Soient

des notations (en nombre limité) désignant, les premières diverses variables indépendantes, les dernières diverses fonctions inconnues de ces variables. A. chacune des quantités ^, y, • . . , «, (*, . . . faisons correspondre un entier (positif, nul ou négatif), que nous nommerons la cote de cette quantité; puis, considérant une dérivée d'ordre quelconque r de l'une des fonctions w, c^, .... nommons cote de la dérivée en question l'entier obtenu en ajoutant à la cote de la fonction celles des r variables de différentiation.

Supposons maintenant que les cotes respectives des diverses variables indépendantes soient toutes égales à i, celles des fonctions inconnues étant quelconques; puis, considérant, soit une fonction composée différentielle de w, v^ ... (n'' 60), soit une relation différentielle entre w, p, ..,, nommons cote de l'expression ou de la relation dont il s'agit la cote maxima des inconnues et dérivées qui j figurent effectivement (n° 94) (abstraction totale étant faite, dans cette évaluation, des variables indépendantes elles-mêmes). Gela étant, il est clair que toute différentiation première exécutée, suivant l'algorithme des fonctions composées, sur l'expression ou la relation considérée augmente d'une unité la cote de cette dernière. En particulier, si l'on considère une relation différentielle ayant pour premier membre quelque dérivée d'inconnue et pour second membre quelque expression de cote au plus égale à celle du premier membre, et si sur celte relation on exécute des différentiations en nombre quelconque, en remplaçant, avant ou après quelques-unes de ces différentiations, telles ou telles des dérivées qui figurent dans le second membre par des expressions de cotes respectivement inférieures ou

égales à celles des dérivées remplacées, le second membre de la relation résultante est, lui aussi, de cote au plus égale à celle du premier membre.

Observons encore qu'en désignant par cp la cote minima des diverses fonctions inconnues, toute dérivée d'ordre n de ces dernières aura une cote au moins égale à n -f- ^, puisque la cote de toute variable indépendante est égale à i . Il résulte de là que la cote d'une dérivée d'ordre quelconque ne tombe jamais au-dessous de 1 + cp, et que, si l'on désigne par c un entier déterminé quelconque (n'excédant pas cette limite), le nombre des dérivées possédant une cote égale à c est essentiellement limité.

103. Considérons un système différentiel, S, impliquant les fonctions inconnues 11^ r, . . . des variables indépendantes ^, j, . . . , et satisfaisant aux diverses conditions A^ B^ C, formulées ci-après :

A . Le système S est résolu par rapport à diverses dérivées des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et les seconds membres sont indépendants de toute dérivée principale.

B. En attribuant, dans toutes les équations du système, aux variables indépendantes des cotes respectives toutes égales à i, et aux inconnues des cotes respectives convenablement choisies, chaque second membre ne contient, outre les variables indépendantes, que des quantités [inconnues ou dérivées) dont la cote ne surpasse pas celle du premier membre correspondant.

Désignant alors par 0 la cote minima et par A la cote maxima des premiers membres de S, partageons les équations proposées en groupes successifs d'après les cotes croissantes,

ô, 8 + 1, ..., A, de leurs premiers membres, et soient

les groupes successifs dont il s'agit. Considérant ensuite le système S prolongé (n° 99), partageons-en de même les relations en groupes (limités) successifs,

(2) Sg, Sg-f-i, ..., Saj Sa-)-i, •••,

SYSTÈMES ORTHONOMES. 197

d'après les cotes croissantes de leurs premiers membres (n^ 102). Relativement à ces groupes, nous noterons les observations suivantes :

1° Les groupes (i) se trouvent respectivement compris dans

SSt Sg-t-i, . . ., s^,

et le premier d'entre eux, 5g, est identique à Sg.

2*^ Si l'on désigne par G un entier (algébrique) quelconque au moins égal à ô, le groupe général, S^, de la suite (2) a pour premiers membres (avec répétitions possibles, mais sans omission) les diverses dérivées principales de cote G; chaque second membre est itidépendant de la dérivée principale qui constitue le premier membre correspondant, mais peut contenir, outre les variables x^y^ . . ., diverses autres quantités (inconnues ou dérivées) de cote inférieure ou égal© à G.

3" Le premier des groupes (2), Sg, identique, comme nous l'avons dit, à 5g, se trouve résolu par rapport aux dérivées principales de cote 8; chacun des groupes

Sg+i, ..., Sa,

composé d'équations en nombre au moins égal à celui des dérivées principales de cote égale à son indice, est linéaire par rapport à ces dernières, et les coefficients des dérivées dont il s'agit (coefficients identiques, au signe près, les uns à l'unité, les autres à certaines dérivées partielles du premier ordre des seconds membres de S) dépendent uniquement des variables x^y^ ..., des inconnues «, ^, ..., et des quelques dérivées paramétriques figurant dans les seconds membres de S; enfin, chacun des groupes

SA-f-i5 Sa-4-2, •••,

composé d'équations en nombre au moins égal à celui des dérivées principales de cote égale à son indice, est linéaire par rapport aux dérivées, tant principales que paramétriques, de même cote^ et une remarque toute semblable à la précédente s'applique aux coefficients de ces dérivées.

4^ Si du groupe Sf;.on extrait un groupe partiel composé d'équations en nombre exactement égal à celui des dérivées principales de cote G, ce groupe partiel possède, par rapport aux dérivées princi-

igS ciiAPiTRii: VII.

pales de cote G, un déterminant différentiel qui est une fonction des variables x,y, ..., des inconnues w, i', ..., et des quelques dérivées paramétriques figurant dans les seconds membres de S. 5" Enfin, si, des groupes (en nombre limité)

on extrait respectivement des groupes,

composés d'équations en nombres respectivement égaux à ceux des dérivées principales de cotes

ô, 8-Hi, ..., G,

et si, dans chacun des groupes (3), on considère le déterminant différentiel relatif aux dérivées principales de cote égale à son indice, l'ensemble des groupes (3) possède, par rapport à l'ensemble de ces dérivées principales, un déterminant différentiel qui est le produit de tous les précédents (en sorte que sa non-nullité, si elle a lieu, entraîne celle de tous les précédents, et réciproquement).

