IX. Considérons le système différentiel

dx'^ -^' dx^~ '

où f/, r, ... désignent des fonctions inconnues de la variable indé-

pendante :r; a, jî, ... des entiers positifs quelconques; et U, V, des fonctions données de toutes les quantités

The' '

^*-i u dx^-^

dv dx

dx^-^ '

Si les fonctions U, V, ... sont dévelopoables à partir des valeurs

[du\ (d'^-^u\

(18) <; /dv\ /d^-^v

'^' 'dxj.

fd^-^v\

le système proposé admet un groupe d^ intégrales, m, ^, . . . , développables à partir de Xq^ et telles que, pour x = Xq, les quantités {\^) preiinent respectivement les valeurs numériques (18).

En effet, l'intégration du système proposé se ramène visiblement à celle du suivant :

du'

dx=^^ "

du^^-i^

dx -^'

' ' dx '

11 va sans dire que, dans les seconds membres U, V, . . ., figurant à l'extrémité des lignes horizontales respectives du Tableau ci-dessus, on a substitué aux dérivées

Iho'

dx-^' ••

'' dx^-^'

dç

SYSTEM KS ORTHONOMES. 287

les nouvelles inconnues respectives

Gela étant, la proposition qui fait Tobjet du présent alinéa IX se présente comme une conséquence immédiate du précédent.

X. Revenant à notre énoncé général (voi/^ le début du présent a' lli), considérons, au lieu du système S, le système Sa+i, que nous désignerons aussi par (S). Il est clair que, dans les de.ux systèmes S et (S), la répartition des dérivées des fonctions inconnues en principales et paramétriques est la même, à cela près que les dérivées principales du système S dont la cote première tombait au-dessous de A + i sont devenues paramétriques dans le système (S); et si, dans les deux systèmes

S prolongé, (S) prolongé

(n** 99), on partage les relations en groupes successifs d'après leur cote première croissante, cette suite illimitée de groupes est la même de part et d'autre, à cela près que, dans le système (S) prolongé, un certain nombre de groupes,

Sg, Sg-Hi, . . . , S^,

ont disparu en tête de la liste. Au lieu donc d'imposer aux intégrales hypothétiques de S les conditions initiales choisies, il revient au même, pour la démonstration de notre énoncé général, d'imposer à celles de (S) des conditions initiales identiques, en ayant soin seulement de prendre, pour les anciennes dérivées principales devenues paramétriques, les valeurs initiales calculées à l'aide des groupes

On peut maintenant, moyennant un simple changement de fonctions, remplacer le système (S) par un autre où les déterminations initiales des inconnues soient toutes identiquement nulles. Effectivement, soient J„, It,, . . . les déterminations initiales respectives des inconnues u, p, ... dans le système (S). Nous observerons tout d'abord que, parmi les dérivées de I„, J,,, . . . , celles qui sont respectivement sem-

blahles aux dérivées principales de w, t', . . . ont toutes zéro pour valeur initiale, et qu'elles sont, par suite, identiquement nulles, puisque leurs propres dérivées, nécessairement semblables à des dérivées principales de w, v^ . . . , ont toutes aussi pour valeur initiale zéro (n" 57); quant aux valeurs initiales de I„, I„, ... et de leurs dérivées restantes, elles sont précisément égales aux valeurs initiales de «, ç', ... et de leurs dérivées (paramétriques) semblables. Cela posé, efl'ectuons dans le système (S) la transformation

Il = l„-t- u,

où U, U, ... désignent de nouvelles fonctions inconnues, et soit (S) le système ainsi obtenu : de la remarque faite ci-dessus il résulte évidemment que le système (S) prolongé peut se déduire de (S) prolongé en remplaçant les dérivées principales de w, c, ... par les dérivées semblables de U, u, . . . , puis les fonctions «, r, . . . et leurs dérivées paramétriques par les sommes !«+ U, I^+ U, ... et les dérivées semblables de ces sommes. Les deux systèmes (S) et (Ô) ont donc, sauf le changement de w, ^', ... en U, U, . . ., les mêmes premiers membres, et les dérivées des fonctions inconnues s'y répartissent de la même manière en principales et paramétriques; d'ailleurs, si aux intégrales hypothétiques U, U, ... de (Ô) on impose des déterminations initiales identiquement nulles, il est clair que les valeurs numériques initiales prises, dans le système (S), par les intégrales hypothétiques w, ^, . . . , qui correspondent aux déterminations initiales I„, !(,, . . . , et par leurs dérivées paramétriques de tous ordres, sont respectivement égales aux valeurs numériques initiales prises, dans le système (9), par les sommes l,<-h U, !(, -f- U, . . . et les dérivées semblables de ces sommes.

Cela étant, conservons aux variables :r, y, . . . , dans le système (S), les cotes respectives qu'elles avaient dans les systèmes S et (S), et attribuons aux nouvelles fonctions inconnues U, U, . . . les mêmes cotes respectives qu'aux anciennes correspondantes u, t^, .... Considérons d'autre part, dans les systèmes (S) prolongé et (V») prolongé, deux relations correspondantes (nécessairement normales); si, dans chacune d'elles, on remplace par les valeurs numériques initiales qui leur conviennent respectivement les variables indépendantes œ,

SYSTÈMES ORTHOXOMHS. 289

y, ..., les intégrales hypothétiques (m, ç, ... ou U, U, ..., suivant qu'il s'agit de l'une ou de l'autre relation), et leurs dérivées paramétriques de tous ordres, les deux relations ainsi obtenues (où ne figurent plus que des dérivées principales) seront identiques l'une à l'autre.

