III. Dans le système

ày

3 = A(.-r, jK,^),

dx dz

Ox^- ày

= Cix,y,z),

où II désigne une fonction inconnue, et A, B, C trois fonctions connues des variables indépendantes x, y, z^ supposons identiquement satisfaites les conditions d'intégrabilité

(^2B dC

dx dz ~ dy^ '

dx^ ~ dy^ '

dx ày dz '

CALCUL INVERSE DE LA DÉRIVATION. l8c

et, cela étant, proposons-nous d'intégrer le système avec des conditions initiales données; ces dernières, comme on le verra par l'application de notre méthode, sont de la forme

u =cpo(x;)

pour

x — Xo=y—yo= o,

âx

dx dy

dx dy-i

= 7.1 > pour X — ^o = y — Jo='5 — ^0 = 0,

— =^(X) pour y—y^=z—ZQ=0.

A cet effet, on prendra comme inconnues les premiers membres des conditions initiales, que l'on nommera w, w^., u'y^ m^s^ w^.^, w^î, iC-y^i et l'on formera le système du premier ordre

"xy

dx '

— - = Uy

Oy ^

dU^ ,y/ dy -""■'^

du'y

Ùxy

OUy

ôx

du';.,

dx = "->'^

du'y-i.

du'xy m

ôy ^'"■^r

du;.^

dUy-i

~ dx

du'xy dB

dz ~ dy

du'.y.

ÔX

-- dy

du'ryi

dk ~ dx

du::.y.

- dr

On en intégrera les colonnes successives de droite à gauche, chaque fois avec la condition initiale voulue.

igo

SYSTÈMES ORTHONOMES.

Systèmes passifs; systèmes complètement intégrables.

98. Nous dirons qu'un système différentiel est limité ou illiinilé, suivant qu'il se compose d'un nombre limité ou illimité d'équations, et nous supposerons expressément que tout système différentiel directement donné est limité : c'est toujours, en effet, à de pareils systèmes que conduit la mise en équations des problèmes de Mathématiques appliquées.

Des intégrales particulières d'un système (limité) donné seront dites ordinaires, si, les seconds membres du système ayant été réduits à zéro par la simple transposition de leurs termes dans les premiers membres, on peut assigner quelque domaine tel, que non seulement les intégrales dont il s'agit y soient exprimables par des développements de Tayior (n" oo) construits à partir du centre, mais que, de plus, leurs valeurs, prises conjointement avec celles de leurs dérivées et des variables indépendantes, restent toujours intérieures à quelque domaine où les premiers membres du système soient exprimables de la même manière ( * ).

La substitution d'intégrales ordinaires connues dans les équations de ce système en transforme les divers premiers membres en diverses fonctions composées des variables, des intégrales, et de quelques-unes de leurs dérivées. D'après la définition même des intégrales ordinaires,

(*) Il va sans dire que les deux domaines dont l'existence est imposée par la définition ci-dessus font respectivement partie de deux espaces essentiellement différents : si l'on désigne par x^ y, ... les variables indépendantes, et par o, . . . les diverses inconnues et dérivées figurant effectivement dans les premiers membres du système, le premier de ces deux domaines fait partie de l'espace |[x, jk, •••Jh el le second de l'espace {[x, y, . . ., 8, . , .]].

SYSTÈMES ORTHONOMES. I91

et entre les limites assignées par cette définition, les règles établies pour les fonctions composées sont applicables aux premiers membres dont il s'agit; d'ailleurs, chacun d'eux étant identiquement nul après la substitution indiquée, toutes ses dérivées le sont aussi (n^ 56), et Von peut, en conséquence, différentiel' indéfiniment les relations du système. Les relations ainsi obtenues peuvent ensuite être combinées de mille manières entre elles et avec les proposées sans que l'algorithme des fonctions composées cesse d'être applicable, puis les résultats de ces combinaisons être differentiés à leur tour, et fournir les éléments de combinaisons nouvelles qui seront elles-mêmes différentiées; et ainsi de suite indéfiniment. On peut, en un mot, déduire du sjstè«ne donné une foule de relations dont chacune est identiquement satisfaite par la substitution aux inconnues d'un groupe quelconque d'intégrales ordinaires.