Gela étant, nous adjoindrons aux deux hypothèses A et B^ cidessus énoncées, l'hypothèse suivante :

C. En imposant éventuellement aux valeurs numériques des quantités qui figurent dans les seconds membres de S telles ou telles restrictions d'inégalité, on peut, des groupes successifs (en nombre illimité)

Sg? Sg-f-i, . . . , Se, . . . ,

extraire respectivement des groupes,

(4) ti, ^g+i, ..., ^c. .-.,

tels que V un quelconque d'entre eux, ^c, composé d^ équations en nombre exactement égal à celui des dérivées principales de cote G, soit résoluble par rapport à elles. Les groupes partiels (4) sont alors successivement résolubles par rapport aux dérivées principales de cotes

et cela quelles que soient (sauf les restrictions éventuelles d' inéga-

SYSTÈMES ORTHONOMES. T99

lité auxquelles il est fait allusion plus haut) les valeurs numériques attribuées aux variables x^ r, ..., aux inconnues ;/, t^, ... et aux dérivées paramétriques.

Gela posé, et les conditions A ^ B^ C, ci-dessus énoncées^ étant supposées satisfaites :

i" Le système S admet au plus un groupe d'intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données : car, en attribuant aux variables indépendantes, aux intégrales hypothétiques, et à leurs dérivées paramétriques de tous ordres, les valeurs initiales choisies, le système illimité (4), extrait de S prolongé, fournit pour chaque dérivée principale une valeur correspondante unique.

2° Pour que le système S soit passif , il faut et il suffit que l'élimination des dérivées principales de cotes

effectuée entre les équations

Soi Sg-i-i, . . . , oc,

conduise, quel que soit G, à des identités (c'est-à-dire à des relations que vérifient toutes valeurs numériques des quantités x^ y^ ..., w, t», ... et des dérivées paramétriques, considérées comme autant de variables indépendantes distinctes).

Si l'on considère, en effet, les deux systèmes illimités

Sg, Sg-f-i, ..., Se, ...,

^g, ^§4-1, ..., te, ...,

le second est, en vertu de nos hypothèses, résoluble par rapport aux dérivées principales; il est d'ailleurs conséquence numérique du premier, puisqu'il en fait partie. Pour que, inversement, le premier, c'est-à-dire S prolongé, soit conséquence numérique du second, il faut et il suffit que, pour toutes valeurs numériques attribuées à x^y^ ..., w, v^ ... et aux dérivées paramétriques, les valeurs fournies par le second système pour les dérivées principales vérifient les équa tions restantes du premier; il est donc nécessaire et suffisant que,

dans le système

Sg, Sg+i, . • . , Se,

où ne figurent, avec x, j', ..., que des quantités de cote G ou de cote

200 • CHAPITRE Vil.

inférieure, l'élimination spécifiée par notre énoncé conduise, quelque soit G, à des identités.

On se rend très bien compte, d'après cela, d'où peut provenir, dans le système proposé S, la non-existence eftective des intégrales hypothétiques répondant à des conditions initiales données. Si le système S est passif, elle ne peut provenir, comme nous l'avons déjà vu (n° 101 ), que de la divergence de quelques-uns de leurs développements, construits a priori. Mais, dans le cas contraire, elle peut provenir aussi (et provient, en fait, beaucoup plus souvent) de ce que le système S prolongé, à l'aide duquel on doit déterminer les valeurs initiales des dérivées principales, contient des équations incompatibles : on peut en eft'et, si S n'est point passif, déduire de S prolongé, par voie d'éliminations, quelque relation non identique entre Xyy, ..., w, v^ ... et diverses dérivées paramétriques, et il suffit alors, pour que l'incompatibilité ait lieu, que les valeurs numériques assignées à ces dernières quantités dans l'ensemble des conditions initiales ne vérifient pas la relation considérée.

3"^ Pour que le système S soit complètement intégrahle (n" 101 ), il faut et il suffit, en premier lieu, qiH il soit passif , et, en second lieu, que les développements [construits a priori) des intégrales hypothétiques qui J'épondent à des conditions initiales arbitraires admettent toujours quelque domaine de conçergence.

Cette double condition, suffisante, en vertu du n'' 101, pour l'intégrabilité complète du système S, est de plus nécessaire.

Si l'on suppose, en effet, que le système S admette un groupe d'intégrales effectives répondant à des déterminations initiales (convergentes) arbitrairement choisies, il admet, en particulier, un groupe d'intégrales tel, que, pour des valeurs arbitrairement choisies des variables, les inconnues et leurs dérivées paramétriques de cote inférieure ou égale à un entier algébrique donné G prennent des valeurs arbitrairement choisies, tandis que les dérivées paramétriques restantes prennent toutes la valeur zéro. Il en résulte que le système

Soî Sg-4-i, . . . , Se,

où ne figurent, avec x^y^...^ que des quantités de cote inférieure ou égale à G, admet, au point de vue numérique, une solution générale où x^y^ ..., «, (^, ... et les dérivées paramétriques de cote inférieure ou égale à G ont des valeurs arbitraires; l'élimination ci-dessus

SYSTEMES ORTHONOMES. 20I

indiquée (2'') conduit donc forcément à des identités, d'où l'on conclut, puisque C est quelconque, que le système S est passif.

Cela étant, puisque à des déterminations initiales convergentes correspondent toujours, par hypothèse, des intégrales eft'ectives, les portions restantes des développements seront elles-mêmes toujours convergentes.

Déânition des systèmes orthonomes.

lOi. Soient, comme au n" 102,

des notations (en nombre limité) désignant, les premières diverses variables indépendantes, les dernières diverses fonctions inconnues de ces variables. A chacune de ces quantités attribuons p cotes successsives arbitrairement choisies (p^i). Désignons enfin par 0, 8' deux quantités appartenant à l'ensemble que forment les fonctions «, f, ... et leurs dérivées de tous ordres, par

Cj, C2, ... 1 ^P)

les cotes respective» de ces deux quantités, et convenons de dire que 0' est normale ou anormale par rapport à 8, suivant que les difierences successives

Cl Cj, C2 C2, •.'5 (^p Cp

satisfont ou non à la double condition : 1° que ces différences ne soient pas toutes nulles; 2° que la première d'entre elles non égale à zéro soit positive.

