II. Soient

f{x^y, ...) une fonction développable à partir de .Tq, jKo? ••• avec les rayons de convergence R^,, Rj, ...;

/•j;, /y, . . . des quantités positives respectivement inférieures à '^x-) I^r? • • • 5

M une constante positive supérieure à la somme L que l'on obtient

en remplaçant dans le développement de f{x,y, •••)' effectué à

partir de Xo, yo, ..., tous les coefficients par leurs modules, et les

diff'érences x — Xo^ y — /oi ••• par les quantités respectives

aj;, y.y, . . . des quantités positives au moins égales à — , — , • • • ;

r.c r-y m un entier positif.

(') N'ous avons établi au n" 108 la possihililé de celte résolution successive. R. i5

Cela étant, la fonction

é^'idemment développahle [w'' 61, il) à partir des valeurs x^^ y q, ..., est majorante{\) pour f{x^ y, ...) relativement à ces valeurs (^). Faisons suivre en effet de l'indice zéro les notations des deux fonctions considérées et de leurs dérivées pour désigner les valeurs particulières qu'elles prennent au point {xq^ jKo, •••)5 ^^ soient/, /, ... des ordres partiels quelconques de dérivation (positifs ou nuls). On a, par un calcul immédiat,

Xa^a;. ..

[dxidy'...U

X m{jn -\- i) . . . {m -\- i — i)

On a d'ailleurs, d'après nos définitions mêmes,

et il en résulte

[àT^ày'...\,

Enfin, dans une série (convergente) à termes positifs, la somme est au moins égale à la valeur d'un terme quelconque, et l'on a par conséquent

L>mad r^^ \ — = — ;••••

I ôx'- ôyi ... 1 0 1 . 2 ... f i .1. . .1

(') Gomme nous l'avons dit dans la Préface, la première idée et les premières applications de la méthode des fonctions majorantes sont dues à Cauchy.

Dans l'énoncé du lemme ci-dessus, la constante M, qui figure au numérateur de la majorante, n'est pas définie comme on le fait d'habitude : cette légère modification aux usages courants a pour but d'éviter toute intervention explicite des quantités imaginaires.

SYSTEMES ORTHONOMES. 227

On en déduit, par comparaison avec la relation précédente,

ce qu'il s'agissait d'établir.