XIV PREFACE

nouveau Mémoire (*) où la convergence des développements des intégrales se trouvait établie, cette fois, d'une façon rigoureuse, mais, bien entendu, pour une partie seulement des systèmes immédiats primitivement étudiés. Ce Mémoire est reproduit presque en entier dans un Ouvrage de M. Méray paru quelques années après (^), et il y est accompagné de quelques indications sommaires sur la marche générale à suivre pour traiter un système quelconque (^); la conclusion du Mémoire de 1880 s'y trouve, naturellement, modifiée, et M. Méray, au lieu de considérer les systèmes immédiats passifs comme le type fondamental auquel peut se ramener un système quelconque, assigne 1-e même rôle aux systèmes imjnédiats et réguliers passifs, qui font Tobjet du Mémoire de 1890 : malheureusement, cette nouvelle conclusion n'est pas mieux établie que l'ancienne, et, à moins de recourir au changement des variables, qu'on doit, à mon avis, s'efTorcer d'éviter, il me paraît peu probable qu'elle soit exacte. Quoi qu'il en soit, la connaissance des méthodes de M. Méray et la collaboration que je lui ai prêtée m'ont été, pour mes recherches personnelles, extrêmement profitables ; nonobstant une erreur dans la démonstration de la convergence, ses travaux ont, dès 1880, mis en pleine lumière le fait suivant, qui se trouvait désormais acquis :

Si un système du premier ordre, quelle que soit d'ailleurs sa nature, satisfait à la double condition :

résolu par rapport à certaines dérivées premières des inconnues, la divergence des développements peut se produire, alors même que les seconds membres ne seraient pas d'ordre supérieur à i.

(1) Méray et Riquier, Sui- la convergence des développements des intégrales ordinaires d'un système d'équations dijférentielles par-tielles {Annales de l'Ecole Normale, janvier, février et mars 1890).

(2) Méray, Z/eçon5 nouvelles sur l'Analyse infinitésimale et ses applications géométriques, r'* Partie, p. 3 10 et suiv.

(3) Ibid., p. 353 et suiv.

PREFACE. XV

I® de la passivité,

1^ de la convergence des développements des intégrales^

sa solution générale dépend de fonctions (ou constantes) arbitraires en nombre égal à celui des inconnues qui s'y trouvent engagées.

Dans rintervalle qui sépare la publication des deux Mémoires dont je viens de parler, M. Kônig (') avait établi les conditions d'intégrabilité complète d'un système du premier ordre de forme telle, qu'en désignant par

les fonctions inconnues, et par

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les variables indépendantes, le système soit résoluble par rapport aux mr dérivées de z^ , ^2, . . . , ^„, relatives k x^, x^, . . . , ^^. Ce type, dans lequel rentrent évidemment les systèmes partiels étudiés par Cauchy et les systèmes d'équations différentielles totales, n'est lui-même qu'un simple cas particulier des systèmes étudiés par M. Méray et moi en 1890.

Dans une Thèse de doctorat publiée en 1891 (-), M. Bourlet parvint à établir qu'un système différentiel quelconque est réductible à une forme du premier ordre, dans laquelle la convergence des développements des intégrales est assurée; mais, sauf des cas fortuits, la forme dont il s'agit n'était point passive.

(^) J. KôNiG, Ueber die Intégration simultaner Système partieller Differentialgleichungen mit mehreren unbekannten Functionen [Mathematische Annalen, t. XXIII, 1884).

(2) BoL'HLET, Sur les équations aux dérivées partielles simultanées qui contiennent plusieurs fonctions inconnues {Thèse, avril 1891 ; Annales de V École Normale, 1891).

et, par suite, ne faisait nullement connaître le nombre et la nature des éléments arbitraires dont dépendent les intégrales générales.

Ainsi, la question de Texistence des intégrales dans un système quelconque était encore loin de se trouver résolue. Depuis Tépoque de ma collaboration avec M. Méray, j'y avais sans cesse réfléchi, et, poursuivant le courant d'idées où cette collaboration m'avait engagé, je m'efïbrçais de la résoudre en la ramenant au problème suivant :

Etant donné un système différentiel quelconque (que je supposais ne comprendre qu'un nombre limité d'équations), le réduire^ sauf constatation éventuelle d' incompatibilité , à un système du premier ordre où, se trouve réalisée la double condition : i'^ de la passivité; 2° de la convergence des développements des intégrales.

Toutefois, pour diverses raisons qu'il serait trop long d'indiquer ici, j'avais été induit à penser qu'en se bornant dès le début de la théorie, comme on avait coutume de le faire, à la considération exclusive des systèmes du premier ordre, on n'y introduisait qu'une simplification apparente, et même, à certains égards, une nouvelle complication. J'avais donc résolu de ne m'attacher en premier lieu qu'à la découverte d'une forme canonique complètement intégrable, sans m'inquiéter aucunement de l'ordre des équations; cette forme une fois obtenue, j'espérais pouvoir la ramener à une semblable d'ordre inférieur, et par suite au premier ordre. C'est ce qui arriva en effet. En 1892, je réussis à opérer la réduction d'un système quelconque à une forme complètement intégrable, et l'année suivante (1893) je substituai à celle-ci une forme de même nature, mais du premier ordre, où se trouvaient engagées, avec les inconnues du système proposé, quelques-unes de leurs dérivées

PREKAGE. XVII

à titre d'inconnues adjointes (*). Il va sans dire que V économie des conditions initiales, évidente dans ce dernier système en vertu des explications données plus haut, se trouvait par là même immédiatement connue dans le proposé, et que, dans l'un comme dans l'autre, la solution générale dépendait de fonctions {ou constantes) arbitraires en nombre