Considérons maintenant un système différentiel impliquant les fonctions inconnues u, t', ... des variables indépendantes ^,y, ..., et possédant, comme dans l'hypothèse A du n" 103, la double propriété: i** d'être résolu par rapport à diverses dérivées de ces inconnues ; 2*^ de ne contenir dans ses seconds membres aucune dérivée principale. Puis, à chacune des quantités x, y, ...^ u, v, ...^ attribuons, conformément aux indications qui précèdent, p cotes successives, sous la seule condition que les cotes premières de toutes les varia-

bles indépendantes aient pour valeur commune V unité. Cela étant, le système considéré sera dit orthonome, si, moyennant un choix convenable de l'entier/? et des cotes que 1 on a commencé par attribuer aux variables et aux inconnues, chaque second membre ne contient effectivement, outre les variables indépendantes, que des quantités (inconnues ou dérivées) qui soient normales par rapport au premier membre correspondant (* ).

(') La définition que nous avions donnée tout d'abord des systèmes orthonomes, dans le Mémoire intitulé : Sur une question fondamentale du Calcul intégral {Acta mathematica, t. XXIII, p. sSg), supposait égales à un même entier positif quelconque les cotes premières de toutes les variables indépendantes : mais on peut, sans restreindre la généralité de cette définition, supposer que l'entier positif dont il s'agit est égal à i.

Effectivement, soient :

X, jK, ••• les variables indépendantes;

u, V. ... les fonctions inconnues;

c' la cote première (positive) commune à toutes les variables x, y, ..,, et c'„, cl, ...

les cotes premières respectives des inconnues u, v, ...; c%, c'y, . . ., cl, c'I, ... les cotes secondes respectives de x, y, . . . , u, v, . . . ;

Cxi (y\ •••> c[l'\ éj'\ ... les cotes/?'*"" respectives des mêmes quantités.

Cela posé, nous attribuerons, comme il suii, à chacune des quantités x, y, ..., u, V, , . ., une cote supplémentaire que nous considérerons comme antérieure à celles que possède déjà cette quantité : nous afTecterons d'abord x, y, ... des cotes respectives I, I, ...; désignant ensuite par c„ le plus grand entier algébrique qui ne surpasse

pas -4» par c^ le plus grand entier algébrique qui ne surpasse pas -^) etc., nous

affecterons les inconnues u, ç, ... des cotes respectives c„, c^,, .... Les entiers c', c'u, cl, ..., c„, Cy, ... satisfont évidemment aux relations

<- cj, ^ ^ cl

o=7-c„<i, oS__c,<i,

Pour plus de netteté, nous réunirons dans le Tableau suivant les p-^i cotes successives qui se trouvent actuellement attribuées à chacune des quantités x, y, . . ., u, V, ... :

En supprimant de ce Tableau la première ligne

on retombe, naturellement, sur l'ancien système de cotes.

Cela étant, il suffit, pour établir le point que nous avons en vue, de considérer

C'ui

cl, ...

cl,

ci'\

ér\ ...

SYSTÈMES ORTHONOMES. 203

lOo. Exemples — I. Considérant d'abord une fonction inconnue, «, des variables indépendanles ^, y, ..., 5, ^, nous rangerons comme il suit, sur une ligne indéfinie allant de droite à gauche, les dérivées de tous ordres de cette fonction. A l'extrême droite de la ligne nous

deux quantités quelconques appartenant l'une et l'autre à l'ensemble que forment les fonctions m, v^ ... et leurs dérivées de tous ordres, et de faire voir que si la seconde est, dans l'ancien système de cotes, normale vis-à-vis de la première, elle jouit de la même propriété dans le nouveau.

Désignons à cet effet par (v, et «v^ deux quantités, distinctes ou non, prises dans le groupe u, V, et soient

deux dérivées (d'ordre positif ou nul) de ces quantités respectives. Je dis tout d'abord qu'en supposant vérifiée la relation

on a nécessairement aussi

(4') (c.^-Ha,+ Pi-f-...) - (c^^+a2+ ^^-t...)^o.

Effectivement, la relation (3') peut s'écrire

Or, chacune des parenthèses figurant au second membre de cette dernière relation est une quantité non négative et moindre que i ; leur différence est donc algébriquement supérieure à — i, et à plus forte raison le premier membre; finalement, ce premier membre, étant un entier, ne peut être que supérieur ou égal à zéro, ce qu'exprime justement la relation (4')-

Cela étant, supposons que, dans l'ancien système de cotes, la quantité (2') soit normale vis-à-vis de la quantité (i'), ou, en d'autres ternies, que les différences

K, -H(a,+ lâ,4-...)c'] [c;^H-(a2-l-132-h...)c'],

ne soient pas toutes nulles, et que la première d'entre elles qui ne s'évanouit pas soit positive. La relation (3') se trouve alors nécessairement vérifiée, et par suite

2o4 chapitrh: vu.

placerons le groupe des dérivées premières, puis à gauche de celui-ci le groupe des dérivées secondes, puis à gauche de ce dernier le groupe des dérivées troisièmes, et ainsi de suite indéfiniment. Adoptant ensuite pour les variables indépendantes un ordre quelconque, par

exemple

x^ y, ' • • 1 s, t , et désignant par

a, ^, ..., l, Il

les ordres partiels d'une dérivée quelconque de a par rapport à ces variables respectives, nous partagerons chacun des groupes précédents en sous-groupes, qui se succéderont de gauche à droite suivant les valeurs décroissantes de l'or<lre partiel a; puis, chacun des sousgroupes ainsi obtenus en nouveaux sous-groupes, qui se succéderont de gauche à droite suivant les valeurs décroissantes de l'ordre partiel [3; et ainsi de suite jusqu'à l'ordre partiel à (inclusivement). Chacun des groupes définitifs se compose alors d'une dérivée unique, et les dérivées de tous ordres de u se trouvent rangées, sur la ligne indéfinie, dans un ordre bien déterminé. Cela étant, nous dirons qu'une dérivée quelconque de u est antérieure on postérieure à une autre, selon que, dans la suite obtenue, elle figure à gauche ou à droite de cette autre. Si donc on désigne par

les ordres partiels relatifs à ^, j^, . . ., 5, ^ de deux dérivées de u^ et

qu'on pose

a' H- ^' -t- . . . -f- X' -+- [jl' = /:',

a" -h ^" H- . , . + X" H- \j!' = k", les conditions nécessaires et suffisantes pour que la première dérivée

aussi la relation (4); il est aisé d'en conclure que si, en tète de différences (5'), on écrit la différence

(C«,^ + ai + pi H- . . . ) — (c^__ -,- «2 + P2 -h . . . ),

la suite ainsi obtenue jouira, elle aussi, de la propriété que nous avons, p(ar hypothèse, attribuée à la suite (5'). En d'autres termes, la quantité (2 ) sera, dans le nouveau système de cotes, normale vis-à-vis de îa quantité (i'), ce qu'il s'agissait d'établir.

