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(^) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 28 mars 1892, 27 février 1893, 24 avril 1893. — Annales de l'Ecole Normale, 1893. — Recueil des Savants étrangers, t. XXXII, n" 3.

(2) J'insiste sur ce point, qui semble n'avoir pas été très bien compris de quelques lecteurs : par le seul fait de la réduction à une forme passive du premier ordre où la convergence des développements des intégrales était assurée, la solution générale d'un système donné devait, comme je viens de l'expliquer, dépendre finalement de fonctions arbitraires en nombre fini, et ces fonctions se dégager d'elles-mêmes, sans que j'eusse besoin de m'en inquiéter autrement : mais il n'en eût pas été de même si la forme à laquelle j'aboutissais en dernier lieu eût été d'ordre supérieur au premier. Ainsi, au début d'un Mémoire publié en 1894, M. Tresse a formulé l'énoncé suivant: Etant donné un système quelconque d'équations aux dérivées partielles, on peut, après un nombre limité de différentiations et d' éliminations, ou bien montrer qu'il est incompatible , ou bien le mettre sous forme d'un système en involution (système passif), dont la solution générale dépend alors, suivant les cas, de fonctions ou de constantes arbitraires (Acta mathematica, 1894, p. 9). Or, en supposant établie la convergence des développements des intégrales (partie de la question que M. Tresse ne se proposait pas d'examiner), il ressort uniquement de sa démonstration que, pour déterminer un groupe d'intégrales ordinaires de ce système en involution, dont l'ordre est quelconque, on peut se donner arbitrairement certaines portions de leurs développements respectifs, c'est-à-dire que la solution générale du système dépend de constantes arbitraires, en nombre le plus souvent infini, et qui, dans le cas général, ne se grouperont pas d'une façon évidente en un nombre fini de fonctions également arbitraires. J'ajoute que M. Tresse me semble avoir laissé dans l'ombre certains points importants, et n'avoir pas montré, par exemple, comment on peut, à l'aide d'un nombre limité d'opérations, s'assurer si les conditions d'intégrabilité d'un système donné se trouvent ou non satisfaites.

PREFACE

Trois ans après, en 1896, M. Delassus ('), à Taide d'une méthode toute difï'érente, essentiellement basée sur le changement des yariables, donna une deuxième solution du problème dont je m'étais occupé : il réduisit tout système diflérentiel à une forme complètement intégrable, et, dans un énoncé trop long pour être rapporté ici (-), il indiqua en détail les fonctions et constantes arbitraires dont se trouvait dépendre, après cette réduction, la solution générale (^).

II. Bien qu'il fût désormais acquis que la solution générale d'un système quelconque d'équations aux dérivées partielles dépend (sauf le cas d'incompatibilité) de fonctions ou constantes arbitraires en nombre fini, il n'en était pas moins intéressant de poursuivre l'étude approfondie des questions d'existence, et de chercher soit à simplifier, soit à généraliser les règles déjà obtenues.

La première simplification que je réussis à opérer se rapporte à l'économie des conditions initiales et à la manière de la fixer. Au lieu d'avoir recours, comme je l'ai indiqué plus haut, à une réduction au premier ordre, d'un mécanisme assez compliqué, je substituai à ce procédé une méthode directe et tout élémentaire, dont l'emploi permet d'abréger, dans une mesure considérable, et les raisonnements de la théorie, et les calculs de la pratique ( ').

(*) Delassus, Extension dit théorème de Cauchy aux systèmes les plus généraux d'équations aux dérivées partielles {Annales de l'École Normale, 1896).

(2) Ihid., 1896, p. 461 et 462.

(3) J'ai fait voir ailleurs que les systèmes canoniques définis et étudiés par M. Delassus se trouvent contenus, comme cas particulier, dans ceux que j'avais définis et étudiés en 1893 (voir Acta mathematica, t. XXIII, p. 829 et 33o).

(*) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 3i mai 1898. — Sur