SI

il revient évidemment au même de diff'érentier par rapport à ^ la relation

SYSTEMES ORTHONO.MES. 221

(relation directe unique ayant pour premier membre 8), ce qui donne d^ df df Vd-L-] d/àx

dor àx d^ \^dx } dx âx

puis de remplacer par leurs expressions ultimes les dérivées principales qui peuvent alors figurer dafis le second membre.

3° Considérons deux quelconques des expressions directes dont le présent alinéa III a pour but de démontrer l'identité, et qui se déduisent, comme nous l'avons expliqué, par difFérentiations et substitutions, d'une même équation du système. Si, sans changer de part ni d'autre l'ordre relatif des difFérentiations, on n'opère de substitutions qu'après la dernière d'entre elles, on tombe sur deux expressions directes respectivement identiques aux deux précédentes (2"), et l'on sait d'ailleurs ( i*') qu'en procédant ainsi, le résultat est indépendant de l'ordre des difFérentiations.

IV. Si, dans un système orthonome, V égalité identique a lieu, d\ine part entre les diverses expressions directes de chaque dérivée principale des classes i, 2, . . .^ j [oii j désigne un entier positif quelconque)^ d^ autre part entre les diverses expressions ultimes de chaque dérivée cardinale de classe y -h i , les deux expressions directes d^ une même dérivée principale de classe j -\- i obtenues en partant de deux équations différentes du système proposé sont nécessairement identiques.

Supposons, pour fixer les idées, que ce soit la fonction u dont certaines dérivées figurent dans les premiers membres des deux équations considérées. Pour passer de la fonction u à l'une ou à l'autre de ces deux dérivées, il faut exécuter sur elle certaines difFérentiations, dont quelques-unes peuvent être les mêmes de part et d'autre. Nous désignerons par le symbole D. l'ensemble de ces difFérentiations communes, et par les symboles D'., D'^ l'ensemble des difFérentiations restantes pour la première et la seconde dérivée respectivement. Les deux équations peuvent donc s'écrire

Gela posé, la dérivée de classe y -h i dont parle l'énoncé coïncide soit avec D.D'.iy.w, soit avec quelque dérivée de D.D'.D'^.w, puis-

qu'elle est une résultante (n" 92) des premiers membres de (2) et (3). — Dans le premier cas, en vertu de l'alinéa précédent III, les opérations à elFectuer soit sur l'équation (2), soit sur l'équation (3), pour en déduire une expression directe de D.D'.D'^w, pourront l'être comme il suit : on exécutera d'abord la difierentiation D''. s'il s'agit de l'équation (2), la différentiation D'. s'il s'agit de l'équation (3), et l'on remplacera ensuite, dans les seconds membres des formules résultantes, les dérivées principales des classes i, 2,...,y par leurs expressions ultimes. Or, ce mécanisme engendre précisément deux expressions ultimes 'de la dérivée cardinale D.D'.D".u, de classe j -\- I, c'est-à-dire deux expressions qui, par hypothèse, sont identiquement égales l'une à l'autre. — Si la dérivée de classe y -h 1 dont parle l'énoncé coïncide avec quelque dérivée de D.D'.D". «, les opérations à effectuer soit sur l'équation (2), soit sur l'équation (3), pour en déduire une expression directe de la dérivée en question, pourront l'être comme il suit : r' on effectuera d'abord la différentiation D". s'il s'agit de la première, la différentiation D'. s'il s'agit de la seconde, et l'on remplacera les dérivées principales figurant dans les seconds membres par leurs expressions ultimes ; 2** on exécutera ensuite les différentiations restantes, qui sont les mêmes de part et d'autre, et l'on éliminera finalement des seconds membres les dérivées principales. Or, D.D'.D". u étant, dans le cas actuel, de classe inférieure ày + i (n" 106), il résulte encore de nos hypothèses que les résultats sont identiques après la première partie de l'opération, par suite aussi après la seconde.

V. Comme nous l'avons déjà remarqué (II), chaque dérivée principale de première classe ne possède, dans un système orthonome, qu'une seule expression directe. Si donc on suppose que les diverses expressions ultimes de chaque dérivée principale des classes i , 2, . . . , J, et, par suite, de chaque dérivée cardinale, sont identiquement égales, l'application répétée des propositions ci-dessus (III) (IV) prouve que l'égalité identique entre les diverses expressions directes d'une même dérivée principale a encore lieu dans la deuxième classe, puis dans la troisième, et ainsi de suite indéfiniment. // n'y a, dès lors, pour une même dérivée principale quelconque, qu'une seule expression directe, et, à plus forte raison, qu'une seule expression ultime, ce que nous voulions établir.