SYSTÈMES ORTHONOMKS. 105

soit antérieure à la seconde sont : i° que les différences /-' — A-", ol'—cx.\ '3'— P', ..., X' — X"

ne soient pas toutes nulles; 2" que la première non égale à zéro soit positive.

Considérons maintenant un système différentiel impliquant les m fonctions inconnues

Ml, M2, . . . , U//1

des h variables indépendantes

et résolu par rapport aux m dérivées

OÙ

ai -H^i -{-... + Xi -^ [^1 = ku

«2 + h^2 ^...+ X2 -h [Jl2 =^'2,

supposons en outre que les seconds membres du système ne renferment, outre les h variables indépendantes, que les m fonctions inconnues m,, W27 •••5 Umi et celles d'entre leurs dérivées qui sont respectivement postérieures aux m dérivées (i). Gela étant, il est aisé de reconnaître que notre système satisfait de tous points à la définition de l'orthonomie.

En premier lieu, les seconds membres y sont manifestement indépendants de toute dérivée principale.

D'un autre côté, attribuons aux variables et aux inconnues les cotes suivantes :

Wi,

Cote i"^*....

-ku

Cote 2«

Cote 3"

-Pi,

Cote A''-"*..

-Xi,

En désignant par i un entier quelconque de la suite i, 2, .. ., m,

2o6 CHAPITRE VII.

l'équation qui a pour premier membre

ne peut, d'après les conditions imposées à notre système, contenir dans son second membre (outre les variables indépendantes) que

Uj (j =h 2, ..., m)

et les diverses dérivées de uj postérieures à la dérivée

âx-^'-i àyPi. . . âs^i dtV-i

Or, les h cotes du premier membre (2) sont toutes nulles, celles de la fonction Uj sont respectivement égales à

(4) — kj, — ay, — py, . . . , — Xy,

et celles de la dérivée

dkuj

(a+p-i-...-+-X-4-îx=A')

(6) k — kj, CC—CLj, 3 — Py, ..., A — Aj.

En comparant alors successivement, comme on doit le faire d'après la définition de l'orthonomie, les nombres (4), puis les nombres (6), aux h cotes toutes nulles de la dérivée (2), on trouve, pour les diflerences à former, les valeurs

(7) ^V' «y-' h^ ■■> '^J et

(8) kj-k, OLj-:C, ^j-^, ..., Xy-X.

Le premier des nombres (7), /ry, est essentiellement positif; si l'on suppose d'ailleurs la dérivée (5) postérieure à la dérivée (3), les différences (8), d'après ce qui a été dit au début, ne sont pas toutes nulles, et la première qui ne s'évanouit pas est positive. L'inconnue 11 j et ses diverses dérivées postérieures à la dérivée (3) sont donc normales par rapport à la dérivée (2), ce qui entraîne la nature orthonome du système.

SYSTÈMES ORTHONOMES. 207

II. Dans le Mémoire cité au début du présent Ouvrage ( * ), M'"'' de Kowalevsky considère un système partiel composé d'équations en nombre égal à celui des fonctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et tel, qu'en désignant par

Wl, Ui, ..., U„i

les inconnues dont il s'agit, et par

les ordres respectifs du système par rapport à elles, ce dernier soit résoluble par rapport aux dérivées

toutes relatives à une même variable x. Or, il est aisé de voir que, cette résolution une fois effectuée, le système résultant satisfait à la définition de l'orthonomie : il suffit, pour s'en convaincre, de faire, dans l'exemple précédent, les hypothèses particulières

y.^ =ki, [3i =. . .= Xi =r fj.1 r= o,

=^ ^m, fiyn = ...= X

/Il — h* m

Nous rencontrerons, dans la suite, maint exemple de système orthonome.

106 (-). Si, dans un système différentiel résolu par rapport à diverses dérivées des inconnues, on attribue (comme au n" lOi)

( ' ) Voir la Préface.

(') Une partie des conclusions auxquelles conduit l'élude des systèmes orthonomes s'applique, avec quelques modifications, aux systèmes que j'ai nommés orthoïques [Sur une question fondamentale du Catcul intégral (Acta mathematica, t. XXIII, p. 281 et suiv.)J, c'est-à-dire à ceux où les cotes premières des diverses variables indépendantes, au lieu d'être toutes égales à 1, sont respectivement égales à divers entiers positifs : si ces derniers sont égaux entre eux, on retombe, comme nous l'avons fait observer plus haut {voir \a note du n° lOi ), sur les systèmes orthonomes, objet du présent Chapitre; s'ils sont inégaux, la passivité du système s'exprime encore à l'aide d'un nombre fini de relations qui doivent être identiquement vérifiées, et les développements des intégrales hypothétiques répondant à des conditions initiale-; données peuvent encore être construits a priori, mais la convergence de ces développements cesse d'être assurée.

1o8 CHAPITRE VII.

p cotes successives à chacune des variables et des inconnues, sous la seule condition que les cotes premières des variables indépendantes aient pour valeur commune l'unité, l'ensemble illimité que forment les dérivées principales des inconnues se partage, d'après une loi déterminée, en ensembles limités successifs satisfaisant à la condition suivante :

Si Von désigne par 3, 8' deux dérivées principales quelconques, la dérivée S' est normale ou anormale vis-à-vis de o, suivant que l'ensemble partiel où figure h' précède ou non celui où figure S.

C'est ce qui a lieu, notamment, dans un système orthonome.