Cela posé, je dis qu'il suffit, pour établir notre énoncé général, d'établir le point suivant.

Si l'on désigne par

(Ô)A^i, (ÔU+2, ...

les relations (toutes normales) de (xt) prolongé, partagées en groupes successifs d'après les valeurs croissantes de leurs cotes premières, et par

des groupes respectivement extraits des précédents sous la seule condition d'avoir respectivement pour premiers membres, sans omission ni répétition, les dérivées principales de cotes premières

Ah-i, a -I- 2, ...,

les développements [bien déterminés) construits à l'aide des valeurs initiales données [toutes nulles) et de celles que fournit la résolution successive des groupes

par rapport aux dérivées principales, sont nécessairement convergents.

Car, si aux variables, aux intégrales hypothétiques, et à leurs dérivées paramétriques, on attribue les valeurs initiales qui leur conviennent respectivement dans les systèmes (S) et (S), les relations de ces deux systèmes prolongés deviennent, comme nous l'avons dit, identiques chacune à chacune; en désignant donc par ^c? conformément aux notations de notre énoncé général^ un groupe quelconque extrait de (S) prolongé sous la seule condition d'avoir pour premiers membres, sans omission ni répétition, les dérivées principales de cote C(C> A), et par (t)c le groupe correspondant extrait de (S) prolongé, la résolution successive, soit des groupes

(t)A-t-i, (t)A4-2, ..., soit des groupes

^A-Hi) ^Ah-2i • . • 1

fournit, pour les dérivées principales semblables, les mêmes valeurs initiales. Dès lors, si, dans les développements construits de part et d'autre à l'aide des valeurs initiales tant données que calculées, on fait abstraction des portions (convergentes) formées parles déterminations initiales, les portions restantes sont respectivement identiques de part et d'autre, et la convergence, lorsqu'elle a lieu d'un côté, ne peut manquer d'avoir lieu de l'autre.

Ainsi, nous nous trouvons ramené à établir le point formulé cidessus dans le présent alinéa X.

XI. Dans le système (î3), partageons les fonctions inconnues en catégories suivant la valeur de leur cote première, et supposons, pour fixer les idées, que le nombre des catégories ainsi obtenues soit égal à 3. Les dérivées de tous ordres des inconnues se partagent naturellement alors en trois catégories, suivant qu'elles appartiennent à telle ou telle inconnue.

Cela étant, désignons par y', y", y"^ les cotes premières attribuées aux inconnues des trois catégories respectives, et posons

la cote première d'une inconnue quelconque étant au plus égale à A (puisque celles des diverses équations du système proposé S ne surpassent pas A), les différences A — y', A — y", A — ^"' sont positives ou nulles, et, par suite, les entiers K', R'', K"^ sont au moins égaux à I . Il est clair d'ailleurs qu'une dérivée d'inconnue aura une cote première inférieure, égale, ou supérieure à A + i, suivant qu'elle sera :

D'ordre inférieur^ <^gal, ou supérieur à R', s'il s'agit d'une dérivée de première catégorie ;

D'ordre inférieur, égal, ou supérieure R", s'il s'agit d'une dérivée de deuxième catégorie;

D'ordre inférieur, égal, ou supérieur à ¥J" ^ s'il s'agit d'une dérivée de troisième catégorie.

Considérant, en particulier, les dérivées de cote première inférieure ou égale à A + i , qui seules figurent dans (ï"), nous qualifierons, pour abréger, de secondaires celles dont la cote première est inférieure à A -h I , et de dominantes celles dont la cote première est égale à A -h I . Chaque équation du système (S), linéaire par rapport aux dérivées dominantes, a pour premier membre une de celles-ci.

SYSTÈMES ORTHONOMES. ^4 I

Nous nommerons, en outre, dans ce qui suit :

Coefficients du système (13) les diverses fonctions (des variables, des inconnues et des dérivées secondaires) qui figurent dans les seconds membres, soit comme multiplicateurs des dérivées dominantes, soit comme termes indépendants de ces dérivées;

^07 l'o' . . • les valeurs initiales de x^ j', ... ;

f , . . . les diverses quantités du groupe formé par les inconnues

U, U, ... et leurs dérivées secondaires (toutes ces quantités ont

des valeurs initiales nulles, puisque les déterminations initiales

sont identiquement nulles); u', t)', ... les inconnues de première catégorie, g' leur nombre, g\^

g-^^ • ' •' ^?K'-i les nombres respectifs de leurs dérivées des ordres

u", u'', ... les inconnues de deuxième catégorie, g" leur nombre, g\

gl^ • • • 1 ô'k"-i A^s nombres respectifs de leurs dérivées des ordres

iT^, ...,K"-i; Vl!" ^ \s"\ ... les inconnues de troisième catégorie, o''^ leur nombre, g"[^

gli • • -7 oK"-i les nombres respectifs de leurs dérivées des ordres

D'ailleurs, les seconds membres du système primitif S étant, par hypothèse, développables à partir des valeurs initiales choisies pour les diverses quantités qui y figurent, on voit sans peine que les coefficients du système (ib), fonctions des diverses quantités

ar, ^, ..., f, ..., seront développables à partir des valeurs initiales

Tq, jko, ..., o,