99. Si aux équations qui composent un système (limité) donné S on adjoint toutes celles qui s'en déduisent par de simples différenliations, le groupe illimité résultant de cette adjonction s'appellera le système S prolongé.

D'après ce qui vient d'être dit (n" 98), un groupe quelconque d'intégrales ordinaires du système S satisfait identiquement à toutes les relations du système S prolongé : dès lors, si l'on convient de considérer pour un instant les variables x^y, . . . , les fonctions inconnues w, t», ... et leurs dérivées de tous ordres comme autant de variables indépendantes distinctes, le système S prolongé ne peut manquer d'être numériquement vérifié par des valeurs particulières quelconques, Xq^ jKo, . . . , de ^, y, . . ., prises conjointement avec les valeurs correspondantes des intégrales considérées et de leurs dérivées de tous ordres (cela, bien entendu, dans les limites assignées par la définition même des intégrales ordinaires).

Inversement, supposons que, dans un domaine où les premiers membres de S soient exprimables par des développements de Taylor construits à partir du centre (les seconds membres étant supposés nuls), le système S prolongé admette quelque solution numérique; supposons en outre que, en désignant par Xq^ jKo? • • • les valeurs numériques de .27, j', ..., les développements, entiers en x — ^o? y — ^05 •••? qui ont pour coefficients, aux facteurs numériques connus près (n" o4), les valeurs numériques (figurant dans la solu-

lion considérée) de m, ^, ... et de leurs dérivées de lous ordres, soient convergents. Gela étant, les sommes des développements dont il s'agit constituent un groupe d'intégrales [évidemment ordinaires) du système S.

Désignons en effet par U, V, . . . les sommes de ces développements, et considérons, autour du point (^o: JK05 • . • ) pris comme centre, un domaine, 5^, dont les rayons soient suffisamment petits pour que les fonctions de x^ r, . . ., en lesquelles se transforment, par la substitution de U, V, ... à «, t^, . . . , les divers premiers membres de S, y soienttoutes exprimables pardes développements de Taylor construits à partir du centre (n" 59). F^ar la manière même dont les développements U, V, ... ont été construits, les valeurs initiales de ^, j, ... de U, V, ... et de leurs dérivées de tous ordres constituent la solution numérique dont l'existence a été supposée dans le système S prolongé. Donc les fonctions de ^, y, . . ., qui, après la substitution, constituent les divers premiers membres de S, sont nulles, ainsi que leurs dérivées de tous ordres, pour

x — XQ=y—yQ = ...= o,

et, par suite, sont identiquement nulles dans toute l'étendue du domaine 13 (n" o7).

100. Le théorème précédent, que nous avons déjà eu l'occasion d'appliquer dans le cas très particulier du Calcul inverse de la dérivation (n"* 76 et 93), montre quel intérêt il peut y avoir, étant donné un système diflPérentiel limité, à considérer, au point de vue des solutions numériques, tels ou tels des systèmes illimités qui s'en déduisent. Il convient de poser à cet égard la définition suivante :

Considérons deux systèmes différentiel s^ limités ou illimités, composés de relations qui aient toutes la forme entière par rapport aux dérivées d'ordre suffisamment grand des inconnues (*), et (dans certaines limites) la forme olotrope par rapport aux variables x^ y^ . . ., aux inconnues w, v^ ... et aux dérivées restantes; puis, assimilons pour un instant les quantités .r, j^, .. ., u^ v^ .., et les dérivées de tous ordres de w, t^, . . . à autant de variables indépendantes distinctes. Cela étant, si (dans une certaine région d'olotropie) toute solution numérique du premier est en même temps une solution numérique

(*) Cette condition se trouve remplie d'elle-même dans un système limité.

SYSTÈMES ORTHONOMES. '93

du second, nous dirons que le second est (dans la même région) une conséquence numérique du premier; et, si chacun d'eux est une conséquence numérique de l'autre, nous dirons que les systèmes sont numériquement équivalents.

101. Dans un système différentiel résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, les intégrales doivent, conformément à notre définition du n° 98, être qualifiées ^ordinaires, s'il existe quelque domaine tel, que non seulement les intégrales dont il s'agit y soient exprimables par des développements de Taylor construits à partir du centre, mais que, de plus, leurs valeurs, prises conjointement avec celles de leurs dérivées et des variables indépendantes, restent toujours intérieures à quelque domaine où les seconds membres du système soient exprimables de la même manière. Les théorèmes d'existence ultérieurement exposçs se rapportent tous aux intégrales ordinaires de certains systèmes différentiels possédant la double propriété d^ être résolus par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et de ne contenir dans leurs seconds membres aucune dérivée principale (n" 90).