On partagera d'abord les dérivées principales des inconnues en ensembles successifs d'après leurs cotes premières croissantes (ces ensembles seront nécessairement limités, ainsi qu'il résulte d'une observation faite au n" 102); chaque ensemble ainsi obtenu sera, toutes les fois qu'il y aura lieu, partagé en ensembles partiels successifs d'après les cotes secondes croissantes des dérivées qui le composent; puis, chacun des ensembles résultants en ensembles partiels successifs d'après les cotes troisièmes croissantes de ses termes ; et ainsi jusqu'à épuisement des p cotes. L'ensemble illimité formé par les dérivées principales se trouvera finalement partagé en ensembles limités se succédant suivant une certaine loi, et l'on voit immédiatement que, par rapport à une dérivée quelconque figurant dans l'ensemble partiel de rang N, les dérivées figurant dans les ensembles partiels de rangs i, 2, . . ., N — 1 sont toutes normales, tandis que les dérivées figurant dans les ensembles partiels de rangs N, N H- i , ... sont toutes anormales. C'est ce qu'il s'agissait de prouver.

Si maintenant on convient de dire qu'une dérivée principale est de classe i, 2, 3, ... suivant qu'elle appartient au premier, au second, au troisième, . . . des ensembles successifs formés ci-dessus, notre théorème peut encore s'exprimer en disant que toute dérivée principale est normale ou anormale relativement à une autre suivant qu'elle est ou non de classe inférieure à cette autre.

On observera que toute dérivée d'une dérivée principale est de classe supérieure à cette dernière : car, la cote première de toute variable indépendante étant égale à i , toute diffère ntiation exécutée sur quelqu'une des fonctions inconnues ou de leurs dérivées a pour effet d'augmenter la cote première.

SYSTÈMES ORTHONOMES. 209

107. Un système orthonome étant donné, parmi les relations, en nombre infini, qu'on en peut déduire à l'aide de différentiations et d'éliminations (n" 98), nous distinguerons spécialement celles qui, ayant pour premier membre une dérivée de quelque fonction inconnue, ne contiennent dans leur second membre aucune quantité (inconnue ou dérivée) anormale relativement au premier; et nous dirons, pour abréger, qu'une semblable relation est normale, comme aussi l'expression fournie par elle pour la dérivée qui figure dans son premier membre.

Celte définition posée, nous établirons ce qui suit :

Si sur une relation normale on exécute des différentiations quelconques, en remplaçant, avant ou après quelques-unes de ces différentiations, telles ou telles des dérivées qui figurent dans le second membre par des expressions normales des dérivées en question, on tombe encore sur une relation normale,

1. Suivant que la quantité V est normale ou anormale vis-à-vis de la quantité o (n*' 104), la dérivée ^^^ ^^^^ — possède V une ou

Vautre propriété vis-à-vis de la dérivée Car, en désignant par

da-\-b-\-...^

Cl, 02,

Cl,

les cotes respectives de o, 8', x, y^ . . ., les différences

hn.

Cl C.2,

sont respectivement égales aux différences

(ci -h agx ^ bhi -¥-.. .) — (c\ -H (2^1 + bhi -h. . .), (c, -+-a^2 H- bhi -h.. .) — (c2 4-a^2 -+■ bh^ +...),

(Cp-ha^pH- bhf,^ . , .) — {c'p-h agp-^- bhi,^ . . .) (i).

(') La démonstration de l'alinéa I ne nécessite aucune hypothèse spéciale sur les •cotes premières des variables indépendantes.

210 CHAPITRE Vil.

II. Si la quantité o" est normale vis-à-vis de la quantité 8', et celle-ci noî^male vis-à-vis de la quantité 5, la première, V ^ jouit de la même propriété vis-à-vis de la dernière, ù.

Si l'on désigne, en effet, par

Cl, C2, ♦ • • , C p, Cj , C2, . . . , Cp,

les cotes respectives de 8, 8', 8'^, et si l'on considère les différences

Cl — c'i, C2 — C2, ..., Cp — c'p, Cl Cl, C2 C2, •••5 Cp Cp,

C\ Cj, Co C25 ' ' • 1 c p C p ,

rangées, comme nous venons de les écrire, en un Tableau rectanguaire, il résulte de nos hypothèses que, dans chacune des deux premières lignes horizontales du Tableau, les différences ne sont pas toutes nulles, et que la première non égale à zéro y est positive; comme d'ailleurs la dernière différence de chaque colonne verticale est égale à la somme des deux différences placées au-dessus d'elle, la dernière ligne horizontale jouit évidemment de la même propriété que les deux premières ( * ).

III. Si sur une relation normale on exécute des diffère ntialions quelconques, on tombe sur une relation de même nature.

Soit en effet

(9) 2 =fi^^y^ ...,6', ...)

une relation normale, dans laquelle 8', . . . désignent, conformément à nos définitions, des quantités toutes normales par rapport à 8. La relation déduite de (9) par une différentiation relative à ^ a pour

premier membre -r-y et son second membre ne contient, outre les

variables indépendantes, que les quantités 8^, ... et leurs dérivées premières par rapport à x. Or, les quantités 0', ... étant normales

vis-a-vis de ô, les quantités —, ••• jouissent de la même propriété (') Même observation que pour Talinéa I.

SYSTEMES ORTHONOAIES. 211

vis-à-vis de — (I); d'un autre côlé, si l'on désigne par c<, c', , . . .^ g^

les cotes premières respectives de o, 8', . . ., x^ cette même hypothèse entraîne, entre les cotes premières de ô et 8', la relation

d'où l'on déduit, à cause de »-, >► o,

(Cl +;?•,)— c'i>o,

et, des lors, Ja quantité ù' est normale vis-a-vis de -r- <

Ainsi, la condition formulée dans la définition d'une relation normale ne cesse pas d'être satisfaite après une première différentiation exécutée sur la relation donnée. En vertu du même raisonnement, appliqué à la relation résultante, elle ne cesse pas de l'être après une deuxième, et ainsi de suite quel que soit le nombre des différentiations {*).

IV. Si, dans le second membre d^une relation normale, on remplace telles ou telles dérivées par certaines de leurs expressions normales, on tombe encore sur une relation normale.

