans le cas particulier où le système (i) est de la forme
dx •''^^ ' ' ^'
au . ,
les conditions d'intégrabilité sont évidemment satisfaites, car les deux expressions de chaque dérivée cardinale sont identiquement nulles (n^ 94); en désignant alors par
trois solutions particulières de ces équations respectives, leur somme
est évidemment une solution particulière du système donné (dont la connaissance permettra d'obtenir celle qui répond à une condition initiale arbitrairement choisie).
96. Pour obtenir, dans le cas le plus général du Calcul inverse de la dérivation, V intégrale particulière répondant à des conditions initiales données, il suffit d'exécuter un certain nombre de fois cette même recherche dans le cas du premier ordre, ce qui, d'après le numéro précédent, ramène toujours à des quadratures.
I. Etant donné un système (intégrable) S, ayant pour premiers membres diverses dérivées de l'inconnue //, et pour seconds membres des fonctions données de ^,y, ..., nous en déduirons, conformément aux indications ci-après, un système du premier ordre, S, impliquant, avec l'inconnue w, quelques-unes de ses dérivées à titre d'inconnues adjointes, et résolu par rapport à diverses dérivées (premières) des inconnues qui s'y trouvent engagées. Gomme il a été dit au n*" 90, nous écrirons les diverses équations de 1' dans les cases d'un quadrillage rectangulaire, en ne nous occupant tout d'abord que des premiers membres.
Les conditions initiales du système S ayant été mises sous la forme
CALCUL INVERSE DE I.A DÉRIVATION. l85
(schématique) spécifiée au n" 91, désignons par q l'un de
leurs premiers membres, et par Fa, p,... le second membre correspondant. Gela étant, nous prendrons dans S, pour l'une de nos inconnues,
la quantité ^ ^ ? que nous désignerons par Wa,p, ...j puis, en
supposant, pour fixer les idées, qu'il y ail cinq variables indépendantes, a:,y, 2, 5, t, et que la fonction schématique Fa, p, ... dépende de 5, t, nous écrirons dans les cases (.r), (y), (z) de la colonne (''a, p,...) les premiers membres
ôx ■ " ' dy ■ " ' dz * " '
et nous laisserons vides les cases {s) et {t) de cette même colonne; au cas où Fa, p,... se réduirait à une simple constante schématique, les cases de la colonne considérée seraient ainsi toutes pleines. Ce que nous venons de faire pour Tune des conditions initiales, nous le ferons successivement pour toutes, et nous aurons ainsi, dans notre quadrillage rectangulaire, des cases pleines et des cases vides; d'ailleurs, quelques seconds membres que nous écrivions ultérieurement dans les cases pleines, on voit, dès maintenant, que si l'on forme successivement, dans l'ancien système, puis dans le nouveau, un ensemble composé des inconnues et de leurs dérivées paramétriques, les deux ensembles ainsi obtenus se correspondent terme à terme, et que le second se déduira du premier par de simples changements de notations ; de même, et toujours aux notations près, réconoraie des conditions initiales sera identique dans les deux systèmes. Quant aux dérivées principales du nouveau système, elles coïncideront, aux notations près, les unes avec des dérivées principales, les autres avec des dérivées paramétriques de l'ancien.
Occupons-nous maintenant des seconds membres du système S, et considérons, pour fixer les idées, l'équation qui, dans S, a pour
premier membre "'^^'•••- A la notation près, ce premier membre
coïncide avec une dérivée ancienne,
qui, d'après la forme donnée aux conditions initiales de S (n" 91),
est nécessairement identique, soit au premier membre de quelqu'une de ces conditions initiales, soit à quelque dérivée principale de S : dans le premier cas, elle coïncide, à la notation près, avec quelque
inconnue adjointe de S, et nous égalerons alors — '^' ^' " à cette inconnue adjointe ; dans le second cas, quelqu'une des équations de S ou de celles qui s'en déduisent par différentiations nous fournira, pour la dérivée (t3), une expression en .^,y, ..., et nous égalerons
1 (^Wa, 3, ... , alors r^ — a cette expression.
II. D'après les relations qui existent entre les deux systèmes S et S, il est manifeste que si l'on considère, dans S, la solution particulière satisfaisant à des conditions initiales données, il y correspond, dans i], une solution satisfaisant à des conditions initiales identiques (aux notations près), et se déduisant de celle de S par la simple adjonction des dérivées qui servent d'inconnues adjointes. Pour obtenir la solution considérée de S, on partagera les colonnes du Tableau, c'est-à-dire les inconnues de S, en groupes successifs d'après l'ordre (total) croissant des notations anciennes de ces inconnues. Le dernier groupe, qui correspond à l'ordre le plus élevé, ne contiendra dans ses seconds membres que des fonctions connues de ^,y, ... (n" 91) : on l'intégrera avec les conditions initiales voulues, ce qui conduira à résoudre un certain nombre de fois le problème traité au n*' 95. Gela fait, on passera au groupe précédent, et l'on observera que ses diverses équations ont pour seconds membres, les unes des fonctions connues de x,y, ..., les autres des inconnues adjointes du dernier groupe ; en remplaçant celles-ci par les fonctions qui viennent d'être calculées, les seconds membres de l'avant-dernier groupe seront tous des fonctions connues de :r,y, ... : on l'intégrera avec les conditions initiales voulues, ce qui conduira de nouveau à résoudre un certain nombre de fois le problème traité au n° 95. De l'a\antdernier groupe on passera de même à celui qui précède, et ainsi jusqu'à épuisement des groupes.
97. Eclaircissons ces indications par quelques exemples. l. Etant donnée l'équation
âx ay dz
CALCUL INVERSE HE LA DÉRIVATION. 1 87
OÙ u désigne une fonction inconnue, et A une fonction connue des trois variables indépendantes x^y^ z, proposons-nous de l'intégrer avec les conditions initiales (n"* 84, II)
u =u(y, 5) pour X = xo,
du
— =cp(ar, 5) pour JK = Jo,
dx oy
4'(^j y) pour z = Zq.
On prendra comme inconnues les premiers membres des conditions initiales, que l'on nommera w, w^, î/'^^., et l'on formera le système du premier ordre
u ll[^ li'xy
du ,
du'x n
ôz
On intégrera la dernière colonne avec la condition initiale
"xj = 'V(^rr) pour z = zq\
puis, w^^ étant connu, la deuxième colonne avec la condition initiale
"!c=?(^, ^) pour 7=70;
enfin, u'^ étant connu, la première colonne avec la condition initiale
u — 'j( y, z) pour x = Xq.