Considérons donc un système différentiel. S, qui jouisse de cette double propriété; nous dirons qu'il est passif, si, assimilant pour un instant les variables .r, j^, . . . , les inconnues «, v, ... et leurs dérivées de tous ordres à autant de variables indépendantes distinctes, on peut, par voie d'éliminations, déduire du système S prolongé (n" 99) un système numériquement équivalent (n" 100) résolu par rapport aux dérivées principales : chacune de ces dernières se trouve ainsi exprimée à l'aide des variables indépendantes, des fonctions inconnues et de leurs dérivées paramétriques, et il va sans dire qu'à chacune d'elles est supposée correspondre, dans le système numériquement équivalent à S prolongé, une formule unique de résolution. La solution numérique générale de S prolongé est alors fournie par un groupe illimité de formules où les variables, les inconnues et leurs dérivées paramétriques de tous ordres reçoivent des valeurs arbitraires (tout au moins dans les limites où certaines restrictions dHnégalité se trouvent vérifiées pour elles), tandis que les dérivées principales se trouvent entièrement déterminées en fonctions de ces diverses quantités.

Parmi les restrictions d'inégalité auxquelles il vient d'être fait allusion, il en est une évidente, qu'il faut sous-entendre dans tous les cas : c'est que, le système S prolongé se déduisant de S par la considération des intégrales ordinaires et l'application indéfinie de la règle des fonctions composées (n"^ 62 et 64), les valeurs numériques des diverses quantités qui figurent dans les seconds membres de S ne doivent pas excéder les limites d'olotropie communes aux seconds membres dont il s'agit.

Un système passif , S, n^ admet au plus qa un seul groupe d^ intégrales répondant à des conditions initiales données (n" 90), et les développements de ces intégrales hypothétiques à partir des valeurs initiales des variables peuvent être facilement reconstruits. (On suppose expressément les conditions initiales choisies de telle façon, que toutes les restrictions d'inégalité voulues, et en particulier celle que nous venons de mentionner, se trouvent vérifiées; les intégrales hypothétiques sont alors nécessairement ordinaires.)

Effectivement, si les intégrales cherchées existent, leurs valeurs initiales, prises conjointement avec celles des variables indépendantes et de leurs dérivées principales et paramétriques de tous ordres, vérifient numériquement le système S prolongé (n" 99) : or, le système S étant passif, aux valeurs initiales données des variables indépendantes, des intégrales et de leurs dérivées paramétriques, correspond pour chaque dérivée principale^, en vertu de S prolongé, une valeur numérique et une seule. On connaît donc à la fois les valeurs initiales des variables indépendantes, celles des intégrales, et celles de leurs dérivées, principales et paramétriques, de tous ordres, c'està-dire (n" oi) tout ce qui est nécessaire pour construire les développements cherchés; celte construction n'est d'ailleurs possible que d'une seule manière.

Dans un système passif , la question de savoir si le groupe {forcément unique) d'intégrales hypothétiques répondant à des conditions initiales données existe effectivement, se résout par V affirmative dans le cas oit leurs développements construits a priori sont tous convergents, par la négative dans le cas contraire. Caria convergence de ces développements, évidemment nécessaire pour l'existence effective des intégrales cherchées, est, de plus, suffisante, en vertu du n^ 93.

Enfin, un syslème différentiel, S, jouissant de la double propriété

SYSTÈMES ORTHONOMES. igS

spécifiée au début du présent numéro, sera dit complètement intégrable, s'il admet un groupe d'intégrales, et un seul, répondante des conditions initiales arbitraire ment choisies, tout au moins dans les limites où certaines restrictions (i'i/zeo-a//^e se trou vent vérifiées pour ces dernières : on sous-entend toujours, notamment, puisqu'il s'agit d'intégrales ordinaires, que les valeurs initiales des diverses quantités figurant dans les seconds membres de S ne doivent pas excéder les limites d'olotropie communes aux seconds membres dont il s'agit.