Désignons par 8 le premier membre de la relation donnée, et par o' l'une des dérivées figurant au second membre; puis, considérant une expression normale de 8', nommons o" Fune des inconnues ou dérivées qui y figurent. La quantité o" étant normale vis-à-vis de ô', et ù' normale vis-à-vis de ô, la quantité 8" jouit de la même propriété vis-à-vis de 8 (II) : en conséquence, les substitutions opérées dans le second membre de la relation donnée ne peuvent altérer la nature normale de cette dernière (^).

V. Le simple rapprochement des alinéas III et IV prouve dans toute sa généralité l'exactitude de notre énoncé.

108. Tout système orthonome satisfait aux trois conditions A ^ B, C du n- 103.

(') La dérnonslration de l'alinéa III suppose simplement que les cotes premières des diverses variables indépendantes sont toutes positives. (^) Même observation que pour les alinéas I et II.

Effectivement :

1° Un système orthonome se trouve, comme le spécifie notre définition du n*' lOi, résolu par rapport à diverses dérivées des ionctions inconnues qui s'y trouvent engagées, et les seconds membres y sont indépendants de toute dérivée principale, ce qui est l'énoncé même de la condition A .

2" Dans un système orthonome, les cotes premières des variables indépendantes ont pour valeur commune l'unité; chaque second membre ne contient d'ailleurs, outre les variables indépendantes, que des quantités (inconnues ou dérivées) qui soient normales par rapport au premier membre correspondant; enfin, toute quantité normale par rapport à un premier membre possède une cote première au plus égale à celle de ce premier membre. La condition B se trouve donc satisfaite moyennant l'attribution aux variables et aux inconnues de leurs cotes premières respectives.

3° Etant donné un système orthonome, chacune des relations qui le composent est, par hypothèse, normale; et, en vertu du n" 107, toute relation appartenant au système prolongé (n" 99) jouit de cette même propriété. Nous avons constaté, d'autre part (n° 106), que toute dérivée principale est normale ou anormale relativement à une autre dérivée principale, suivant qu'elle est ou non de classe inférieure à cette autre : il suit de là qu'une relation quelconque du système prolongé ne contient dans son second membre d'autres dérivées principales que celles de classe inférieure à son premier membre. Gela étant, partageons les relations du système prolongé en groupes successifs d'après les cotes premières croissantes de leurs premiers membres, et soient o la cote première minima des premiers membres du système,

les groupes successifs dont il s'agit; partageons ensuite ces derniers (comme au n" 106) en sous-groupes successifs d'après les classes croissantes des premiers membres, et soient 9^, 6^ + 1, ..., S^^ les classes croissantes des sous-groupes provenant de Sq. Extrayons enfin, du sous-groupe correspondant à une classe quelconque, un sousgroupe partiel ayant pour premiers membres, sans omission ni répétition, les dérivées principales de même classe, et soient

('^) 'a . "^fl -4-1' • • •' 'fit

SYSTÈMES ORTHONOMES. 21 3

les sous-groupes partiels correspondant respectivement aux classes

8c, Oè+i, ..., ec.

Chacun des groupes (lo), ne contenant dans ses seconds membres, ainsi qu'il a été dit, d'autres dérivées principales que celles de classe inférieure à ses premiers membres, se trouvera, en fait, résolu par rapport aux dérivées principales de classe égale, et les groupes (lo) seront, dès lors, successivement résolubles par rapport aux dérivées principales de classes

On pourra donc, du groupe S^, extraire un groupe, ^^5 composé d'équations en nombre exactement égal à celui des dérivées principales de cote première G, et résoluble par rapport à elles. La condition C du n" 103 se trouve ainsi satisfaite.

Pour qu'un système orthonome soit complètement intégrable, il est donc nécessaire et suffisant (n** 103), en premier lieu, qu'il soit passif, et, en second lieu, que les développements (construits a priori) des intégrales hypothétiques qui répondent à des conditions initiales arbitraires admettent toujours quelque domaine de convergence.

Nous nous occuperons tout d'abord de la passivité. Dans le cas où deux premiers membres au moins sont des dérivées d'une même inconnue, il semble, d'après ce qui a été dit plus haut (n" 103), qu'on ne puisse en général exprimer la passivité qu'à l'aide d'un nombre infini de relations dont chacune doit être identiquement vérifiée : ces identités toutefois, ainsi que nous allons l'établir, résultent, à titre de conséquences nécessaires, d'un nombre essentiellement limité d'entre elles.

Règle provisoire de passivité d'un système orthonome.

109. Etant donné un système orthonome, nous qualifierons, pour abréger, de primitives, par opposition à d'autres qui vont être formées dans un instant, les diverses relations du système prolongé, comme aussi les expressions fournies par elles pour les dérivées principales. Un mécanisme très simple, appliqué à ces relations primitives.

2l4 CHAPITRE VII.

permet, comme nous allons le voir, d'en déduire, pour les dérivées principales des classes successives, certaines expressions dépendant exclusivement des variables, des fonctions inconnues et de leurs dérivées paramétriques.

Les relations primitives étant partagées en groupes successifs d'après les classes croissantes i, 2, 3, ... de leurs premiers membres, désignons par ^1 ou par IK, indifféremment le premier de ces groupes, par 'P^i ^3? ••• les groupes suivants. Une dérivée principale de première classe ne peut évidemment se déduire par dérivation d'aucun premier membre du système, car elle serait alors de classe supérieure à ce premier membre (n" 106), par suite, de classe supérieure à la classe minima, qui est i : il en résulte que les expressions primitives des dérivées dont il s'agit sont toutes fournies par des équations du système donné, ou, en d'autres termes^ que ^1, fait partie du système donné (non prolongé), et, comme ce dernier a par hypothèse ses premiers membres tous distincts, il en est de même de '^^. Mais, si l'on considère les groupes suivants, P^? P37 -.-^ ils peuvent, et c'est ce qui a lieu fréquemment, présenter plusieurs fois un même premier membre.