SYSTÈMES ORTHONOMES. 223

112. La règle de passivité que nous venons d'établir peut évidemment se formuler de la manière suivante :

Pour qu^un système orthonome soit passif, ou, en d^ autres termes, pour que l^ élimination des dérivées principales de classes 1 , 2, . . . , y , effectuée entre les équations

Pi, î'2, . ., Py

(n" 109), conduise, quel que soit y, à des identités, il suffit que cela ait lieu pour j = J, classe maxiraa des dérivées cardinales des inconnues. SUl n^y a pas de dérivées cardinales, la passivité a lieu d'elle-même.

Cette règle entraîne, à plus forte raison, la suivante, souvent plus commode au point de vue pratique lorsqu'il s'agit d'effectuer les calculs :

Règle ruovisoiRE de passivité. — Soient S un système orthonome ; 6 la cote première minima de ses premiers membres;

les relations du système S prolongé {n'^ 99), partagées en groupes successifs d'après les cotes premières croissantes,

de leurs premiers membres; Q la cote première maxima des dérivées cardinales des inconnues.

Pour que le système S soii passif , ou, en d'autres termes, pour que l'élimination des dérivées principales de cotes premières

ô, 0 + I , . . . , G, effectuée entre les équations

Sg, Sg-i-i, . . . , Se,

conduise, quel que soit G, à des identités, il suffit que cela ait lieu pour G = Q. S'il n'y a pas de dérivées cardinales , la passivité a lieu d'elle-même.

Gette règle provisoire sera plus tard simplifiée et généralisée (Ghap. X).

Si les relations ainsi obtenues ne sont pas, comme l'exige la passivité, identiquement vérifiées, et si l'on cesse, en conséquence, d'y considérer comme indépendantes les quantités autres que x, y, . . . ,

elles se présentent comme étant, au point de vue de V intégration y des conséquences du système donné, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent manquer d'être satisfaites par tout groupe d'intégrales ordinaires de ce système : au cas donc oà, sans être identiquement vérifiées, quelques-unes d'entre elles ne contiendraient que les seules variables ^, y, . . . , le système proposé n'admettrait aucun groupe d'intégrales.

Cette remarque s'applique, en particulier, au système différentiel, manifestement orthonome, dont nous nous sommes occupé à propos du Calcul inverse de la dérivation (Chap. VI) : dans ce système, les conditions de passivité, suffisantes pour l'existence de l'intégrale qui répond à des conditions initiales données, sont en même temps nécessaires à l'existence de toute intégrale, parce qu'elles ne contiennent, comme les seconds membres du système, que les seules variables indépendantes ; c'est pourquoi on les nomme, en pareil cas, conditions d ' in tégrab ilité .

113. Nous terminerons par l'observation suivante, d'une importance assez secondaire, mais cependant quelquefois utile :

Si, dans un système orthonome passif, on supprime les diverses équations dont les premiers membres, comparés à ceux de telles ou telles autres, en peuvent être considérés comme des dérivées, le système résultant admet les mêmes intégrales que le premier, et possède, comme lui, une forme {orthonome) passive.

Car les dérivées respectivement principales et paramétriques des fonctions inconnues seront les mêmes de part et d'autre ; le second système, indéfiniment prolongé par différentiations (n"" 99), admettra la même solution numérique générale que le premier ; et les développements des intégrales hypothétiques répondant aux mêmes conditions initiales seront les mêmes pour l'un et pour l'autre.

Convergence des développements des intégrales d'un système orthonome; théorème d'existence.

114. Soient S un système orthonome ; o et A les cotes premières respectivement maxima et minima de ses premiers membres ;

SYSTÈMES ORTHONOAIES. 225

les relations de S prolongé, distribuées en groupes successifs d'après les cotes premières croissantes de leurs premiers membres ; t^ un groupe partiel extrait de S^ sous la seule condition d'avoir pour premiers membres, sans omission ni répétition, les diverses dérivées principales de cote première G. Gela étant, si, clans le système orthonome S, on considère un groupe dHntégrales {ordinaires) hypothétiques répondant à des conditions initiales données, les développements {bien déterminés) construits a priori à l'aide des valeurs initiales données et de celles que fournit la résolution successii'e des groupes

tci-> ^ô^-b •••5 ^Aî ^A-i-i> •••

par rapport aux dérivées principales (') sont nécessairement convergents.

I. Si les fonctions /(^,jK, ...), cp(.r,jK, ...) sont toutes deux développables (n*' 76) à partir de Xq^ yo, ..., si, de plus, les valeurs de 'f{x,y, ...) et de toutes ses dérivées au point (jCo,jKoj •••) sont réelles, positives, et respectivement supérieures aux modules des valeurs correspondantes de /(^^^ y, . . .) et de ses dérivées semblables, la fonction 'j){Xy y^ . . .) sera dite majorante de/(^', j^, . . .) par rapport aux valeurs particulières x^., yQ^ ....