Gela étant, remplaçons dans les relations ^2 chacune des dérivées principales de première classe par son expression (unique) tirée de K, : comme une semblable expression dépend exclusivement des variables, des fonctions inconnues et de leurs dérivées paramétriques, le groupe des relations résultantes, lio? fournira, pour les dérivées principales de seconde classe, des expressions jouissant de la même propriété. Considérons ensuite les relations ^3, et éliminons-en de toutes les manières possibles, à l'aide de \(i, K^? les dérivées principales des deux premières classes ; autrement dit, extrayons du groupe [IKi, Ko] un groupe partiel fournissant une expression et une seule pour chacune des dérivées principales des deux premières classes, éliminons ces dernières entre I.I3 et les relations ainsi obtenues, et répétons l'opération en remplaçant successivement le groupe partiel considéré par tous les groupes analogues semblablement extraits de [K<, Ka]. 11 est clair que le groupe des relations résultantes, II3, fournira, pour les dérivées principales de troisième classe, des expressions ne dépendant, comme les seconds membres de "U, et M.,^ que des variables, des fonctions inconnues et de leurs dérivées paramétriques. L'élimination des dérivées principales des trois premières

SYSTÈMES ORTHONOMES. 2l5

classes, effectuée dans ^j^ de toutes les manières possibles à l'aide de ["U,, lio, ^3]? conduira de même à un groupe II4 fournissant, pour les dérivées principales de quatrième classe, des expressions exclusivement composées avec les quantités dont il s'agit. Et ainsi de suite indéfiniment.

Nous nommerons ultimes les relations

obtenues à l'aide du mécanisme que nous venons de décrire, et aussi les expressions qu'elles fournissent pour les dérivées principales des classes i, 2, 3,

D'après ce qui précède, et en considérant comme autant de variables indépendantes distinctes .r, j', . . ., m, ^^, . . . et les dérivées de tous ordres de w, t^, ..., l'ensemble des relations pn'mitiçes de classes i , 2, . • ., 7 entraine comme conséquence nécessaire, quel que soit y, l'ensemble des relations ultimes de mêmes classes. Réciproquement d'ailleurs, il est facile de voir que ces dernières entraînent les premières. Les deux systèmes sont ainsi numériquement équivalents (n" 100).

Enfin, notre proposition du n" 107, d'où nous avons déjà déduit la nature normale des relations primitives (n" 108), entraîne aussi, de proche en proche, celle des relations ultimes appartenant aux groupes successifs

110. Si l'on considère un système différentiel quelconque, possédant la double propriété d'être résolu par rapport à diverses dérivées des inconnues qui s'y trouvent engagées et de ne contenir dans ses seconds membres aucune dérivée principale, il faut et il suffit (n" 101), pour que ce système soit passif, que la solution numérique générale du système prolongé soit fournie par un groupe de formules où les variables, les inconnues et leurs dérivées paramétriques de tous ordres reçoivent des valeurs arbitraires, tandis que les dérivées principales se trouvent déterminées sans ambiguïté en fonctions de ces dernières quantités. Dans le cas particulier de l'orthonomie, le système prolongé équivaut numériquement, d'après ce qui vient d'être dit (n° 109), au groupe des relations ultimes, lesquelles ont pour premiers membres (avec répétitions possibles, mais sans omis-

2l6 CHAPITRE VII.

sioii) les diverses dérivées principales, tandis que leurs seconds membres ne contiennent aucune dérivée de celte espèce. Pour qu'un système orthonome soit passif, il est donc nécessaire et suffisant que les diverses expressions ultimes de chaque dérivée principale soient identiquement é^diXes entre elles.

Cela étant, partageons en groupes les équations d'un système orthonome (non prolongé), suivant celle d'entre les fonctions inconnues ?/, t', ... dont quelque dérivée figure dans leurs premiers membres. Si chacun des groupes ainsi formés ne contient qu'une équation au plus, chaque dérivée principale ne possède qu'une seule expression primitive, par suite aussi qu'une seule expression ultime, et La passivité a lieu d'elle-même : c'est ce qui a lieu, par exemple, dans les systèmes considérés au n" lOo. Il nous reste à examiner le cas, beaucoup plus complexe, où quelqu'un des groupes formés ci-dessus contiendrait plus d'une équation.

111. Considérons un système orthonome où deux premiers membres au moins soient des dérivées d' une même inconnue, et désignons par J la classe maxima des dérivées cardinales (n^* 106) (n° 92). Pour qu'un pareil système soit passif , ou, ce qui revient au même (n° 110), pour que les diverses expressions ultimes de chaque dérivée principale soient identiquement égales entre elles, il suffit que cela ait lieu pour chaque dérivée principale des classes i, 2, . . ., J.

1. Des relations ultimes on peut, par un mécanisme analogue à celui qui nous les a fournies, déduire des relations nouvelles.

DifFérentions un nombre quelconque de fois une relation ultime ; puis, après la dernière difTérentiation, remplaçons les diverses dérivées principales contenues dans le second membre par telles ou telles de leurs expressions ultimes. Dans le premier membre de la relation résultante figure évidemment une dérivée principale, qui se trouve alors exprimée directement (c'est-à-dire sans l'intermédiaire d'aucune autre dérivée principale) à l'aide des variables indépendantes, des fonctions inconnues, et de quelques-unes de leurs dérivées paramétriques. Pour abréger, et bien qu'une foule d'autres relations déduites du système jouissent aussi de cette propriété, nous qualifierons spécialement de directes les relations auxquelles nous conduit

SYSTÈMES ORTHONOMES. '21 7

l'application du mécanisme précédent (en y comprenant les relations ultimes elles-mêmes), et nous affecterons de la même qualification les expressions qui en résultent pour les diverses dérivées principales des fonctions inconnues.

Cela étant, si l'on /orme, à raide du mécanisme décrit ci-dessus, une relation directe quelconque, il résulte immédiatement du n° 107 et de la nature normale, constatée plus haut (n" 109), des relations ultimes, que les relations successivement rencontrées dans le cours dUin semblable calcul sont toutes normales.

II. Dans un système orthonome, chaque dérivée principale de première classe n'a qu'une expression directe.

Effectivement, nous avons déjà observé (n" 109) qu'une dérivée principale de première classe ne peut se déduire par dérivation d'aucun premier membre du système ; il en résulte que les expressions directes des dérivées principales de première classe sont toutes fournies par des équations du système donné, et, comme les premiers membres y sont tous distincts, chacune des dérivées dont il s'agit n'a qu'une seule expression directe.

m. Les relations directes, d'après la définition même que nous en avons donnée (I), appartiennent à l'un ou à l'autre des trois groupes suivants :

Les relations du système donné ;

Les relations obtenues en différentiant un nombre quelconque de fois une relation du système donné, et remplaçant, dans le second membre de la relation résultante, les diverses dérivées principales par telles ou telles de leurs expressions ultimes ;

Les relations obtenues en effectuant sur une relation du système donné l'opération précédente, puis sur la relation résultante une opération de même espèce.

Dans tous les cas, on -part, pour former une relation directe quelconque, d'une certaine équation du système donné.

Cela posé, si, dans un système orthonome, l'égalité identique a lieu entre les diverses expressions directes de chaque dérivée principale des classes i, 2, ...,7 {ou j désigne un entier positif quelconque)^ toutes les expressions directes d'une dé-

rivée déterminée de classe y -f- i , obtenues en partant d'une même équation du système proposé, sont nécessairement identiques.

La dérivée de classe j -f- i dont parle l'énoncé coïncide nécessairement, soit avec le premier membre de l'équation d'où l'on doit partir, soit avec quelque dérivée de ce premier membre.

Dans le premier cas, l'équation considérée ne peut fournir, pour la dérivée de classe / + i qui figure dans son premier membre, qu'une seule expression directe, son second membre.

Dans le second cas, que nous allons maintenant examiner, la formation des expressions directes visées par l'énoncé nécessite, sur l'équation d'où l'on part, certaines différentiations qui ont toujours lieu, dans divers ordres, par rapport aux mêmes variables respectives; tantôt on n'effectue de substitutions qu'après la dernière d'entre elles, tantôt on en effectue en outre après une des différentiations précédentes. Il s'agit d'établir que, de quelque façon qu'on procède, on arrivera toujours, pour la dérivée considérée de classe y -h i , à la même expression directe.

I" En premier lieu, si l'on n'opère de substitutions qu'après la dernière différentiation, les expressions directes auxquelles on est conduit pour la dérivée en question sont identiquement égales : car l'expression primitive résultant des seules différentiations est indépendante de l'ordre dans lequel on les exécute (n" 68), et, pour chacune des dérivées principales, de classes nécessairement inférieures ày-h 1, qui y figurent, les diverses expressions directes, à plus forte raison les diverses expressions ultimes, sont par hypothèse identiques.

2" Si l'on ne change pas l'ordre relatif des différentiations, les expressions directes auxquelles on est conduit sont encore identiquement égales.

Désignons par (il) l'équation du système donné d'où l'on doit partir, par k le nombre des différentiations successives, exécutées sur (a) dans un ordre invariable, par o la dérivée principale que l'exécution des k — i premières amènerait dans le premier membre, et par x la variable indépendante par rapport à laquelle la A"'''™^ différentiation doit avoir lieu : cette dernière, et éventuellement une des précédentes, doit être suivie de substitutions, et c'est l'exécution ou la non-exécution de cette partie éventuelle du calcul, comme aussi

SYSTÈMES ORTHONOMES. 219

le moment où elle est effectuée, qui constituent les circonstances variables de l'opération actuellement considérée. Or, je vais établir que le résultat final auquel on est conduit est, quelles que soient ces circonstances variables, identique au résultat fourni par une opération bien déterminée que je vais d'abord décrire.

Observons à cet effet que, -r- étant de classe y -f- i , S est au plus

de classe y (n" 106). Cela étant, l'opération dont je veux parler consiste à prendre la relation directe (unique) dont le premier membre est 3, à la différentier par rapport à x^ ei k remplacer ensuite, dans le second membre de la relation résultante, chacune des dérivées principales, de classes nécessairement inférieures à y -4- i , qui y figurent, par son expression ultime (unique).

En effet, une semblable opération donne un résultat évidemment identique au résultat fourni par celle dont nous avons parlé antérieurement, si, dans cette dernière, la A'^'»«^ différentiation doit être exécutée sur une relation ultime, et il reste alors à examiner le cas où la /.leme différentiation doit être exécutée, non plus sur une relation ultime, mais sur une relation ultime déjà différentiée. Soit donc

la relation dont il s'agit, où o-, ... désignent les diverses dérivées principales figurant effectivement dans le second membre, et t, . . . les diverses inconnues ou dérivées paramétriques y figurant aussi effectivement. La relation (i) étant normale (I), les quantités a-, . . . , T,... ont une cote première au plus égale à celle de o, et par suite

inférieure à celle de — ; elles sont donc toutes normales vis-à-vis de r-; D autre part, les quantités a-, . . . et t, . . . étant normales vis-a-vis de 0, les quantités j-' • • • et -^, • • • le sont vis-à-vis de ^ (n" 107, I).

Enfin, puisque — est de classe / -h i , les dérivées o-, . . . , -r-, • • -, et

^ ^ Ox y ' ^ ■ dx

celles d'entre les dérivées j-» • • • qui sont principales, sont au plus

de la classe y, et par suite chacune d'elles a une expression directe unique, qui se trouve être, à plus forte raison, son expression ultime unique. Désignons alors par

2, ..., Sx, ...

• • " dx

les expressions directes de

par K- ' ••• les résultats que donne la règle des fonctions composées quand on effectue sur S, . . . une différentiation relative à x] enfin par -p h- •• les résultats respectivement déduits de x". ' * ' *

en éliminant de ces dernières expressions les dérivées principales, de classes nécessairement inférieures à y, qui peuvent y figurer : il est

clair, puisque les dérivées j- ^ • • ■ sont au plus de la classe y, que les

expressions directes \t-\ > • • • sont respectivement identiques aux

expressions directes S^^, ....

Cela posé, exécutons sur la relation (i) les opérations qui restent à exécuter, c'est-à-dire la difTérentiation relative à x, et ensuite l'élimination des dérivées principales du second membre. Il suffit pour cela de considérer la relation

d8 df ôfdrs âfdz

dx dx d<7 dx ' ' di dx " * ' '

et de remplacer dans le second membre, d'une part les dérivées principales

dQ dx

par leurs expressions ultimes

d'autre part celles d'entre les dérivées t^» • • • qwi sont principales par les expressions ultimes correspondantes. Or, en vertu des identités